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数値解析関連 JavaScript関数ライブラリ na.js の利用解説書

ご利用にあたって

代数系　　f(x) を指定する

代数方程式 f(x) = 0 の根：はさみうち法
　　naFx0HasamiuchiTrace(表示場所, fx, xmin, xmax[, eps])　
　　x = naFx0Hasamiuchi(fx, xmin, xmax[, eps])　

はさみうち法による f(x) = 0 の解（参照：「方程式の根」）を求める。
fxは文字列として、全体を" "で囲む。
xmin～xmaxの間に唯一の実根があることを前提にしている（ f(xmin) と f(xmax) が同符号ではいけません。
二分法でxmin～xmaxの範囲を狭めていき、絶対誤差 |f(x)| < eps になるまで繰り返す。epsを省略すると、(xmax-xmin)/1000とする。

ケース１

入力
    var fx = "x*x-1";
    var xmin = 0;
    var xmax = 3;
    var eps = 0.001;
出力
    var x = naFx0Hasamiuchi(fx, xmin, xmax, eps);
//    x：1

ケース２

fx= xmin= xmax= eps=

方程式の根（ニュートン法）
　　naFx0NewtonTrace(表示場所, fx, x0[, eps]); 　
　　x = naFx0Newton(fx, x0[, eps]);　

ニュートン法により、方程式の実根を求める。
　　　xn = xn-1 - f(xn-1)/f'(xn-1) 　　(f'=df/dx)
を繰り返して根に近づく。参照：「方程式の根」
　x0は初期値。その値により異なる解に達したり、解が得られないことがある。

fxは文字列として、" "で囲む。eps を省略すると 0.001 になる、

ケース１

入力
    var fx = "x*x-1";
    var x0 = 0.3;;
    var eps = 0.001;
出力
    var x = naFx0Newton(fx, x0, eps);
//    x：1

ケース２

fx= x0= eps=

３次方程式の複素数根　a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0
　　naFx03jiTrace(表示場所, a0, a1[, a2[, a3]]) 　
　　x = naFx03ji(a0, a1[, a2[, a3]])　 　

　

a3を省略すると２次方程式、さらにa2を省略すると１次方程式になる。
２次方程式は根の公式による。３次方程式は、特殊なケースを除き、ニュートン法により一つの実根を求め、式の変形により２次方程式にして求める。
戻り値は２次元配列である。下の［出力］参照

ケース１

入力
    var x = naFx03ji(2, 0, -1, 1);    // 2x3 - x + 1 = 0
出力
    x[k][0] 実数部 x[k][1] 虚数部
    x[0][0}= 1.000　x[0][1}= 0.9999
    x[1][0}= 1.000　x[1][1}=-0.9999
    x[2][0}=-1.000　x[2][1}= 0

ケース２

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0

数式 f(x) を最大にする x
　　naFxMaxTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, eps]) 　
　　x = naFxMax(fx, xmin, xmax [, eps])　

数式 f(x) が最大となるｘの値を戻します。
　xmin～xmaxを100等分してdxとし、for (x=xmin, x<=xmax; x=x+dx) でf(x) を最大にする x を求め、次に x-dx～x+dx で同様な操作を繰り返すことにより、最終的な最適値 x を求めます。epsを省略すると(xmax-xmin)/1000になります。

ケース１

入力
    var fx= "x*(x-1)*(x-2)";
    var xmin = -1;
    var xmax =  2;
    var eps  =  0.0001;
出力
    var x = naFxMax(fx, xmin, xmax, eps);
    // x = 0.4226

ケース２

fx= xmin= xmax= eps=

代数式 f(x) の微分係数
　　naFxDiffTrase(表示場所, fx, x [, d, eps]) 　
　　a = naFxDiff(fx, x [, d, eps]) 　

fxのｘにおける微係数aを求めます。ｘの近傍の２点 x-d*xとx-d*xでの勾配をa0とし、ｄを1/2にしたときの勾配aとの差が、相対誤差 |(a-a0)/a| < eps になるまで繰り返します。
dを省略すると0.01、epsを省略すると0.001にしています。

ケース１

入力
    var fx= "x*x";
    var x = 1;
    var d = 0.01;
    var eps = 0.001;
出力
    var a = naFxDiff(fx, x, d, eps);
    // a = 2

ケース２

fx= x= d= eps=

微分方程式（ルンゲクッタ法）
　　naFxRungeKutta(表示場所, fxy, x, dx) 　
　　a = naFxRungeKutta(fxy, x, dx) 　

一階微分 dy/dx = f(x,y) の式を与えて y(x+dx) = y(x) + a*dx の a の値を、４次のルンゲクッタ法により求めます。

ルンゲクッタ法では、次のステップで定義します。
　　　　k1 = f(x,y)
　　　　k2 = f(x+dx/2, y+k1*dx/2)
　　　　k3 = f(x+dx/2, y+k2*dx/2)
　　　　k4 = f(x+dx, y+k3*dx)
　　　a = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

ケース１

入力
    var fxy= "x*y";　　// 文字列 f(x,y) をJavaScript形式で記述
    var x = 2; 　　　　// fxy に x がなくても形式的に適当な値を与える
    var y = 1; 　　　　// fxy に y がなくても形式的に適当な値を与える
    var dx = 0.01;
出力
    var a = naFxRungeKutta(yx, x, y, dx);

ケース２

fxy= x= y= dx=

微分方程式（ルンゲクッタ法）作表
　　rtn = naFxRungeKuttaTable(fxy, xmin, xmax, dx, y0) 　

一階微分 dy/dx = f(x,y) の式を与えて ４次のルンゲクッタ法により x = xmin～xmax に対応する y を算出します（y0 は x = xmin のときの y の値）。
　　rtn["x"]： x = xmin, xmin+dx, xmin+2*dx, …, xmax の値
　　rtn["y"]： x に対応する y の値
　　rtn["a"]： (x,y) における微分係数
　　rtn["dy"}：y の増分 a*dx

dy/dx=fxy= xmin= xmax= dx= y0=

連立微分方程式（ルンゲクッタ法）
　　naFxRungeKutta2Trace(表示場所, ft, gt, x, y, dt) 　
　　var [ax, ay] = naFxRungeKutta2(ft, gt, x, y, dt) 　

二つの一階微分 dx/dt = f(x,y),　dy/dt = g(x,y) の式を与えて、
点(x,y) で　x(t+dt) = x(t) + ax*dt,　y(t+dt) = y(t) + ay*dt となる偏微分係数 ax, ay の値を
４次のルンゲクッタ法により求めます。

ルンゲクッタ法では、次のステップで定義します。
　　　　k1 = f(x,y)
　　　　k2 = f(x+dx/2, y+k1*dx/2)
　　　　k3 = f(x+dx/2, y+k2*dx/2)
　　　　k4 = f(x+dx, y+k3*dx)
　　　a = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

ケース１

入力
    var ft = "4*x - x*y";　　　// dx/dt を 文字列 ft として与える
    var gt = "-10*x + 2*x*y";　// dy/dt を 文字列 gt として与える
    var x = 10;
    var y = 15;
    var dt = 0.01;
出力
    var ax. ay = naFxRungeKutta2(ft, gt, x, y, dt);

ケース２

dx/dt=ft= dy/dt=gt= x= y= dt=

連立微分方程式（ルンゲクッタ法）作表
　　var rtn = naFxRungeKutta2Table(ft, gt, x0, y0, tmin, tmax, dt);

二つの一階微分 dx/dt = f(x,y),　dy/dt = g(x,y) の式と t = tmin における x0, y0 を与えて、t = tmin～tmax （刻み dt）での x(t), y(t) を表の形式で戻します。

　　rtn["t"]： t[i] = t　t = tmin, tmin+dt, tmin+2*dt, …, tmax の値
　　rtn["x"]： x[i]
　　rtn["ax"]：偏微分係数　∂x/∂t(t)
　　rtn["dx"}：x の増分　ax[i]x*dt
　　rtn["y"]： y[i]値
　　rtn["ay"]：偏微分係数　∂y/∂t(t)
　　rtn["dy"}：y の増分 ay[i]*dx

dx/dt=ft= dy/dt=gt= x0= y0= tmin= tmax= dt=

数式 f(x) の極値（複数）
　　naFxExtremeTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, eps]) 　
　　[極値, 大小] = naFxExtreme(fx, xmin, xmax [, eps])　

数式 f(x) の極値 f'(x) が正から負へ、負から正に変化する点（複数）を戻します。
　まず、xmin～xmaxを100等分してdxとし、x-dx と x+dx の間で f'(x) の符号が変化したら極値があることになります。、
　次に x-dx～x+dx で同様な操作を繰り返すことにより、最終的な最適値 x を求めます。精度は0.0001 になります。
戻り値の形式
　極値：xi
　大小：xi が極大なら１、極小なら－１

ケース１

入力
    var fx= "x*(x-1)*(x-2)";
    var xmin = -1;
    var xmax =  3;
    var [極値, 大小] = naFxExtreme(fx, xmin, xmax);
出力
    極値[0] = 0.423　大小[0] = 1
    極値[1] = 1.578　大小[1] = -1

ケース２

fx= xmin= xmax=

代数式 f(x) の定積分（シンプソン則）
　　naFxSimpsonTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, n2, eps])　
　　s = naFxSimpson(fx, xmin, xmax [, n2, eps])　

シンプソン則は、２次式で近似します。
　閉区間［xmin，xmax］を２ｎ等分して、ｈ＝(xmax－xmin)／２にすると（すなわち、 、ｘ0(=xmin),ｘ1,ｘ2,....,ｘ2n(=max)ととして、ｘiに対応するfxの値を yiとすると） 

　　　　　xmax－xmin
　　　Ｓ＝─────｛（ｙ0＋ｙ2n)＋４(ｙ1＋ｙ3＋...ｙ2n-1)＋２(ｙ2＋ｙ4＋...ｙ2n-2)｝
　　　　　 　６ｎ
となります。参照：「定積分」

最初のn2で計算した値をs0、次にn2を２倍（すなわちキザミ幅を1/2）にして計算した値を s として、相対誤差 |(s-s0)/s| ＜eps となるまで繰り返します。
n2を省略すると20、epsを省略すると (xmax-xmin)/1000 にしています。

ケース１

入力
    var fx = "x*x";
    var xmin = 1;
    var xmax = 2;
    var n2 = 20;
    var eps = 0.001;
出力
    var s = naFxSimpson(fx, xmin, xmax, n2, eps);
    // s = 2.333

ケース２

fx= xmin= xmax= n2（キザミ数）= eps=

漸化式の特性方程式

漸化式の係数と初期値を与えて、an の一般解を「文字列」として戻します。
ここでは一般解が１命令で表現できる漸化式に限定しています。
Trace では、元の漸化式を順次計算した数列と、一般解にｎを代入した数列を表示するので、
一般解の確認ができます。
（係数と初期値の値によっては、一般解が得られないこともあります）

　an+1=p*xn+q
　　naZenka2Trace(表示場所, a1, p, q)　
　　an = naZenka2(a1, p, q)　

　　a1= 　p= q= an=

　an+1=p*xn+ q + rn
　　naZenka2nTrace(表示場所, a1, p, q, r)　
　　an = naZenka2n(a1, p, q, r)　

　　a1= 　p= q= r= an=

　an+1=p*an+ q*rn
　　naZenka2eTrace(表示場所, a1, p, q, r)　
　　an = naZenka2e(a1, p, q, r)　

　　a1= 　p= q= r= an=

　an+1=p*anq
　　naZenka2expTrace(表示場所, a1, p, q)　
　　xn = naZenka2exp(a1, p, q)　

a1 および（あるいは）p が負数のときは、q を整数に限定しています。
その場合でも、適切な解がえられないことがあります、
　　a1= 　p= q= an=

　an+2=p*an+1+ q*an
　　naZenka3Trace(表示場所, a1, a2, p, q)　
　　an = naZenka3(a0, a1, p, q)　

特性方程式の判別式 D = q2 + 4q の正負により、計算方法が異なります。
D > 0 （実根）の例：a1=0, a2=1, p=2, q=3
D = 0 （重根）の例：a1=0, a2=3, p=6. q=-9
D < 0 （虚根）の例：a1=2, a2=4, p=2, q=-3
　　a1= a2= 　p= 　q= an=

多点系　 点(x,y) を与える

多点系　最小二乗法

最小二乗法（１次式）y = a[0] + a[1]x
　　a = naLsm1(x,y)

ケース１

    var x = [ 0,  2,  4,  6,  8, 10, 12 ];
    var y = [ 1, 20, 30, 45, 50, 60, 70 ];
    var a = naLsm1(x, y);
  // a[0] = 6.5, a[1] = 5.48　　y = 6.5 + 5.48x

ケース２

x=
y=

最小二乗法（１次式）の拡張　相関係数と９５％信頼区間
　　naLsm1ExTrace(x,y)
　　rtn = naLsm1Ex(x,y)

ケース１

    var x = [ 0,  2,  4,  6,  8, 10, 12 ];
    var y = [ 5, 20, 30, 45, 50, 60, 70 ];
    var rtn = naLsm1Ex(x, y);
    // rtn['係数'] 　係数[0]=8.393, 係数[1]=5.268
    // rtn['相関係数']=0.993
    // rtn['信頼区間']
    //  　信頼区間[0]=4.830, 信頼区間[1]=3.789, … , 信頼区間[6]=4.830

ケース２

x=
y=

最小二乗法（ｎ次式）y = a[0] + a[1]x + … + a[n]*xn の a[i] を求める
　　a = naLsmMD(x,y.n)
　　naLsmMDTrace(x,y.n)

ｎ次式、
　　　ｙ＝ａ[0]＋ａ[1]ｘ＋ａ[2]ｘ2＋・・・＋ａ[n]ｘn
の　a[i] は、次の連立方程式の解になります。

ａ[0]ａ[1]ａ[2]・・・ａ[n]定数項
n∑x∑x2・・・∑xn∑ｙ
∑x1∑x2∑x3・・・∑xn+1∑ｙx
∑x2∑x3∑x4・・・∑xn+2∑ｙx2
：：：：：：
∑xn∑xn+1∑xn+2・・・∑x2n∑ｙxn

ケース１

    var y = [ 8,  5,  2,  0,  3,  6,  8 ];
    var x = [-3, -2, -1,  0,  1,  2,  4 ];
    var n = 2;
    naLsmMDTrace(x, y, n);
  // a[0] = 2.1, a[1] = -0.2, a[2]=0.5　　y = 2.1 - 0.2x + 0.5x2

ケース２

y=
x=
n=

最小二乗法（多項式）y = a[0] + a[1]x[0] + … + a[n]*x[n-1] の a[i] を求める
　　a = naLsmMV(x,y)
　　naLsmMVTrace(x,y)

多項一次式
　　　ｙ＝ａ[0]＋ａ[1]ｘ[0]＋ａ[2]ｘ[1]＋・・・＋ａ[n]ｘ[n-1]
の係数 a[i] は、次の連立方程式の解になります。

　ａ[0]　ａ[1]　ａ[2]　・・・　ａ[n]　　定数項
　n　∑x[0]　∑x[1]　・・・　∑x[n-1]　　∑ｙ
　∑x[0]　∑x[0]x[0]　∑x[0]x[1]　・・・　∑x[0]x[n-1]　　∑ｙx[0]
　∑x[1]　∑x[1]x[0]　∑x[1]x[1]　・・・　∑x[1]x[n-1]　　∑ｙx[1]
　：　：　：　：　：　　：
　∑x[n-1]　∑x[n-1]x[0]　∑x[n-1]x[1]　・・・　∑x[n-1]x[n-1]　　∑ｙx[n-1]

ケース１

    var y =   [12, 15,  4,  2, 18,  1, 14];
    var x = [ [ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6],
              [ 2,  5,  3,  1,  7,  1,  4],
              [ 4,  3,  0,  1,  5,  2,  6] ];
    var a = naLsmMVTrace(x, y);
    // a[0]=1.08, a[1]=-1.046, a[2]=1.68, a[3]=1.98
    //　ｙ= 1.08 - 1.04x[0]＋1.68x[1]＋1.98x[2]

ケース２

　　y=
x[0]=
x[1]=
x[2]=
x[3]=

多点系　補間法

ニュートンの補間法
　　naPolNewtonTrace(表示場所, x, y, px)　
　　py = naPolNewton(x, y, px)　

n+1個の点(x0,y0), (x1,y1), …,(xn,yn)を通るｎ次式 f(x)を、
　　　ｆ(x)＝ｃ0 + ｃ1(x-x0) + ｃ2(x-x0)(x-x1) + … + ｃn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1）
の形で表します。そして、
　　　ｆ(x0)＝y0、ｆ(x1)＝y1、…、ｆ(xn+1)＝yn+1
の関係から、ｃの値を求めて、ｎ次式 ｆ(x) を決定します。参照：「ニュートンの補間公式」

ケース１

入力
    var x = [ 0, 2, 3, 5 ];
    var y = [ 1, 5, 8,10 ];
    var px = [1, 4];
出力
    py = naPolNewton(x, y, px);
    // py = [1.614, 8.189, 6.499]
    //       px=1   px=4   px=6

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

ラグランジュの補間法
　　naPolLagrangeTrace(表示場所, x, y, px)　
　　py = naPolLagrange(x, y, px)　

n+1組の点xa[0]～xa[n]、ya[0]～ya[n] を通るｎ次式をラグランジュの補間法により求め、m 個の、xa[n+1]～xa[n+1} における ya[n+1]～ya[n+m] を戻します。

ｎ次式に一般化して、
　　　ｙ＝c0y0＋c1y1＋c2y2＋・・・＋cnyn
としたときの、ckは、次の式になります。
　　ck = (x-x0)/(xk-x0) * (x-x1)/(xk-x1) * … * (x-xk-1)/(xk-xk-1)
　　　　　　　　　　（(x-xk)/(xk-xk)の項がないことに注意）
　　　 * (x-xk+1)/(xk-xk+1) * … * (x-xn)/(xk-xn)
参照：「ラグランジュの補間法」

ケース１

入力
    var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
    var y = [ 4, 2, 6, 8, 6, 8 ];
    var px = [1, 4. 6 ];
出力
    py = naPolLagrange(x, y, px);
    // py = [1.614, 8.189, 6.499]
    //       px=1   px=4   px=6

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

スプライン補間（３次）
　　naPolSplineTrace(表示場所, x, y, px)　
　　py = naPolSpline(x, y, px)　

スプライン補間は、ｎ＋１個の点 (x0,y0), (x1,y1), … , (xn,yn) を、２つの点の区間 [xj～xj+1]ごとに別々の式（一般には３次式）Ｓj(x) を設定して緩やかな曲線にし、極端な補間値にならないようにする補間法です。参照：「スプライン補間」

区間 [xj～xj+1] における３次式を
　　Ｓj＝aj(x-xj)3 + bj(x-xj)2 + cj(x-xj) + dj　　　(j=0～n-1)
とします。
ここで aj, bj, cj, dj を求めることになります。

これらの３次式が滑らかにつながっている必要があります。それで、xj におけるＳj-1とＳjの１次導関数（傾き）Ｓ(1) と２次導関数（滑らかさ）Ｓ(2) の値が等しいという条件を加えます。さらに、始点 x0 と終点 xn での２次導関数の値が０であるとの仮定をします。

ケース１

入力
    var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
    var y = [ 4, 2, 6, 8, 6, 8 ];
    var px = [1, 4. 6 ];
出力
    py = naPolSpline(x, y, px);
    // py = [1.614, 8.189, 6.499]
    //       px=1   px=4   px=6

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

最小二乗法（高次式）による補間
　　naPolLeastSquareTrace(表示場所, 次数, x, y, px>　
　　rtn = naPolLeastSquare(次数, x, y, px>)　

ｎ組の(x,y)から、最小二乗法により、ｒ次の近似式 y=c0+a1x+c2x2+...+crxr の係数 ci を求め。この近似式により、ｆ個の px に対応する py を計算します。;
参照：「回帰分析・最小二乗法」、 「多項式、高次式での最小二乗法」

ケース１

入力
    var 次数 = 3;
    var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
    var y = [ 4, 2, 6, 8, 6, 8 ];
    var px = [1, 4. 6 ];
出力
    var rtn = naPolLeastSquare(表示場所, 次数, x, y, px);
    // c: rtn["係数"] = 3.610, -0.778 ,0.523, -0.046 　近似式 = 3.610 - 0.778x + 0.523x2 - 0.0463
    // py: rtn["補間値"] =  3.309, 5.894, 7.731

ケース２

次数
ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

ベジェ曲線（２次、３次）
　　[X, Y] = naBezier(x, y, p)　

ベジェ曲線とは、始点と終点を固定し、その直線を制御点から引っ張るような曲線にしたものです。
その計算方法は下式の通りです。
これらの式で、t=0 ～ 1 を　ｐ個に等分して、曲線の座標を (X[i], Y[i])　i=0 ～ p で戻します。

　２次ベジェ（３点を与える。始点(x[0,y[0]), 終点(x[2],y[2]), 制御点(x[1],y[1])
　　X[i] = (1-t)2*x[0] + 2(1-t)t*x[1] + t2*x[2]
　　Y[i] = (1-t)2*y[0] + 2(1-t)t*y[1] + t2*y[2]

　３次ベジェ（４点を与える。始点(x[0,y[0]), 終点(x[3],y[3]), 制御点(x[1],y[1]),(x[2],y[2])(x[2],y[2])
　　X[i] = (1-t)3*x[0] + 3(1-t)2t*x[1] + 3(1-t)*t2*x[2] + t3*x[3]
　　Y[i] = (1-t)3*y[0] + 3(1-t)2t*y[1] + 3(1-t)*t2*y[2] + t3*y[3]

ケース１

            始点   制御点　 終点
    var x = [ 0,  1,   2,    3];
    var y = [ 0,  0.5, 3.5,  3];
                              等分個数
    var [X, Y] = naBezier(x, y,  10);

ケース２

x[0]= y[0]=
x[1]= y[1]=
x[2]= y[2]=
x[3]= y[3]=
p==10,50,100

　　　

正方行列系　線形連立方程式など

連立一次方程式（ガウス=ジョルダンの掃出し法）
　　naGaussJordanTrace(表示場所, 係数表, 定数項)　
　　解 = naGaussJordan(係数表, 定数項)　

説明変数や被説明変数の標本から、連立方程式の定式化を行い、解を求めるまでの一連の処理を行うには、 maMregEq関数があります。

ケース１

入力
    var 係数表 = [ [0, 3, 2],       //  0x0 + 3x1 + 2x2 = 12
                   [2, 4, 0],       //  2x0 + 4x1 + 0x2 = 10
                   [3, 1, 5] ];     //  3x0 + 1x1 + 5x2 = 20
    var 定数項 = [12, 10, 20];
出力
    var 解 = naGaussJordan(係数表, 定数項);
    // 解[0] = 1, 解[1] = 2, 解[2] = 3

ケース２

定数項 x0 x1 x2 x3 x4
0＝
1＝
2＝
3＝
4＝

Ｎ＋１個の点を通るＮ次式の係数
　　naCoefNthDegTrace(表示場所, 点)　
　　解 = naCoefNthDeg(点)　

例えば、４個の点 [x0,y0], [x1,y1], [x2,y2], [x3,y3] を通る３次式 y = b[0] + b[1]x + b[2]x2 + b[3]x3 の係数 b[i] を求めます。
x0 < x1 < … < xn にしてください。xn が極端に大きくならないように単位を調整してください。
連立一次方程式（ガウス=ジョルダンの掃出し法）の応用です。

ケース１

入力：　点 = [[-1,0], [0,2], [1,6], [2,8] ];
出力： b[0] = 2, b[1] = 3, b[2] = 2, b[3] = -1

ケース２

x=
y=

逆行列
　　naMtxInvTrace(表示場所, 行列)　
　　逆行列 = naMtxInv(行列)　

行・列のサイズn の配列 a[i][j] の逆行列を、ガウス=ジョルダンの掃出法で求めます。メイン側で定義した二次元配列 ｘ を与えれば、x に逆行列が入り、a は壊されません。ｘを省略すると a が逆行列になります。

ケース１

var 係数表 = [ ], [], [] ]; 
入力
    var 行列 = [ [0, 3, 2],
                 [2, 4, 0],
                 [3, 1, 5] ];
出力
    var 逆行列 = naMtxInv(行列);
 // 逆行列 = [ [ -0.4,  0.26,  0.16],
 //            [  0.2,  0.12, -0.08].
 //            [  0.2, -0.18,  0.12] ]

ケース２

対称行列の逆行列
　　rtn = naMtxInvS(行列)　

共分散行列や相関行列のように、対角要素が０でない対称行列の逆行列を求めます。
対角要素を順に pivot とすればよいので単純になります。

ケース１

    var S = [ [42.00, 15.00, 24.50],
              [15.00, 31.50, 21.25],
              [24.50, 21.25, 35.88] ];

ケース２

対称行列なので右上半分だけでよい。

固有値・固有ベクトル
　　naMtxEigenTrace(表示場所, 行列)　
　　rtn = naMtxEigen(行列)　

かなり高度・複雑な処理なので、次の制約を設けました。
　・次数は２次あるいは３次だけとする。
　・固有値は実固有値だけを対象にする。
多変量解析では、高次の対称行列から、実数で絶対値の大きい固定値を２，３だけ必要なことがあります。
その目的には、maEigenPowerがあります。

ケース１

入力
    var 行列 = [ [ -1,  2,  2],
                 [  2,  2,  2],
                 [ -3, -6, -6] ];
出力
    var rtn = naMtxEigen(行列);
//    rtn["λ"]    rtn["V"]
//       -3        1, 0, -1
//       -2       -2, 1,  0
//        0        0, 1, -1

ケース２

二次形式の標準化
　２変数　F(x,y) = axxx2 + ayyy2 + axyxy
　　naQuad2Trace(表示場所, axx, ayy, axy)　
　　rtn = naQuad2(axx, ayy, axy)　
　３変数　F(x,y,z) = axxx2 + ayyy2 + azzz2 + axyxy + ayzyz + azxzx
　　naQuad3Trace(表示場所, axx, ayy, azz, axy, ayz, azx)　
　　rtn = naQuad3(axx, ayy, azz, axy, ayz, azx)　

該当する項がないときは、係数(a)を 0 にしてください。
出力
　二次形式の標準化を行います
　    ｘTＡx の対称行列 Ａ
　    標準化したときの係数（固有ベクトル）λxＸ2 + λyＹ2
      naQuad2Trace では、関連する多様な情報も出力
（参照：二次形式,楕円と双曲線のグラフ）

ケース１

２変数
    F(x,y) = 3x2 + 3y2 - 2xy → axx = 3, ayy = 3, axy = -2
    var rtn = naQuad(axx, ayy, axy);
  出力
　　A = rtn["A"}
　　  A[0][0] =  3　　A[0][1] = -1
　　  A[1][0] = -1　  A[1][1] =  3
    λ = rtn["λ"]
　    λ[0] = 4　λ[1] = 2

３変数
    F(x,y,z) = 1x2 + 2y2 - 1z2 + 0xy - 2yz + 2zx　→ axx=1, ayy=2, azz=-1, axy=0, ayz=-2, azx=2　
    var rtn =  naQuad(axx, ayy, azz, axy, ayz, azx);


ケース２

欠ける項は 0 を指定してください。
２変数： axx= ayy= axy=
３変数： axx= ayy= azz= axy= ayz= azx=


一般２次関数の標準二次形式化
　　naQuad2XYTrace(表示場所, axx, ayy, axy, ax, ay, a1)　

F(x,y) = axxx2 + ayyy2 + axyxy + axx + ay + a1 を
・x = x - u, y = y - v の変換をして、１次の項を消去する。　
  　G(x,y) = axxx2 + ayyy2 + axyxy + a1 = 0
・さらに標準化して、
　　H(x,y) = λxＸ2 + λyＹ2 + Ｃ = 0
  の形式にする。

ケース１

例１：F(x,y) = x2 + y2 + xy - 3x - 3y = 0
      naQuad2XYTrace(表示場所, 1, 1, 1, -3, -3, 0);
例２：F(x,y) = x2 - y2 - 2xy + 4x + 4y  + 4 = 0    
      naQuad2XYTrace(表示場所, 1, -1, -2, 4, 4, 4);

ケース２

F(x,y) = axxx2 + ayyy2 + axyxy + axx + ay + a1
欠ける項は 0 を指定してください。
axx= ayy= axy= ax= ay= a1=