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数値解析
二次形式
二次形式(Quadratic Form)とは
二次形式とは，二次の項のみからなる多項式のことです。
例： 3x2 - 2xy + 3y2
( 3x2 - 2xy + 3y2 + 4x のように１次の項があるものは二次形式ではありません。
しかし、X=x+a, Y=y+b のような変換をして二次形式にすることができます。）
3x2 - 2xy + 3y2 + 4z2 のように変数はいくつあってもかまいません。
しかし多変数では計算が複雑になるので、ここでは２変数を主として、参考的に３変数に言及するだけにします。
二次形式とグラフ
一般に（１次の項も持つ）２次関数は楕円あるいは双曲線になります。
上述のような変換をすれば、平行移動により原点を中心としたグラフになります。
さらに後述の正規化をすると、回転移動により、Ｘ軸・ｙ軸に対称なグラフになります。
しかし、二次形式は定数項ももたず f(x,y) の式を扱うのが目的で、f(x,y) = 0 を対象にしません。
グラフでいうなら f(x,y) = c の等高線のグラフになります。
参照ax2+2bxy+cy2=1 のグラフ
二次形式の行列表示
3x2 - 2xy + 3y2 は、次のように行列表記できます。
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
[x y] │ 3 -1││x│ 検証 │3x-1y -1x+3y││x│ 3x2-1xy - 1xy+3y2 = 3x2 - 2xy + 3y2
│-1 3││y│ └ ┘│y│
└ ┘└ ┘ └ ┘
これを、x → x0, y → x1, … と一般化して
ｘT Ａ x ｘT は x の転置行列, Ａは対称行列
と表記します。
Ａの公式
二次関数を a00 x02 + a11 x12 + a01 x0x1 とすると
┌ ┐
Ａ＝ │a00 a01/2│ a01/2 = a10
│a10/2 a11 │ 対象行列になる
└ ┘
３変数でも同様です。
a00 x02 + a11 x12 + a22 x22
+ a01 x0x1 + a12 x1x2 + a20 x2x0
┌ ┐
Ａ＝ │a00 a01/2 a02/2│
│a10/2 a11 a12/2│
│a20/2 a21/2 a22 │
└ ┘
標準二次形式
3x2 - 2xy + 3y2 のような二次形式に対して
のように他変数の積を含まないものを標準二次形式といいます。
グラフで直観的にいえば、一般の二次形式は軸に対して傾いているのに標準二次形式は軸に対して対象です。
長軸・短軸の長さは維持されます。
すなわち、標準化とはグラフを回転することだといえます。
（標準化してxyの項をなくすことを平方完成ともいいます）
唐突ですが、3x2 - 2xy + 3y2 において、
X = (x+y)/√2, Ｙ = (x-y)/√2 とすると、
x = (Ｘ+Ｙ)√2 、Ｙ = (Ｘ+Ｙ)√2
これを上式に代入すると
2Ｘ2 + 4Ｙ2
になります。
変換式を求める前に、直接に
ＰＸ2 + ＱＹ2
の係数Ｐ、Ｑを求めるのが通常です。
それには固有値を使います。
参照：固有値・固有ベクトルの基礎、計算ライブラリ
┌ ┐
Ａ - λＥ = │ 3-λ -1 │
│-1 3-λ│
└ ┘
から (3-λ)2 - 1 = 0 ∴ λ = 2, 4 (固有値)
この固有値が、Ｘ、Ｙの係数Ｐ、Ｑになります。
2Ｘ2 + 4Ｙ2
4Ｘ2 + 2Ｙ2
２つの解が得られましたが、グラフでいえば長軸をｘ軸・Ｙ軸のどちらにするかの違いです。
代数的には、ＸとＹの係数を入れ替えたことになります。
２変数での固有値の公式
一般に固有値の計算は高次式の解を求めるのですが、２変数のときは２次式なので簡単です。
┌ ┐
Ａ - λＥ = │ a00-λ a01/2 │
│ a10/2 a11-λ│
└ ┘
(a00-λ)(a11-λ) = (a01/2)2
λ = (1/2) * {a00 + a11 ±√((a00-a11)2 + a012))}
a00 = 3, a11 = 3, a01 = -2 とすれば
λ = (1/2) * {3 + 3 ±√((3-3)2 + (-2)2))}
= 4, 2
標準化（x,y → X,Y 変換）
先に、X = (x+y)/√2, Ｙ = (x-y)/√2 としましたが、それを求める方法を示します。
固有値λ = 4, 2 を Ａ-λＥ に代入します。
λ = 4 のとき
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│ 3-λ -1 ││x│= │-1 -1││x│
│-1 3-λ││y│ │-1 -1││y│
└ ┘└ ┘ └ ┘└ ┘
これより、x + y = 0 となります。その関係を行列表示すると
┌ ┐ ┌ ┐
│x│= k│-1│= 0
│y│ │ 1│
└ ┘ └ ┘
kは任意定数であり、単位ベクトルにするには k = 1/√{(-1)2 + 12} = 1/√2 になります。
これから、X = (x+y)/√2 の関係になります。
同様にλ = 2 のとき
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 3-λ -1 ││x│= │ 1 -1││x│ x - y = 0 → │x│= k│1│ → Y = (x-y)/√2
│-1 3-λ││y│ │-1 1││y│ │y│ │1│
└ ┘└ ┘ └ ┘└ ┘ └ ┘ └ ┘
X = (x+y)/√2, Y = (x-y)/√2 の置換をすれば、標準形 2X2 + 4Y2 になります。。
このとき、XとYのどちらにλの値を用いるかは決まった規則はありません。
X = (x-y)/√2, Y = (x+y)/√2 とすると、標準形 4X2 + 2Y2 になります。
二次形式の直交軸
先に標準化とは二次形式のグラフを回転して、Ｘ軸・Ｙ軸に対称にしました。
元の二次形式のグラフが対称になる軸を求めるのは簡単で、上の例では
x + y = 0 y = -x
x - y = 0 y = x
がそれにあたります。この２つの直交軸で対象になっています。
これと標準二次形式での長軸・短軸の長さを組み合わせれば、
例えば、第１象限での長軸端点は、y = x の方向で長さ √4 の点 (√2, √2)
というように、元の二次形式での端点が求められます。
２変数での変換公式
λ = λ0=4 のときのＸ
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│ a00-λ0 a01 ││x│ → k │a00-λ0│
│ a01 a11-λ0││y│ │a01 │
└ ┘└ ┘ └ ┘
k = 1/√{(a00-λ0)2 + (a01)2}
X = k((a00-λ0)x + a01y)
ここで a00 = 3. a01 = -1, λ0 = 4 を代入すると
a00-λ0 = -1
k = 1/√{(-1)+(-1)} = 1/√2
X = (-1x -1y)/√2
λ = λ1=2 のときのY
k = 1/√{(a00-λ1)2 + (a01)2}
= 1/√{12+(-1)} = 1/√2
Y = k((a00-λ1)x + a01y)
= (1x - 1y)/√2
従って、X = -(x+y)/√2, Y = (x-y)/√2 （x = -(X-Y)/√2, y = -(X-Y)/√2）
これを、3x2 - 2xy + 3y2 に代入すれば、2X2 + 4Y2 となる。
（λ0, λ1 と X, Y の対応を逆にすれば、4X2 + 2Y2 となる。
解説文と公式結果では、係数の正負が逆になっているが、二項形式では全項が２乗されるので同じ結果になります。
また正負が逆とはグラフでのベクトルの向きが反対になることであり、本質的なことではありません。
元の二次形式の対象軸は、
(a00-λ0)x + a01y = 0 -1x -1y = 0 y = -x
(a00-λ1)x + a01y = 0 1x -1y = 0 y = x
で求められます。
二次形式関数の極値
定値性
定値性とは、二次形式関数 Ｆ のとり得る範囲（正負）を示すものです。
Ｆの標準二次形式 Ｓ = ＰＸ2 + ＱＹ2 において Ｘ2≧0, Ｙ2≧0 ですから
Ｆの正負はＳの係数Ｐ、Ｑの正負、すなわち、固有値の正負により決まります。
正定値 Ｆ＞０ すべてのλ＞０
半正定値 Ｆ≧０ λ≧０
負定値 Ｆ＜０ λ＜０
半負定値 Ｆ≦０ λ≦０
不定値 正負あり 正負あり
二次形式の微分
xT Ａ x の微分は 2Ａx になります。
二次形式関数をＦ(x,y) = 3x2 - 2xy + 3y2 とします。
dy/dx = (∂Ｆ/∂x) / (∂Ｆ/∂y)
= (6x - 2y) / (-2x + 6y )
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
行列表示では │ 6 -2 ││x│ = ２*│ 3 -1 ││x│ = 2Ａx
│-2 6 ││y│ │-1 3 ││y│
└ ┘└ ┘ └ ┘└ ┘
Ｆが極値をとるのは、dy/dx = 0 のときですから
3x - 1y = 0 y = 3x
すなわち、この直線とＦとの交点でｙが極値になることがわかります。
(dx/dy = 0 からは y =(1/3)x が得られます。ｘの極値になります）
これにより、(x,y) の範囲を確定できます。
一般化すれば、
dy/dx = 2(a00x + a01y)
dx/dy = 2(a01x + a11y)
となります。
レイリー（Rayleigh）商
レイリー商 Ｒ は、次のように定義されます。
Ｒ = (xT Ａ x) / |x|2
そして、次の公式が証明されています。
Ｒmin = λmin, Ｒmax = λmax
これにより、最大値, 最小値をとるときの x, y に関する条件が求められます。
これまで用いてきた関数Ｆでは
Ｒ = (3x2 - 2xy + 3y2) / (x2 + y2)
┌ ┐
Ａ = │ 3 -1│
│-1 3│
└ ┘
λmin = 2, λmax = 4 → y = ±x
を代入すれば
Ｒ = (6±2)x2 / 2x2 = 2, 4 になります。
すなわち、レイリー商は
「x2 + y2 = c の制約で、Ｆの最大（小）値を求めよ」
というような問題に適しています。
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