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待ち行列の概要


待ち行列で用いる記号

待ち行列では,次の記号をよく用います。
  λ(ラムダ):客の平均到着率[人/時]⇔1/λ:客の平均到着間隔[時/人]
  μ(ミュー):一つの窓口の平均サービス率[人/時]⇔1/μ:窓口の平均サービス時間[時/人]
  s:窓口の個数
  ρ(ロー)=λ/(sμ)    窓口が1個のときは ρ=λ/μ
  P0:サービス中を含む(「系の中」という)客数が0である確率
     (窓口が1個のときは,待たずにサービスが受けられる確率)
  Pn:系の中の客数がn人である確率
  L:系の中にいる客の平均人数[人]=1P1+2P2+3P3+・・・+nPn
  Lq:サービスを待っている人の平均人数[人]=1Ps+1+2Ps+2+3Ps+3+・・・+(n-s)Pn
  W:系の中(到着してからサービスを受けて去るまで)の平均時間[時]
  Wq:到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間[時]

M/M/1(∞)での公式

次の公式を覚えておくことが大切です。
  P0=1-ρ
  P=ρ0=ρ(1-ρ)
  L=ρ/(1-ρ)
  Lq=ρ2/(1-ρ)
  W=L/λ=1/(μ-λ)
  Wq=Lq/λ=λ/(μ(μ-λ))

問題

1台のレジがある。客の到着が1時間あたり平均12人であり,レジでの所要時間は平均3分であるとき,次の値を求めよ。
 1 到着したとき,すぐにサービスが受けられる確率
 2 系の中にいる人の平均人数
 3 サービスを待っている人の平均人数
 4 到着してからサービスを受けて去るまでの平均時間
 5 到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間

解答

客の到着が1時間あたり平均12人→λ=12/60=1/5[人/時]
レジでの所要時間は平均3分→μ=1/3[人/時]
  ρ=λ/μ=(1/5)/(1/3)=3/5=0.6
1 P0=1-ρ=1-0.6=0.4
2 L=ρ/(1-ρ)=0.6/(1-0.6)=1.5[人]
3 Lq=Lρ=1.5×0.6=0.9[人]
4 W=L/λ=1.5×5=7.5[分]
5 Wq=Wρ=7.5×0.6=4.5[分]


理解度チェック

過去問題: 「待ち行列」

発展 「待ち行列」