ポアソン分布と指数分布
この部分は「待ち行列の概要」と重複します。
結論
客の到着が単位時間あたり平均λでランダムに発生するとき，平均がλのポアソン分布になり，ある客が到着してから次の客が到着するまでの時間の間隔は平均１／λの指数分布になります。すなわち，ポアソン分布と指数分布は裏返しの関係があるのです。
ランダムとは
ランダムとはデタラメ（＝法則性がない）のことですが，数学的には次の３つの仮定が可能であることをいいます。
- 独立性
- ある単位時間に到着する客の数は，それ以前の客の到着状況とは無関係だという性質です。先に大勢来たから今度は少ないだろうとか，これまでに増加しているのでもっと増えるだろうというような，以前の影響は受けないということです。
- 定常性
- 朝や夕方のアッシュアワーのような時間帯による変化はなく，到着の分布は常に一定であるという性質です。系の中にいる人数がｎ人である確率Ｐnは，時間によらず一定になります。
- 稀少性
- 単純にいえば，客は連れ立って来ることはなく，一人ずつ来るということです。いいかえれば，到着間隔は０にはならないということです。
ポアソン分布
単位時間内に一人の客が来る確率をｐとすれば，来ない確率は（１－ｐ）です。客の総数がＮ人であり，そのうちのｎ人が来るとすれば，その確率Ｐｎは，
Ｐｎ＝ＮＣｎｐｎ(１－ｐ)Ｎ－ｎ
の二項分布になります。このとき，Ｎｐ＝λとして，Ｎを大きくすると，
Ｐｎ＝（λｎ／ｎ！）×ｅ－λ
ｎ！ （ｎの階乗）＝１×２×３×・・・×ｎ， ｅ （自然対数の底）＝2.71828
に近づきます。これをポアソン分布といいます。このポアソン分布の平均はλ，分散もλです。
ポアソン分布のグラフを示します。ｎ＝４のとき，λ＝２のグラフのＰｎ，すなわちＰ２はほぼ０.１になります。これは，単位時間に到着する平均が２のとき，単位時間に４人が到着する確率が０.１であるということです。
各曲線がｎ＝λ付近で最大になるのは，実際に到着する人数は平均に近いことが多いということですし，λが大きくなるほど平らになるのは，平均人数が多いほど実際に来る人数のバラツキが大きくなるからです。これは常識と一致しますね。
指数分布
到着間隔がｔだということは，「ｔ時間までには来なかった」ことと「ｔ時に客が１人来た」ことのどちらかが起こるということです。ｔにおける確率をｆ(ｔ) とすれば，「ｔ時に客が１人来た」確率はｆ(ｔ)／λであり，「ｔ時間までには来なかった」のはｆ(ｔ) の０～ｔまでの積分になりますから，
が成立します。これを指数分布といます。
指数分布の平均は１／λ，分散は１／λ２です。
このｆ(t)をｔから∞まで積分すると，ｅ－λｔになります。これは，到着間隔がｔよりも大きいときの確率になります。このグラフは下のようになります。
λｔが１.６のときの確率は０.２になります。これは実際の到着ｔ＝１.６／λ［時］以上である確率が０.２であるということです。仮にλを２［人/時］（平均到着間隔は１/２［時/人］）としましょう。すると，ｔ＝１.６／２＝０.８［時］であり，これは平均到着間隔の１.６倍です。すなわち，このグラフの横軸は平均到着間隔の倍数と考えてよいのです。
なおここまでは，説明をしやすいために，客の到着を例にしましたが，窓口のサービスについても同様です。平均サービス率がμのときは次のようになります。
| 事象 | 分布の種類 | 式 | 平均 | 分散 |
| サービス完了回数 | ポアソン分布 | Ｐｎ＝（μｎ／ｎ！）×ｅ－μ | μ | μ |
|---|---|---|---|---|
| サービス時間の分布 | 指数分布 | ｆ(ｔ）＝ μｅ－μｔ | １／μ | １／μ２ |
一定分布（Ｍ／Ｄ／１）
これは，サービス時間が一定値 １／μ である場合です。分散は０です。窓口の場合はレギュラーサービス，客の場合はレギュラー到着ともいいます。
アーラン分布（Ｍ／Ｅｋ／１）
実務では，一定分布になることは稀ですし，指数分布のようにｔ＝０のときが最大になることも少ないでしょう。指数分布と一様分布との中間に相当する分布にアーラン分布があります。ｋをパラメタ（位相）として，次式で表されます。
ｆ(ｔ）＝｛(μｔ)ｋ－１／(ｋ－１)！｝×μｅ－μｔ
上式で，ｋ＝１とすると，｛ ｝の中が１になり，指数分布と一致します。また，ｋ＝∞のときは，ｆ(ｔ）＝１／μになり，一様分布と一致します。アーラン分布をイメージ的に解釈すると（客の到着では）ｋ人おきの客を対象としたことになります。
なお，ｋを変化させたときのグラフは，次のようになります。
アーラン分布の平均は １／μ，分散は １／ｋμ２ になります。
Ｍ／Ｇ／１でのＷq（サービスが多様な場合の平均待ち時間）
客の到着は自由になりませんが，サービス時間のコントロールをすることは比較的可能です。それで，ポアソン到着でサービスが多様な分布のときの研究が広く行われています。ここでは，代表的なポラチェック・ヒンキンの公式の結果だけを示します。
Ｗq＝｛λ／μ(μ－λ)｝×｛(１＋Ｃ２)／２｝
右辺の第１項は，Ｍ／Ｍ／１でのＷqであり，サービス分布により第２項の補正係数がつくと理解すればよいでしょう。
ここでＣはサービス時間の変動係数（＝標準偏差／平均）であり，Ｃ２は分散／平均２になります。
各種分布での補正係数は次のようになります。すなわち，サービス時間が一定のときは，ランダムのときと比較して，平均待ち時間は１／２になります。作業の標準化が顧客満足を得る例であるともいえましょう。
| 分布 | 平均 | 分散 | Ｃ２ | (１＋Ｃ２)／２ |
| 指数分布（Ｍ） | １／μ | １／μ２ | １ | １ |
|---|---|---|---|---|
| 一定分布（Ｄ） | １／μ | ０ | ０ | １／２ |
| アーラン分布（Ｅｋ） | １／μ | １／ｋμ２ | １／ｋ | (１＋ｋ)／２ｋ |
なお，Ｗqがわかれば，リトルの公式により，Ｗ，Ｌq，Ｌを求めることができます。
Ｗ＝Ｗq－１／μ， Ｌq＝λＷq， Ｌ＝λＷ
Ｇ／Ｇ／１の近似式
到着が一般分布のときは，上のような正確な定式化はできず，近似式があるだけです。
Ｗq＝｛λ／μ(μ－λ)｝×｛(Ｃλ２＋Ｃμ２)／２｝
ここで、｛(Ｃλ２＋Ｃμ２)／２｝を補正係数とします。
Ｃλは客の到着の変動係数，Ｃμは窓口のサービスの変動係数
Ｍ／Ｍ／１のとき、補正係数＝１です。
Ｍ／Ｇ／１への変形
客の到着分布は制御できないが、サービス時間分布はある程度は制御できるとしましょう。上のＭ／Ｇ／１をＧ／Ｇ／１の近似式から吟味します。
到着がポアソン分布では平均λ，分散λですから，Ｃλ２＝１になります。
サービス時間分布は、指数分布（M) と一定（D) との間になります。
・Ｍ／Ｍ／１のとき：補正係数＝１
・Ｍ／Ｄ／１のとき：Ｃμ２＝０ → 補正係数＝（１＋０）／２＝１／２
ですから、Ｍ／Ｇ／１の補正係数は１／２～１になります。
そのため、どのような分布になるよう制御しても、平均待ち時間は、Ｍ／Ｍ／１のときの１／２～１倍の間になる（１／２以下にはできない）といえます。