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数値解析関連 JavaScript関数ライブラリ na.js の利用解説書

ご利用にあたって

代数系　　f(x) を指定する

代数方程式 f(x) = 0 の根：はさみうち法
　　naFx0HasamiuchiTrace(表示場所, fx, xmin, xmax[, eps])　
　　var x = naFx0Hasamiuchi(fx, xmin, xmax[, eps])　

はさみうち法による f(x) = 0 の解（参照：「方程式の根」）を求める。
fxは文字列として、全体を" "で囲む。
xmin～xmaxの間に唯一の実根があることを前提にしている（ f(xmin) と f(xmax) が同符号ではいけません。
二分法でxmin～xmaxの範囲を狭めていき、絶対誤差 |f(x)| < eps になるまで繰り返す。epsを省略すると、(xmax-xmin)/1000とする。

ケース１

入力
　　var fx = "x*x-1";
　　var xmin = 0;
　　var xmax = 3;
　　var eps = 0.001;
出力
　　var x = naFx0Hasamiuchi(fx, xmin, xmax, eps);
//　　x：1

ケース２

fx= xmin= xmax= eps=

方程式の根（ニュートン法）
　　naFx0NewtonTrace(表示場所, fx, x0[, eps]); 　
　　var x = naFx0Newton(fx, x0[, eps]);　

ニュートン法により、方程式の実根を求める。
　　　xn = xn-1 - f(xn-1)/f'(xn-1) 　　(f'=df/dx)
を繰り返して根に近づく。参照：「方程式の根」
　x0は初期値。その値により異なる解に達したり、解が得られないことがある。

fxは文字列として、" "で囲む。eps を省略すると 0.001 になる、

ケース１

入力
　　var fx = "x*x-1";
　　var x0 = 0.3;
　　var eps = 0.001;
出力
　　var x = naFx0Newton(fx, x0, eps);
//　　x：1

ケース２

fx= x0= eps=

３次方程式の複素数根　a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0
　　naFx03jiTrace(表示場所, a0, a1[, a2[, a3]]) 　
　　var x = naFx03ji(a0, a1[, a2[, a3]])　 　

　

a3を省略すると２次方程式、さらにa2を省略すると１次方程式になる。
２次方程式は根の公式による。３次方程式は、特殊なケースを除き、ニュートン法により一つの実根を求め、式の変形により２次方程式にして求める。
戻り値は２次元配列である。下の［出力］参照

ケース１

入力
　　var x = naFx03ji(2, 0, -1, 1); // 2x3 - x + 1 = 0
出力
　　x[k][0] 実数部 x[k][1] 虚数部
　　x[0][0]= 1.000　x[0][1]= 0.9999
　　x[1][0]= 1.000　x[1][1]=-0.9999
　　x[2][0]=-1.000　x[2][1]= 0

ケース２

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0

数式 f(x) を最大にする x
　　naFxMaxTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, eps]) 　
　　var x = naFxMax(fx, xmin, xmax [, eps])　

数式 f(x) が最大となるｘの値を戻します。
　xmin～xmaxを100等分してdxとし、for (x=xmin, x<=xmax; x=x+dx) でf(x) を最大にする x を求め、次に x-dx～x+dx で同様な操作を繰り返すことにより、最終的な最適値 x を求めます。epsを省略すると(xmax-xmin)/1000になります。

ケース１

入力
　　var fx= "x*(x-1)*(x-2)";
　　var xmin = -1;
　　var xmax = 2;
　　var eps = 0.0001;
出力
　　var x = naFxMax(fx, xmin, xmax, eps);
　　// x = 0.4226

ケース２

fx= xmin= xmax= eps=

代数式 f(x) のxにおける微分係数ａ
　　naFxDiffTrase(表示場所, fx, x [, d, eps]) 　
　　var a = naFxDiff(fx, x [, d, eps]) 　

fxのｘにおける微係数aを求めます。ｘの近傍の２点 x-d*xとx-d*xでの勾配をa0とし、ｄを1/2にしたときの勾配aとの差が、相対誤差 |(a-a0)/a| < eps になるまで繰り返します。
dを省略すると0.01、epsを省略すると0.001にしています。

ケース１

入力
　　var fx= "x*x";
　　var x = 1;
　　var d = 0.01;　　　　// 微小区間
　　var eps = 0.001;　　// 打切誤差
　　var a = naFxDiff(fx, x, d, eps);
出力
　　a = 2

ケース２

fx= x= d= eps=

微分方程式（ルンゲクッタ法）
　　naFxRungeKutta(表示場所, fxy, x, dx) 　
　　a = naFxRungeKutta(fxy, x, dx) 　

一階微分 dy/dx = f(x,y) の式を与えて y(x+dx) = y(x) + a*dx の a の値を、４次のルンゲクッタ法により求めます。

ルンゲクッタ法では、次のステップで定義します。
　　　　k1 = f(x,y)
　　　　k2 = f(x+dx/2, y+k1*dx/2)
　　　　k3 = f(x+dx/2, y+k2*dx/2)
　　　　k4 = f(x+dx, y+k3*dx)
　　　a = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

ケース１

入力
　　var fxy= "x*y";　　// 文字列 f(x,y) をJavaScript形式で記述
　　var x = 2;　　　　// fxy に x がなくても形式的に適当な値を与える
　　var y = 1;　　　　// fxy に y がなくても形式的に適当な値を与える
　　var dx = 0.01;
　　var a = naFxRungeKutta(yx, x, y, dx);
出力
　　a=2.0252

ケース２

fxy= x= y= dx=

微分方程式（ルンゲクッタ法）作表
　　var [x, y, a, dy] = naFxRungeKuttaTable(fxy, xmin, xmax, dx, y0) 　

一階微分 dy/dx = f(x,y) の式を与えて ４次のルンゲクッタ法により x = xmin～xmax に対応する y の値、および関連する値を算出します（y0 は x = xmin のときの y の値）。
　　x：　x = xmin, xmin+dx, xmin+2*dx, …, xmax の値
　　y：　x に対応する y の値
　　a：　(x,y) における微分係数
　　dy： y の増分 a*dx
ここでは参考のために、表の一部を表示していますが、関数自体は表示機能は持っていません。

dy/dx=fxy= xmin= xmax= dx= y0=

連立微分方程式（ルンゲクッタ法）
　　naFxRungeKutta2Trace(表示場所, ft, gt, x, y, dt) 　
　　var [ax, ay] = naFxRungeKutta2(ft, gt, x, y, dt) 　

二つの一階微分 dx/dt = f(x,y),　dy/dt = g(x,y) の式を与えて、
点(x,y) で　x(t+dt) = x(t) + ax*dt,　y(t+dt) = y(t) + ay*dt となる偏微分係数 ax, ay の値を
４次のルンゲクッタ法により求めます。

ルンゲクッタ法では、次のステップで定義します。
　　　　k1 = f(x,y)
　　　　k2 = f(x+dx/2, y+k1*dx/2)
　　　　k3 = f(x+dx/2, y+k2*dx/2)
　　　　k4 = f(x+dx, y+k3*dx)
　　　a = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

ケース１

入力
　　var ft = "4*x - x*y";　　　　// dx/dt を 文字列 ft として与える
　　var gt = "-10*x + 2*x*y";　// dy/dt を 文字列 gt として与える
　　var x = 10;
　　var y = 15;
　　var dt = 0.01;
　　var ax. ay = naFxRungeKutta2(ft, gt, x, y, dt);
出力 　　ax = -104.728, ay = 221.522

ケース２

dx/dt=ft= dy/dt=gt= x= y= dt=

連立微分方程式（ルンゲクッタ法）作表
　　var [t, x, ax, dx, y, ay, dy] = naFxRungeKutta2Table(ft, gt, x0, y0, tmin, tmax, dt);

二つの一階微分 dx/dt = f(x,y),　dy/dt = g(x,y) の式と t = tmin における x0, y0 を与えて、t = tmin～tmax （刻み dt）での x(t), y(t) などを表の形式で戻します。

　　t： t[i] = t　t = tmin, tmin+dt, tmin+2*dt, …, tmax の値
　　x： x[i]
　　ax：偏微分係数　∂x/∂t(t)
　　dx：x の増分　ax[i]x*dt
　　y： y[i]値
　　ay：偏微分係数　∂y/∂t(t)
　　dy：y の増分 ay[i]*dx
ここでは参考のために、表の一部を表示していますが、関数自体は表示機能は持っていません。

dx/dt=ft= dy/dt=gt= x0= y0= tmin= tmax= dt=

数式 f(x) の極値（複数）
　　naFxExtremeTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, eps]) 　
　　var [極値, 大小] = naFxExtreme(fx, xmin, xmax [, eps])　

数式 f(x) の極値 f'(x) が正から負へ、負から正に変化する点（複数）を戻します。
　まず、xmin～xmaxを100等分してdxとし、x-dx と x+dx の間で f'(x) の符号が変化したら極値があることになります。
　次に x-dx～x+dx で同様な操作を繰り返すことにより、最終的な最適値 x を求めます。精度は0.0001 になります。
戻り値の形式
　極値：xi
　大小：xi が極大なら１、極小なら－１

ケース１

入力 　　var fx= "x*(x-1)*(x-2)";
　　var xmin = -1;
　　var xmax = 3;
　　var [極値, 大小] = naFxExtreme(fx, xmin, xmax);
出力
　　極値[0] = 0.423　大小[0] = 1　 // x=0.423 のとき、極大になる
　　極値[1] = 1.578　大小[1] = -1　// x=1.578 のとき、極小になる

ケース２

fx= xmin= xmax=

代数式 f(x) の定積分（シンプソン則）
　　naFxSimpsonTrace(表示場所, fx, xmin, xmax [, n2, eps])　
　　var s = naFxSimpson(fx, xmin, xmax [, n2, eps])　

シンプソン則は、２次式で近似します。
　閉区間［xmin，xmax］を２ｎ等分して、ｈ＝(xmax－xmin)／２にすると（すなわち
　　　ｘ0(=xmin),ｘ1,ｘ2,....,ｘ2n(=max)
ととして、ｘiに対応するfxの値を yiとすると）
　　　Ｓ＝(xmax－xmin)/6n *｛（ｙ0＋ｙ2n)＋４(ｙ1＋ｙ3＋...ｙ2n-1)＋２(ｙ2＋ｙ4＋...ｙ2n-2) ｝
となります。参照：「定積分」

最初のn2で計算した値をs0、次にn2を２倍（すなわちキザミ幅を1/2）にして計算した値を s として、相対誤差 |(s-s0)/s| ＜eps となるまで繰り返します。
n2を省略すると20、epsを省略すると (xmax-xmin)/1000 にしています。

ケース１

入力
　　var fx = "x*x";
　　var xmin = 1;
　　var xmax = 2;
　　var n2 = 20;
　　var eps = 0.001;
出力
　　var s = naFxSimpson(fx, xmin, xmax, n2, eps);
　　// s = 2.333

ケース２

fx= xmin= xmax= n2（キザミ数）= eps=

漸化式の特性方程式

漸化式の係数と初期値を与えて、an の一般解を「文字列」として戻します。
ここでは一般解が１命令で表現できる漸化式に限定しています。
Trace では、元の漸化式を順次計算した数列と、一般解にｎを代入した数列を表示するので、一般解の確認ができます。
（係数と初期値の値によっては、一般解が得られないこともあります）

　an+1=p*xn+q
　　naZenka2Trace(表示場所, a1, p, q)　
　　var an = naZenka2(a1, p, q)　

　　a1= 　p= q= an=

　an+1=p*xn+ q + rn
　　naZenka2nTrace(表示場所, a1, p, q, r)　
　　var an = naZenka2n(a1, p, q, r)　

　　a1= 　p= q= r= an=

　an+1=p*an+ q*rn
　　naZenka2eTrace(表示場所, a1, p, q, r)　
　　var an = naZenka2e(a1, p, q, r)　

　　a1= 　p= q= r= an=

　an+1=p*anq
　　naZenka2expTrace(表示場所, a1, p, q)　
　　var xn = naZenka2exp(a1, p, q)　

a1 および（あるいは）p が負数のときは、q を整数に限定しています。
その場合でも、適切な解がえられないことがあります、
　　a1= 　p= q= an=

　an+2=p*an+1+ q*an
　　naZenka3Trace(表示場所, a1, a2, p, q)　
　　var an = naZenka3(a0, a1, p, q)　

特性方程式の判別式 D = q2 + 4q の正負により、計算方法が異なります。
D > 0 （実根）の例：a1=0, a2=1, p=2, q=3
D = 0 （重根）の例：a1=0, a2=3, p=6. q=-9
D < 0 （虚根）の例：a1=2, a2=4, p=2, q=-3
　　a1= a2= 　p= 　q= an=

多点系　 点(x,y) を与える

多点系　最小二乗法

最小二乗法（１次式）y = a[0] + a[1]x
　　naLsm1Trase(表示場所,x,y)
　　var a = naLsm1(x,y)

ケース１

入力
　　var x = [ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ];
　　var y = [ 1, 20, 30, 45, 50, 60, 70 ];
　　var a = naLsm1(x, y);
出力
　　a[0] = 6.54, a[1] = 5.48
　　//　y = 6.54 + 5.48x

ケース２

x=
y=

最小二乗法（１次式）の拡張　相関係数と９５％信頼区間
　　naLsm1ExTrace(表示場所, x,y)
　　var [a, r, CI] = naLsm1Ex(x,y)

ケース１

入力
　　var x = [ 0,　2,　4,　6,　8, 10, 12 ];
　　var y = [ 5, 20, 30, 45, 50, 60, 70 ];
　　var rtn = naLsm1Ex(x, y);
出力
　　係数　a[0]=8.393, a[1]=5.268
　　相関係数　r=0.993
　　信頼区間　CI[0]=4.830, CI[1]=3.789, … ,CI[6]=4.830

ケース２

x=
y=

最小二乗法（ｎ次式）y = a[0] + a[1]x + … + a[n]*xn の a[i] を求める
　　naLsmMDTrace(表示場所, x,y.n)
　　var a = naLsmMD(x,y.n)

ｎ次式、
　　　ｙ＝ａ[0]＋ａ[1]ｘ＋ａ[2]ｘ2＋・・・＋ａ[n]ｘn
の　a[i] は、次の連立方程式の解になります。

ａ[0]ａ[1]ａ[2]・・・ａ[n]定数項
n∑x∑x2・・・∑xn∑ｙ
∑x1∑x2∑x3・・・∑xn+1∑ｙx
∑x2∑x3∑x4・・・∑xn+2∑ｙx2
：：：：：：
∑xn∑xn+1∑xn+2・・・∑x2n∑ｙxn

ケース１

入力
　　var y = [ 8,　5,　2,　0,　3,　6,　8 ];
　　var x = [-3, -2, -1,　0,　1,　2,　4 ];
　　var n = 2;
　　var a = naLsmMD(x, y, n);
出力
　　a[0] = 2.12, a[1] = -0.27, a[2]=0.50
　　// y = 2.12 - 0.27 x + 0.50 x2

ケース２

y=
x=
n=

最小二乗法（多項式）y = a[0] + a[1]x[0] + … + a[n]*x[n-1] の a[i] を求める
　　naLsmMVTrace(表示場所, x,y)
　　var a = naLsmMV(x,y)

多項一次式
　　　ｙ＝ａ[0]＋ａ[1]ｘ[0]＋ａ[2]ｘ[1]＋・・・＋ａ[n]ｘ[n-1]
の係数 a[i] は、次の連立方程式の解になります。

　ａ[0]　ａ[1]　ａ[2]　・・・　ａ[n]　　定数項
　n　∑x[0]　∑x[1]　・・・　∑x[n-1]　　∑ｙ
　∑x[0]　∑x[0]x[0]　∑x[0]x[1]　・・・　∑x[0]x[n-1]　　∑ｙx[0]
　∑x[1]　∑x[1]x[0]　∑x[1]x[1]　・・・　∑x[1]x[n-1]　　∑ｙx[1]
　：　：　：　：　：　　：
　∑x[n-1]　∑x[n-1]x[0]　∑x[n-1]x[1]　・・・　∑x[n-1]x[n-1]　　∑ｙx[n-1]

ケース１

入力
　　var y =　 [12, 15,　4,　2, 18,　1, 14];
　　var x = [ [ 0,　1,　2,　3,　4,　5,　6],　　// x[0][j]
　　　　　　　[ 2,　5,　3,　1,　7,　1,　4],　　// x[1][j]
　　　　　　　[ 4,　3,　0,　1,　5,　2,　6] ];　　// x[2][j]
　　var a = naLsmMVTrace(x, y);
出力
　　a[0]=1.08, a[1]=-1.046, a[2]=1.68, a[3]=1.98
　　//　ｙ= 1.08 - 1.04 x[0]＋1.68 x[1]＋1.98 x[2]

ケース２

　　y=
x[0]=
x[1]=
x[2]=
x[3]=

多点系　補間法

ニュートンの補間法
　　naPolNewtonTrace(表示場所, x, y, px)　
　　var py = naPolNewton(x, y, px)　

n+1個の点(x0,y0), (x1,y1), …,(xn,yn)を通るｎ次式 f(x)を、
　　　ｆ(x)＝ｃ0 + ｃ1(x-x0) + ｃ2(x-x0)(x-x1) + … + ｃn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1）
の形で表します。そして、
　　　ｆ(x0)＝y0、ｆ(x1)＝y1、…、ｆ(xn+1)＝yn+1
の関係から、ｃの値を求めて、ｎ次式 ｆ(x) を決定します。参照：「ニュートンの補間公式」

その式に、x=px に対応する y の値 py を戻します。

ケース１

入力
　　var x = [ 0, 2, 3, 5 ];
　　var y = [ 1, 5, 8,10 ];
　　var px = [1, 4];
　　var py = naPolNewton(x, y, px);
出力
　　py[0] = 2.267, py[1]=10.067

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

ラグランジュの補間法
　　naPolLagrangeTrace(表示場所, x, y, px)　
　　var py = naPolLagrange(x, y, px)　

n+1組の点xa[0]～xa[n]、ya[0]～ya[n] を通るｎ次式をラグランジュの補間法により求め、m 個の、xa[n+1]～xa[n+1} における ya[n+1]～ya[n+m] を戻します。

ｎ次式に一般化して、
　　　ｙ＝c0y0＋c1y1＋c2y2＋・・・＋cnyn
としたときの、ckは、次の式になります。
　　ck = (x-x0)/(xk-x0) * (x-x1)/(xk-x1) * … * (x-xk-1)/(xk-xk-1)
　　　　　　　　　　（(x-xk)/(xk-xk)の項がないことに注意）
　　　 * (x-xk+1)/(xk-xk+1) * … * (x-xn)/(xk-xn)
　この式に、x = px を与えたときの y の値 py を戻します。
参照：「ラグランジュの補間法」

ケース１

入力
　　var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
　　var y = [ 4, 3, 6, 8, 6, 8 ];
　　var px = [1, 4. 6 ];
　　py = naPolLagrange(x, y, px);
出力
　　py = 1.067, 7.905, 6.829

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

スプライン補間（３次）
　　naPolSplineTrace(表示場所, x, y, px)　
　　var py = naPolSpline(x, y, px)　

スプライン補間は、ｎ＋１個の点 (x0,y0), (x1,y1), … , (xn,yn) を、２つの点の区間 [xj～xj+1]ごとに別々の式（一般には３次式）Ｓj(x) を設定して緩やかな曲線にし、極端な補間値にならないようにする補間法です。参照：「スプライン補間」

区間 [xj～xj+1] における３次式を
　　Ｓj＝aj(x-xj)3 + bj(x-xj)2 + cj(x-xj) + dj　　　(j=0～n-1)
とします。
ここで aj, bj, cj, dj を求めることになります。

これらの３次式が滑らかにつながっている必要があります。それで、xj におけるＳj-1とＳjの１次導関数（傾き）Ｓ(1) と２次導関数（滑らかさ）Ｓ(2) の値が等しいという条件を加えます。さらに、始点 x0 と終点 xn での２次導関数の値が０であるとの仮定をします。

ケース１

入力
　　var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
　　var y = [ 4, 2, 6, 8, 6, 8 ];
　　var px = [1, 4. 6 ];
　　var py = naPolSpline(x, y, px);
出力
　　py = 1.614, 8.189, 6.499

ケース２

ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

最小二乗法（高次式）による補間
　　naPolLeastSquareTrace(表示場所, 次数, x, y, px>　
　　var [c, py] = naPolLeastSquare(次数, x, y, px>)　

ｎ組の(x,y)から、最小二乗法により、ｒ次の近似式 y=c0+a1x+c2x2+...+crxr の係数 ci を求め。この近似式により、ｆ個の px に対応する py を計算します。;
参照：「回帰分析・最小二乗法」、 「多項式、高次式での最小二乗法」

ケース１

入力
　　var 次数 = 3;
　　var x = [ 0, 2, 3, 5, 7, 8 ];
　　var y = [ 4, 2, 6, 8, 6, 8 ];
　　var px = [1, 4. 6 ];
　　var [c, py] = naPolLeastSquare(表示場所, 次数, x, y, px);
出力
　　c = 3.610, -0.778 ,0.523, -0.046
　　　// 近似式 = 3.610 - 0.778x + 0.523 x2 - 0.046 x3
　　py =　3.309, 5.894, 7.731

ケース２

次数
ｘ[i]
ｙ[i]
px[k]

ベジェ曲線（２次、３次）
　　var [X, Y] = naBezier(x, y, p)　

ベジェ曲線とは、始点と終点を固定し、その直線を制御点から引っ張るような曲線にしたものです。
その計算方法は下式の通りです。
これらの式で、t=0 ～ 1 を　ｐ個に等分して、曲線の座標を (X[i], Y[i])　i=0 ～ p で戻します。
　２次ベジェ（３点を与える。始点(x[0,y[0]), 終点(x[2],y[2]), 制御点(x[1],y[1])
　　X[i] = (1-t)2*x[0] + 2(1-t)t*x[1] + t2*x[2]
　　Y[i] = (1-t)2*y[0] + 2(1-t)t*y[1] + t2*y[2]
　３次ベジェ（４点を与える。始点(x[0,y[0]), 終点(x[3],y[3]), 制御点(x[1],y[1]),(x[2],y[2])(x[2],y[2])
　　X[i] = (1-t)3*x[0] + 3(1-t)2t*x[1] + 3(1-t)*t2*x[2] + t3*x[3]
　　Y[i] = (1-t)3*y[0] + 3(1-t)2t*y[1] + 3(1-t)*t2*y[2] + t3*y[3]
式を求める手順は単純ですので、trace は省略します。

ケース１

　　　　　　始点　 制御点　終点
　　var x = [ 0,　1,　 2,　　3];
　　var y = [ 0,　0.5, 3.5,　3];
　　　　　　　　　　　　　　　　p
　　var [X, Y] = naBezier(x, y,　10);

ケース２

x[0]= y[0]=
x[1]= y[1]=
x[2]= y[2]=
x[3]= y[3]=
p==10,50,100

　　　

正方行列系　線形連立方程式など

連立一次方程式（ガウス=ジョルダンの掃出し法）
　　naGaussJordanTrace(表示場所, 係数表, 定数項)　
　　var x = naGaussJordan(係数表, 定数項)　

説明変数や被説明変数の標本から、連立方程式の定式化を行い、解を求めるまでの一連の処理を行うには、 maMregEq関数があります。

ケース１

入力
　　var 係数表 = [ [0, 3, 2],　　　 //　0x0 + 3x1 + 2x2 = 12
　　　　　　　　　 [2, 4, 0],　　　 //　2x0 + 4x1 + 0x2 = 10
　　　　　　　　　 [3, 1, 5] ];　　 //　3x0 + 1x1 + 5x2 = 20
　　var 定数項 = [12, 10, 20];
　　var x = naGaussJordan(係数表, 定数項);
出力
　　x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 3

ケース２

定数項 x0 x1 x2 x3 x4
0＝
1＝
2＝
3＝
4＝

Ｎ＋１個の点を通るＮ次式の係数
　　naCoefNthDegTrace(表示場所, x, y)　
　　var c = naCoefNthDeg(x, y)　

例えば、４(=N+1)個の点 [x0,y0], [x1,y1], [x2,y2], [x3,y3] を通る３(=N)次式
　　　y = c[0] + c[1] x + c[2] x2 + c[3] x3
の係数 c[i] を求めます。
x0 < x1 < … < xn にしてください。xn が極端に大きくならないように単位を調整してください。
連立一次方程式（ガウス=ジョルダンの掃出し法）の応用です。

ケース１

入力
　　var x = [-1, 0, 1, 2];　　// 4つの点→３次式
　　var y = [ 2, 2, 6, 8];
　　var c = naCoefNthDeg(x, y);
出力
　　c[0] = 2, c[1] = 3, c[2] = 2, c[3] = -1
　　// y = 2 + 3 x + 2 x2 - 1 x3

ケース２

x=
y=

行列式の値
　　naDetSurrusTrace(表示場所, a)　
　　var det = naDetSurrus(a)　

４次以下の行列式の値をサラス法で求めます。

ケース１

　　var a = [ [ 2, 1, 5, 3],
　　　　　　[ 3, 0, 1, 6],
　　　　　　[ 1, 4, 3, 3],
　　　　　　[ 8, 2, 0, 1] ];
　　var det = naDetSurrus(a); // -7

ケース２




逆行列
　　naMtxInvTrace(表示場所, 行列)　
　　var 逆行列 = naMtxInv(行列)　

行・列のサイズn の正方行列 a[i][j] の逆行列を、ガウス=ジョルダンの掃出法で求めます。

ケース１

入力
　　var 行列 = [ [0, 3, 2],
　　　　　　　　 [2, 4, 0],
　　　　　　　　 [3, 1, 5] ];
　　var 逆行列 = naMtxInv(行列);
出力
　逆行列 = [[ -0.4,　0.26,　0.16],
　　　　　　[　0.2,　0.12, -0.08].
　　　　　　[　0.2, -0.18,　0.12] ]

ケース２

対称行列の逆行列
　　rtn = naMtxInvS(行列)　

共分散行列や相関行列のように、対角要素が０でない対称行列の逆行列を求めます。
対角要素を順に pivot とすればよいので単純になります。

ケース１

    var S = [ [42.00, 15.00, 24.50],
              [15.00, 31.50, 21.25],
              [24.50, 21.25, 35.88] ];

ケース２

対称行列なので右上半分だけでよい。

固有値・固有ベクトル
　　naMtxEigenTrace(表示場所, 行列)　
　　var [λ, V] = naMtxEigen(行列)　

かなり高度・複雑な処理なので、次の制約を設けました。
　・次数は２次あるいは３次だけとする。
　・固有値は実固有値だけを対象にする。

（注）多変量解析では、高次の対称行列から、実数で絶対値の大きい固定値を２，３だけ必要なことがあります。 その目的には、maEigenPowerがあります。

ケース１

入力
　　var 行列 = [ [ -1,　2,　2],
　　　　　　　　 [　2,　2,　2],
　　　　　　　　 [ -3, -6, -6] ];
　　var [λ, V] = naMtxEigen(行列);
出力
　　 λ　　　　　　V
　　　0　　　　0, 1, -1
　　 -3　　　　1, 0, -1
　　 -2　　　 -2, 1,　0
　列の順序は、異なることがあります。
　V は、各列を k 倍しても同じです。

ケース２