損得計算の考え方→線形計画法

「すべてこの世は金次第」とはいいませんが，経営での意思決定には損か得かの判断が重要な要素です。結論を先にいうと，損得計算では「比較の原則」と「制約条件の原則」が重要です。とかく損得を考えるときに会計的なアプローチをしがちですが，会計情報ではこの二つが明確ではありません。それをカバーする一つの考え方に線形計画法があります。

損得計算の基礎

Ａケーキ店の問題

Ａ社はケーキ店です。話を簡単にするためにケーキは１種類だけとします。毎日，早朝までに工場でほぼ１００個のケーキを作り，店に陳列して販売するという見込生産体制になっているとします。

原価を計算したら，材料費や消耗品などケーキ生産個数に比例する費用（変動費）が７０円／個であり，店舗費用や人件費など生産個数には無関係な費用（固定費）を生産個数で割ると５０円／個になることがわかりました。それで，原価合計は，７０＋５０＝１２０円／個，売価は２００円／個ですので，１個あたりの利益は２００－１２０＝８０円になります。

Ａ社では，絶対に売り残しをしないことをポリシーにしており，生産量を需要量よりも少なくしていますので，いつも閉店以前に売り切れてしまいます。

ある日，店員が誤ってケーキを１個落としてしまい，廃棄してしまいました。それによる損失はいくらでしょうか？　ただし，消費税や法人税などは考えないことにします。

いくつかの答があると思います。それをメモしておきましょう。
でも，「正解は一つ」であることはご了解いただけますね？ ☆

損得計算では「精度」ではなく「正確」が重要！

おそらく「２００円＝売価」「８０円＝利益」「１３０円＝売価－変動費」のように，複数の答があったと思います。どれか正解かはさておき，これから重要なことがいえます。

「損得を明確にしよう」というと，原価を精密に計算して「変動費は７０円ではなく７１.３４円だ」とか，ＤＰＰやＡＢＭを適用して「間接コストも考慮したら７５円になった」などとしがちです。よしんばその程度の違いがあったにせよ，２００円と８０円の違いから考えればたいしたことではありません。「販売個数が１個減少したのだから固定費配分が変わるはずだ」などもたいしたことにはなりません。

重要なのは「２００円，１３０円，８０円のどれが正しいのか」という考え方の「正確性」なのです。これを誤ったら，いかに原価計算の体系や計算処理を改善しても，損得計算はできないのです。

比較を明確に！

損得計算では比較の対象を明確にすることがコツです。ここでは「落とさなかったとき」と「落としたとき」で何が違うのかを考えればよいのです。

この違いは「落とさなかったときは，そのケーキを渡せば２００円の代金が貰えたのに，落としたことによりそれが貰えなかった」ことだけです。原価がどうのこうのは全然関係がないのですね。「正解は２００円の損」です。

Ｂケーキ店の問題

Ｂケーキ店の売価や原価はＡケーキ店と全く同じだとします。ただ異なるのは絶対に品切れを起こさないという方針であり，毎日閉店後には数個の売れ残りが生じて廃棄しています。

Ｂケーキ店で１個落としたらいくらの損失になるでしょうか？ ☆

制約条件で価値が変わる！

１個落としても結果として「閉店後の売れ残り個数が１個減少した」だけですので，「正解は０円」です。

同じ「１個落とした」ことなのに，生産がネックだったＡでは２００円，そのネックがなく販売がネックであるＢでは０円なのです。このように，損得計算では，制約条件により価値が変わることに留意してください。

このようなことは，単に会計業務をシステム化して検索加工システムを強化しただけでは解決できません。

そば屋の問題

ケーキ店は，いうなれば見込生産でした。それに対して，そば屋は客が注文を受けてから生産する受注生産です。売価や原価の構成はケーキ店と同じです。変動費は材料費と加工費になります。

そば屋に客が入ってきたのですが，何か用事を思い出したのか，注文をする前に出て行ってしまいました。出て行かなかったときと比較して，どれだけ損をしたでしょうか？　（１）と（２）のそれぞれについて考えてください。
（１）Ｃそば屋は，閉店予定時刻前に材料がなくなるので閉店します。
（２）Ｄそば屋は，閉店時刻には材料は余っています。この材料は翌日にも使えます。☆

そば屋の解答

（１）普段は断っていた閉店直後の客にサービスすることができるだけなので，損は発生しません。「正解は０円」となります。

（２）「出て行った」ので売上も費用も発生しません。「出て行かなかった」ならば，変動費７０円を支出することにより，２００円の収入があるのですから，２００－７０＝１３０円の利益が得られたはずです。「正解は１３０円」になります。

このように，ＣとＡ，ＤとＢは一見同じように見えても，結果は全然違うのですね。このように「比較の原則」「制約条件の原則」をしっかり理解することが，損得計算をするのに重要なことなのです。

線形計画法

Ｅ製油所の問題

原料Ａと原料Ｂ（原油？）を，装置Ｐと装置Ｑを通して，製品Ｘ（ガソリン？）と製品Ｙ（重油？）を生産している装置産業を考えます。原料は，装置Ｐにより製品Ｘと製品Ｙに分離されますが，その得率が異なります。製品Ｙは装置Ｑを通すことにより製品Ｘにすることができます。原料や製品の価格，設備を通す費用，装置Ｐでの得率などは，下図に示してあります。

Ｘ≦１５０，Ｐ≦２００，Ｑ≦６０の場合（これを「標準ケース」ということにします）について，利益（ＸとＹの売上高－原料ＡとＢの購入費用－装置ＰとＱの費用）を最大にするＸ，Ｙ，Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑの値を求めてください。 ☆

線形計画法

おそらく，「Ｘは最大になる」や「Ｑも最大になるのでは？」というような仮定をして，穴埋計算あるいは連立方程式などを思い出して計算するのでしょうが，仮定が本当に正しいかどうか，どこかに矛盾が生じないか懸念が残ります。

この問題を数学的な式にしますと，次のようになります。

　　　原料と装置の関係から：　Ａ＋Ｂ≦Ｐ
　　　中間製品と製品Ｘから：　０.６Ａ＋０.３Ｂ＋Ｑ≧Ｘ
　　　中間製品と製品Ｙから：　０.４Ａ＋０.７Ｂ－Ｑ≧Ｙ
　　　利益＝１０Ｘ＋６Ｙ－６Ａ－５Ｂ－１Ｐ－３Ｑ　→最大

このあたりから拒否反応が出そうですが，これを解くのには線形計画法という方法があり，コンピュータで解くことができます。このような簡単なモデルならばＥｘｃｅｌのソルバーで解くこともできます。実際の製油所モデルでは式の個数が数百から数千にもなりますが，線形計画法の専用ツールを用いれば簡単に解くことができ，石油業では日常的に使っています。

結果の最適解は図の赤字のようになります。緑色の（　）はレジュースト・コストというもので，これが大変有効な概念であり線形計画法のウリなのですが，それについては後で・・・。

原価計算の危険

なぜ，ＡとＢがこのような値になるのでしょうか？

Ａを１使うことにより，Ｘが０.６，Ｙが０.４できるのですから，それによる収入増加は０.６×１０＋０.４×６＝８.４円になり，Ａの価格は６円，Ｐの費用は１円ですから費用増加は７円ですので，利益増加は８.４－７＝１.４円になります。同様にＢを１使うことにより，（０.３×１０＋０.７×６）－（５＋１）＝１.２の利益増加になります。Ａのほうが０.２円有利ですからＡ＝２００としたくなります。

あるいは，Ｙの６円ではなく，Ｑを通すことによりＸになるのだから１０－３＝７円を適用したらどうかという案もありましょう。それによればＡは１.８円，Ｂは１.９円になり，こんどはＢ＝２００としがちです。

これが会計などで行われる原価計算ですね。これらのどちらも正しくないのです。それは，上記の制約条件を無視しているのが原因です。すなわち，損得計算に会計上の原価計算を使うのは危険なのです。それに対して線形計画法では，すべての制約条件を同時に満足する最適解が得られるというメリットがあるのです。

ここで問題です。製品Ｘは販売能力限界の１５０になりましたが，もし，Ｘの価格が９.２円ならばもっと売れるという情報が入りました。増産するべきでしょうか，断るべきでしょうか？　ここで話を単純にするために，生産量は１５０→１５１にするだけだとし，安値販売による悪影響などはないこととします。 ☆

レジュースト・コストが損得計算の原価

単純にＡが１００％Ｘになるとすれば，ＡとＰから原価は７円だといえます。Ｂも使うのであればそれよりも安くなります。また，Ｙを原料とするのだと考えればＱの費用を加えて９円になります。どちらを採用するかで迷いますが，いずれにせよＸの上限制約を１だけ緩めれば利益は１円以上増加すると考えられます。すなわち，９.２円ならば売れというのが，通常の会計的な限界利益の考え方からの結論です。

ところが実際にＸ≦１５０をＸ≦１５１に修正して線形計画法で解いた結果は下図のような変化になりました。赤色の数値は数量の増減，青色の数値は金額の増減です。利益は０.６７円増加しました。利益増加＝０とすれば，Ｘの増加分の価格は１０－０.６７＝９.３３円となります（このＸのレジュースト・コストが０.６７円という値は，このような再計算をしなくても，先の標準ケースで求められていたことを思い出してください）。すなわち，９.２円ならば断れというのが結論です。

この違いは，会計的な限界利益では局所的な見方をしていたのに対して，線形計画法では「条件変化をしたときの最適な方法」と「以前の条件での最適な方法」を比較しているからなのです。線形計画法が「比較の原則」と「制約の原則」を満足する方法であることが，おわかりいただけたと思います。

決定するということ→決定理論，ゲームの理論

ここでの意思決定は，いくつかの選択肢があり，それを選択した後でいくつかの事態が発生する。選択と事態による結果の評価はできるが，どの事態が発生するのかわからないといったような問題を対象にします。

相手が自然のとき

利失表を作ろう

景気（好況・不況）と設備投資（積極案・消極案）の関係を例にします。積極案を選択した後で好況になれば，１０（億円？　単位は適当に考えてください）の利益が期待できますが，もし不況になれば過剰投資になり－３の損失になります。また，消極案を選択したときは，好況でも５の利益しか期待できませんが，不況でも２の利益があると期待されるとします。

積極案や消極案のように私が選択できる手段を私の戦略といい，好況や不況を相手の戦略といいます。そして，１０や－３などの結果の利失の表を利失表（ペイオフ・マトリックス）といいます。相手の戦略がわからないのに，私は利益が最大になるようにいずれかの戦略を決定しなければなりません。

「オレが積極案を採用すれば景気はよくなるし，消極案をとれば不況になる」という楽観的な人ならば積極案をとるでしょうし，「どうせ物事はうまくいかないものだ」という悲観的な人は消極案を採用するでしょう。それは「信念」ですから，ここでの問題にしませんが，上のような利失表がはっきりしないと，自分の信念と異なる決定をしてしまうことになる危険もあります。

どのような決定をするのかの前に，利失表を作成することが必要なのです。数値化できればそれにこしたことはありませんが，どのようなことが起こるかを箇条書きに列挙するだけでも，問題を明確にするのに役立ちます。

経営戦略での技法にＳＷＯＴ分析がありますね。「己を知り敵を知れば百戦百勝」といいますが，自社の強みと弱み，環境の機会と脅威を下図のように整理することによって，進むべき方向を検討するのでした。利失表もＳＷＯＴ分析によく似ています。

確率がわかっていれば・・・

もし，好況になることがわかっていれば，積極案を選択すれば１０の利益があるのに，消極案だと５の利益にしかならないのですから，積極案を選択すればよいでしょう。不況だとわかっていれば消極案をとるでしょう。ところが，将来のことはわからないので，このような問題が存在するのです。

将来のことはわからないといいますが，主観的あるいはなんらかの調査により「６：４で好況だ」というような表現をすることがあります。これは，好況になる確率が０.６，不況になる確率が０.４だということですね。この確率がわかっていたら，どのような決定をしますか？☆

相手と競争関係であるとき

零和ゲーム

これまでは，相手が景気という「自然」でした。自然は私に好意も悪意も持っていません。ここからは，競争関係にあるＡ社とＢ社を考えます。このような分野をゲームの理論といいます。まず，「Ａ社の得はＢ社の損」である場合を考えますが，それを零和ゲームといいます。

下の二つの利失表はＡを基準にしています。例えばケース１での左上の「３」は，Ａ社がＡ１の戦略，Ｂ社がＢ１の戦略を採用したとき，Ａ社は３の利益があり，Ｂ社は３の損失があるというように読んでください。

ゲームの理論では，ＡもＢもこの利失表を知っており，しかも互いに最も合理的な戦略をとることも知っているとします。

では，ケース１とケース２での最適な戦略を考えてください。ケース１は簡単だと思いますが，ケース２はかなり難しくなります。☆

非零和ゲーム

下図のペイオフマトリクスの左側はＡの利失で右側はＢの利失です。例えばＡがＡ１の戦略を選択してＢがＢ１の戦略を選択したとき，Ａは３の利益になり，Ｂは１の利益になります。このように，Ａの利失とＢの利失との和が０にならないモデルを非零和ゲームといいます。

ＡとＢが単独に意思決定するとすれば，その利失表は次のようになります。

　　　　　Ａの利失表　　　　　　　　　Ｂの利失表

　　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　　　　　　　　　Ｂ１　Ｂ２
　　　　Ａ１　　３　－１　　　　　　Ａ１　　１　－３
　　　　Ａ２　－２　　１　　　　　　Ａ２　－２　　２

ＡがＡ１を選択する確率をｐ，ＢがＢ１を選択する確率をｑとすると，Ａの利失表でのゲームの値ＶＡは，
　　　ＶＡ＝３ｐｑ－１ｐ(１－ｑ)－２(１－ｐ)ｑ＋１(１－ｑ)(１－ｑ)
　　　　　＝７(ｐ－3/7)(ｑ－2/7)＋1/7
ですから，Ａはｐ＝３／７の混合戦略を選択することにより，少なくとも１／７の利益が確保できます。
　同様にＢについては，
　　　ＶＢ＝１ｐｑ－２(１－ｐ)ｑ－３ｐ(１－ｑ)＋２(１－ｑ)(１－ｑ)
　　　　　＝８(ｐ－1/2)(ｑ－5/8)－1/2
より，Ｂはｑ＝5/8の混合戦略により－１／２の利益を確保します。
　すなわち，両者の間にどのような交渉があるにせよ，Ａは１／７，Ｂは－１／２以上の利益がなければ交渉に応じないことになります。

では問題です。Ａは両者の利失表を知っているとします。Ａはどのような戦略をすればよいでしょうか？　とはいうものの，やや複雑ですので真剣になる必要はありません。

ゲームの理論はかけひきに使える！

ＢがＡの利失表を知らないとき

Ｂを束縛しない

ＡはＢがｑ＝５／８の混合戦略を選択ことを知っています。そのときの期待値は，
　　　Ａ１：　３×(５／８)－１×(３／８)＝１２／８
　　　Ａ２：－２×(５／８)＋１×(３／８)＝－７／８
になりますので，Ａ１を選択することにより，１／７よりも高い利益，しかも（Ａ１，Ｂ１）以外では最高の利益を得ることができます。

説得

ＡはＢのゲームの値－１／２を知っています。－１／２よりも高い利益を保証すれば，Ｂはそれに応じるでしょう。（Ａ１，Ｂ１）をＢに提示することにより，Ａは３の利益を得ることができます。よしんば（Ａ２,Ｂ２）になったとしても１／７よりも高い利益が得られます。

脅迫

Ｂを説得するのではなく，一方的にＡ１を選択することをＢに伝えることにより，Ｂは－３を回避するためにＢ１を選択させます。これにより間違いなく最大利益３を確保することができます。

両者が互いのペイオフ・マトリクスを知っているとき

脅迫

ＡがＡ１を選択して脅迫することもできますが，逆にＢがＢ２を選択することをＡに伝えて脅迫することもできます。その点では互角ですが，Ａは「自分が損失になってもかまわないのでＡ１を選択する。そうしたらＢは重大な損失になる」と逆脅迫する手段が残っています。

協力

両者の利益合計は（Ａ１,Ｂ１）のときが最大値４になります。交渉によりＡからＢにいくらかの利益を渡すことにも考えられます。その渡す額をいくらにすればよいかに関しても多様な考え方がありますが，ここでは省略します。

ゲームの理論は，単なる計算手法は実際の意思決定には役立つことは少ないでしょう。しかし，ゲームの理論の考え方はは現実社会での駆け引きの戦略に広く応用できるものです。

経営者とＯＲ

ＯＲの意義

コンピュータの発展により，多くの業務がシステム化され，豊富な情報が簡単に得られるようになりました。また，データウェアハウスやデータ・マイニングのような分析に便利なツールも手軽に利用できるようになりました。

しかし，間違ったアプローチをしたのでは，間違った決定をしてしまう危険があります。情報をいかに戦略に結びつけるかを合理的に考えるクセを持たないと，折角の情報が死んでしまいます。

ここで紹介した線形計画法やゲームの理論などを総称してＯＲ（オペレーションズ・リサーチ）といいます。ＯＲとは論理的なものの考え方であるといえます。

典型的なＯＲ技法

ＯＲには，いろいろな技法があります。

ＰＥＲＴ／ＣＰＭ

プロジェクトを納期に完成させるにはどの工程がネックになるか。コストを最小にして納期短縮するにはどの工程に資源を投入するか。

採算計算

ディスカウント・キャッシュフロー法。買取とリースの損得評価。複数の投資案からの選択。最適取替問題

在庫問題

在庫を持つ費用と発注する費用とのバランス。品切れと過剰在庫のバランスなど

待ち行列

レジの台数と客の流れ。機器故障と修理工の人数。駐車場の大きさなど。

しかし，型にはまった技法を用いたり，難しい数学理論を駆使することだけがＯＲではありません。有名な例が「エレベータの待ち時間問題」があります。ある高層ビルでは，エレベータがなかなか来ないのとの不満が高まっていました。ビル管理者は，それに対処するために，エレベータ技師や統計の専門家などに依頼したのですが，その改善には多額の費用がかかることを知って悩んでいました。たまたま，ＯＲグループに依頼したところ，解決策が見つかりました。「エレベータホールに大きな鏡をつければよい」。理由はお分かりですね？

経営者とＯＲ

経営者が，これらの各種技法をマスターしていれば鬼に金棒ですが，なかには高度な数学知識やコンピュータツールの活用などが必要になることもあります。また実際には，現実の問題をどのようにモデル化するかは，かなりの経験と優れたセンスを必要とします。生兵法は大怪我の元になる危険もあります。

現実の問題解決には，ＯＲの専門家に依頼するのが安全です。人手の少ない中小企業では外部のコンサルタントを起用することになりましょう。大企業であれば自社で育成することが望まれますが，その育成には優れたコンサルタントの協力を仰ぐのがよいでしょう。

しかし，これは「経営者はＯＲなど知らなくてもよい」のではありません。ＯＲの概要を理解しているからこそ，このような問題をＯＲの専門家に相談しようということになるのです。最も危険なことは，ＯＲの考え方を知らないために，間違った決定をしたり，ムダな作業をすることなのです。