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統計検定関連 JavaScript関数ライブラリ test.js の利用解説書
ご利用にあたって
ｔ検定
参照：ｔ分布と推定・検定
ｔ値の計算
t = testTvalue(df, p)
ｔ分布表から、自由度 df、有意水準 p に対応するｔ値を得ます。
p = 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005 に対応しています。
片側での表記ですので、両側 0.1 のときは 0.05 を用います。
信頼係数（１－有意水準） 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 でも同じです。
この関数は、他のｔ検定関連関数から呼び出されます。
ｔ検定 平均の区間推定
testTIETrace(表示場所, n, μ, σ, p)
lower, upper = testTIE(n, μ, σ, p)
testTIExTrace(表示場所, x, p)
lower, upper = testTIEx(x, p)
例題「１０人の平均身長が 170cm、標準偏差が 9cmであったとき、身長平均の有意水準 0.05 での信頼区間を求めよ。」
testTIEx では、各人の身長 x を入力して、平均、標準偏差を計算して信頼区間を求める。
●左と右の両側になるので、有意水準確率は 0.05/2= 0.025 を用いる
testTIE
testTIEx
ｔ検定 標本平均と母集団平均の比較
testTtest1Trace(表示場所, μ, n, μ0, σ, side)
[t0, tp] = testTtest1(μ, n, μ0, σ, side)
testTtest1xTrace(表示場所, μ, x, side)
[t0, tp] = testTtest1x(μ, x, side)
例題「母平均はμ＝５０点である。標本ｎ＝１６人での結果は、平均はμ0＝５５点、標準偏差はσ＝５点であった。
標本の平均点数は母平均より高いといえるか、高いならば有意水準（0.01, 0.05 など)を示せ。」
上側検定では side="upper"、下側検定では side="lower" とする。例題では "upper"
標本から計算したｔ値が t0. ｔ分布表から得られた有意水準0.05の値が t であり、
上側検定で t ＜ t0 あるいは下側検定で t ＞ t0 ならば「有意水準0.05で有意差がある」とする。
（有意水準 0.1 でも有意差がないときは、 tp=-1 を戻す。
testTtest1
testTtest1x
ｔ検定 ２変数の平均の比較
testTtest2Trace(表示場所, nx, μx, σx, ny, μy, σy, side)
[t0, tp] = testTtest2(nx, μx, σx, ny, μy, σy, side)
testTtest2xyTrace(表示場所, x, y, side)
[t0, tp] = testTtest2xy(x, y, side)
例題「製品Ｘの標本数(nx)１０個の特性の平均(μx)は３７、標準偏差σxは４
製品Ｙの標本数(ny) ６個の特性の平均(μy)は３２、標準偏差σyは３
であった。Ｘの特性値ははＹよりも大といえるか。」
標本Ｘ、Ｙから、次式により t0 を算出する
ｔ0 = (μx - μy)/(σ√(1/nx + 1/ny)
ただし σ=√[(dfxσx2 + dfyσy2) / (dfx + dfx)]、 dfx、dfyは自由度 nx-1, ny-1
ｔ分布表から、自由度df=dfx + dfx = nx + ny - 2 から有意水準p(0.01,0.05など）のｔ値 t を調べる。
t0 と t の大小により有意水準 tp=0.05など を戻す。
上側検定で t ＜ t0 あるいは下側検定で t ＞ t0 ならば「有意水準0.05で有意差がある」とする。
（有意水準 0.1 でも有意差がないときは、 tp=-1 を戻す。
testTtest2
testTtest2xy
χ2検定
参照：χ2分布と推定・検定
χ2値の計算（上側確率）
χ2 = testChi2Value(自由度, 上側確率)
自由度 df（1～120 の整数）、有意水準（上側確率）p の χ2値を χ2分布表から求めます。
この関数は、χ2検定の多くの関数で用いられます。
下側確率の場合は、1-p とします。
両側確率のときは、p/2 で上側、1-p/2 で下側確率になります。
χ分布 有意水準の計算
有意水準 = testChi2Pvalue(自由度, χ2)
この関数は、χ2検定の多くの関数で用いられます。
自由度 dfでの分布表がχ2のときの有意水準 p を戻します。
df=10 のときのχ2
p= 0.995, 0.99, 0.975, 0.95, 0.9, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005
χ2[10] = [2.156, 2.558, 3.247, 3.940, 4.865, 15.99, 18.31, 20.48, 23.21, 25.19]
結果の p
chi2 = 1.5 → p = 0.995 有意水準 0.995 で有意差があるといえる
chi2 = 3.0 → p = 0.95 有意水準 0.95 で有意差があるといえる
chi2 = 4.5 → p = -1 有意水準 0.9 または 0.1 でも有意差があるといえない
chi2 = 17 → p = 0.05 有意水準 0.05 で有意差があるといえる
chi2 = 24 → p = 0.01 有意水準 0.01 で有意差があるといえる
χ2検定 分散の区間推定
testChi2IETrace(表示場所, n, v, p)
[lower, upper] = testChi2IE(n, v, p)
testChi2IExTrace(表示場所, x, p)
[lower, upper] = testChi2IEx(x, p)
上の引数では、v=ｓ2 と表示しています。
母分散σ2 の正規分布に従うｎ個の標本分散をｓ2 とすると、
χ2 = (n-1)ｓ2 / σ2
は、自由度 df = n-1 のχｓ2分布に従がいます。
有意水準を p とすれば、上側確率は p/2、下側確率は 1-p/2 であり、信頼区間は
下限 lower = df*ｓ2 / χ2[df][p/2]
下限 upper = df*ｓ2 / χ2[df][1-p/2]
で求められます。χ2[][] は、testChi2Value(df, p) で求めます。
testChi2IET
testChi2IEx
χ2検定 母分散との比較
testChi2Test1Trace(表示場所, v0, n, vx)
p = testChi2Test1(v0, n, vx)
testChi2Test1xTrace(表示場所, v0, x)
p = testChi2Test1x(v0, x)
母分散が v0 = σ2であり、n個（自由度df=n-1）の標本の標本分散が vx=ｓ2 であるとき、
vx は v0 に比べて大きい（小さい）といえるか、そのときの有意水準 p を求めます。
vx ＞ x0 のときは、p = 0.005 ～ 0.1、vx ＜ x0 のときは、p = 0.995 ～ 0.9 になります。
計算によるχ2=chi2=df(vx/v0) とχ2[df]分布表の値との比較になります。
そのときの有意水準は p = testChi2Pvalue(df, chi2) で得られます。
（分散は標準偏差2ですから、標準偏差が小ならば分散も小になるので、標準偏差の比較でもあります。
標準偏差の比較では正規分布による検定（Ｚ検定）が用いられます。）
testChi2Test1
testChi2Test1x
χ2検定 適合度検定
testChi2fitTrace(表示場所, x, y)
p = testChi2fit(x, y)
本来は多数の変数を扱えますが、ここでは２変数に限定します。
理論値 x と 実測値 y とが一致しているかどうかを n 個の組 (xi, yi) のデータで比較し、
適合度（一致度）の有意水準 p を戻します。
製品ｘと製品ｙについてｎ個の特性値を比較して、ｘとｙに違いがあるかないかを検定するにも適用できます。
標本からのχ2 = Σ[(xi - yi)2 / xi] で求めます。
自由度 df は、(組数-1)(変数-1) になるので、df=(n-1)(2-1) = n-1 です。
分布表のχ2[df] から有意水準 p を求めます。
χ2検定 ２ｘ２分割表
testChi2cont2x2Trace(表示場所, a, b, c, d)
p = testChi2cont2x2(a, b, c, d)
下表のように２ｘ２の分割表が与えられたとき、層や特性に差があるかどうかの有意水準ｐを戻します。
χ２は次のように計算できます。
(ad-bc)2 (a+b+c+d)
χ２ = ──────────
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
a～ｄに１０よりも小さい値があるときは、Yatesの補正をします。
上の (ad-bc)2 → [((ad-bc)±(a+b+c+d)/2]2 ±は、[ ]2の値が小になるよう選択
単純には、χ２が大きければ、有意差があることになります。
自由度 df=(2-1)(2-1)=1 なので、χ２分布表から 有意水準 p を求めます。
F検定
参照：Ｆ分布と推定・検定
F値の計算
[f5, f1] = testFvalue(横自由度, 縦自由度)
Ｆ分布表から、上側累積確率
f5 = Ｆ0.05(横自由度, 縦自由度),
f1 = Ｆ0.01(横自由度, 縦自由度)
を求めます。
下側F値の計算
[f5, f1] = testFvalueLower(横自由度, 縦自由度)
Ｆ分布表から、下側累積確率が 0.95, 0.99 のＦ値を求めます。
Ｆ分布表は、通常は上側 0.05, 0.01 しかないので、次の公式を用います。
Ｆ1-p[横自由度, 縦自由度」= １／Ｆp(縦自由度, 横自由度)
例：Ｆ0.05(10, 5) = 4.735 は Ｆ分布表から求められます。
f5 = Ｆ0.95(5, 10) = 1／Ｆ0.05(10, 5) = 1/4.735 = 0.211
F検定 ２変数分散比の検定
testFtest2Trace(表示場所, na, v1, n2, v2)
p = testFtest2(n1, v1, n2, v2)
testFtest2xyTrace(表示場所, x, y)
p = testFtest2xy(x, y)
下の入力データで、工程１の分散 v1 が、工程２の分散 v2 よりも大きい（小さい）といえるかを。
分散比 = v1/v2 ＞＜ Ｆp（n1-1, n2-1) により、有意水準 p=0.05, 0.01 で検定します。
通常は、v1/v2 ＞ １ として上側確率を用いるので、分散が大きいほうを v1（工程１＝分子側）にします。
すなわち、大きいかどうかの検定です。
ここでは、v1 ＜ v2 のときも、下側確率を用いて、小さいかどうかの検定もできます。
testFtest2
testFtest2xy
ＡＮＯＶＡ Ｆ検定による分散分析
Ｆ分布による分散分析 ＡＮＯＶＡ（analysis of variance）
二つの平均値の相違を検討するにはt検定を用いるが、 三つ以上の平均値の相違を検討する場合にはF検定を用います。
結果は、全ての群に差があるとはいえない／どれかに差があるといえるの有意水準を求めることです。
F検定の流れ
自由度を加味した群間変動2の総和を（群内変動2）の総和で割り算し、F値を算出する
F値が大きいかどうかを判断する閾値を2種類の自由度を使用したF分布から算出する
F値と閾値の大きさを比較する
F検定には４種類の方法があります。
一元配置要因分散分析（対応なし）one way factorial ANOVA testFAnova1Fact
一元配置反復測定分散分析（対応あり）one way repeated ANOVA testFAnova1Rep
二元配置要因分散分析（対応なし）two way factorial ANOVA testFAnova2act
二元配置反復測定分散分析（対応あり）two way repeated ANOVA testFAnova2Rep
参照：分散分析
F検定 一元配置要因分散分析
testFAnova1FactTrace(表示場所, x);
rtn = testFAnova1Fact(x);
ケース１
例題「ある製品を３つの工程で生産した。各工程の標本の製品特性を「入力」に示した。
３つの工程で特性平均に差があるといえるか」
特徴：１ 対象とする特性は１つ（一元配置）
２ 工程間の標本は独立（対応なし）同じ標本に異なる加工をしたのではない。
３ どの工程が他の工程と異なるかではなく、全体として差があるかないかを求めている。
入力：
var x = [ [ 10, 12, 12, 14, 14, 16 ], // 群（工程）０
[ 12, 10, 12, 13, 12, 12, 14, 11, 12 ], // 群１
[ 10, 12, 11, 10, 10, 13, 11 ] ]; // 群２
var rtn = testFAnova1Fact(x);
結果：
分散分析表 [i] は戻り値 rtn[i] を示します、
偏差平方和 自由度 分散
─────── ───── ────
群間変動 群間偏差平方和 群間自由度 群間分散
Sa=12.95[4] dfa=m-1=2[5] Va=Sa/dfa=6.48[6]
群内変動 群内偏差平方和 群内自由度 群内分散
Se=40 [7] dfe=m-n=19[8] Ve=Ss/dfs=2.11[9]
全体変動 全体偏差平方和 全体自由度 全体分散
St=52.95[10] dft=n-1=21[11] Vt=St/dft=2.52[12]
分散比 = Ｆ値 = Va/Ve=3.077[3]
Ｆ分布表から、Ｆ0.05(dfa, dfe) = 3.522[2] Ｆ0.05 = 5.926[1] を得る
分散比 ＞ Ｆ0.05、Ｆ0.01 ならば、有意水準 p = 0.05[0] で異なる平均の群があるとし
分散比 ＜ ならば、異なる平均の群があるとはいえない この例での検定結果 p=-1[0] を戻す。
ケース２
var x = [ [ 10, 12, 12, 14, 14, 16 ],
[ 12, 10, 12, 13, 12, 12, 14, 11, 12 ],
[ 10, 12, 11, 10, 10, 13, 11 ] ];
F検定 一元配置反復測定分散分析
testFAnova1RepTrace(表示場所, x);
rtn = testFAnova1Rep(x);
ケース１
例題「４つの材料に加工１とさらに加工２の工程を加えてみた。追加工程により特性の平均に差があるといえるか」
特徴：１ 対象とする特性は１つ（一元配置）
２ 同じ標本を用いる（対応あり）
３ 加工１、加工２のどれが効果があったかではなく、全体として差が生じたかどうかを求めている。
入力
標本 A B C D 群
var x = [ [ 3, 2, 2, 5], // ０ 加工０ 加工前
[ 7, 4, 1, 4], // １ 加工１をした
[ 11, 6, 6, 9 ] ]; // ２ さらに加工２を追加
var rtn = testFAnova1Rep(x);
Return での戻り値
分散分析表 [i] は rtn[i] を示す
自由度 偏差平方和 分散
標本間 [4] 3 [5] 30 [6] 10.00
群間 [7] 2 [8] 56 [9] 28.00
標本＊群 [10] 6 [11] 12 [12] 2.00
分散比 =[3] 14.00 F0.05 =[2] 5.143 F0.01 =[1] 10.92 p =[0] 0.01
ケース２
F検定 二元元配置要因分散分析
testFAnova2FactTrace(表示場所, x);
rtn = testFAnova2Fact(x);
ケース１
例題「ある反応の反応度は、圧力（因子０）と温度（因子１）が大きく関係している。
圧力は高・低の２水準、温度は高・中・低の３水準がある。
この２×３のケースでの反応度を与えて分析することにより、因子・水準の影響を調べよ」
入力：
因子１
高 中 低
var x = [ [ 30, 18, 16 ], // 温度高 ┬ 因子０
[ 25, 18, 15 ] ]; // 温度低 ┘
var rtn = testFAnova2Fact(x);
結果：
分散分析表の作成 rtn = testFAnova2Fact(x)
変動要因 変動 自由度 分散 分散比 F0.05 F0.01 有意水準
因子０ rtn[0]=6.00 rtn[1]=1 rtn[2]=6.00 rtn[3]=1.71 rtn[4]=18.51 rtn[5]=98.5 rtn[6]=-1 差があるとはいえない
因子１ rtn[7]=160.33 rtn[8]=2 rtn[9]=80.17 rtn[10]=22.90 rtn[11]=19 rtn[12]=99 rtn[13]=0.05 差がある
誤差 rtn[14]=7.00 rtn[15]=2 rtn[16]=3.50
全変動 rtn[17]=173.33 rtn[18]=5
結果「圧力による違いがあるとはいえないが、温度による違いは有意水準 0.05 であるといえる」
ケース２
F検定 一元配置反復測定分散分析
testFAnova2RepTrace(表示場所, x);
rtn = testFAnova2Rep(x);
ケース１
例題「ある反応の反応度は、圧力（因子０）と温度（因子１）が大きく関係している。
圧力は高・低の２水準、温度は高・中・低の３水準がある。
５つの異なる原料から標本をとり、それぞれの標本を６つの試料に分けて、
この２×３のケースで実験を行った。因子・水準の影響を調べよ」
入力：
標 本
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 因子１ 因子０
var x = [ [ [18, 22, 20, 18, 22], 水準０┐
[18, 14, 18, 24, 16], 水準１├水準０
[14, 18, 16, 14, 18] ], 水準２┘
[ [21, 18, 17, 15, 19], 水準０┐
[17, 19, 16, 17, 21], 水準１├水準１
[15, 13, 14, 15, 18] ] ] 水準２┘
x は３次元配列 [因子０水準][因子１水準][標本]
分散分析表 rtn = testFAnova2Rep(x) の戻り値
変動要因 変動 自由度 分散 分散比 F005 F001 有意水準
因子０ rtn[0] = 7.5 rtn[1] = 1 rtn[2] = 7.5 rtn[3] =1.304 rtn[4] =4.260 rtn[5] =7.823 rtn[6] = -1
因子１ rtn[7] = 65.0 rtn[8] = 2 rtn[9] =32.5 rtn[10]=5.652 rtn[11]=3.403 rtn[12]=5.614 rtn[13]= 0.01
交互作用 rtn[14]= 5.0 rtn[15]= 2 rtn[16]= 2.5 rtn[17]=0.435 rtn[18]=3.403 rtn[19]=5.614 rtn[20]= -1
誤差 rtn[21]=138.0 rtn[22]=24 rtn[23]= 5.5
全変動 rtn[24]=215.5 rtn[25]=29 有意水準 -1 は「有意差があるとはいえない」を示す
ケース２