現価・終価・年価（採算計算の数学的基礎）

現価Ｐと終価Ｓの関係

現時点でＰ（１００万円）を年利ｉ（１０％＝０.１）で預金すると，１年後には１００×１.１＝１１０万円，２年後には１１０×１.１＝１２１万円になり，ｎ年後にはＳ＝１００×１.１^ｎ万円になります。Ｐを現価（現在価値），Ｓを終価とすると，ＰとＳの間には次の公式が成立します。
　　　Ｓ＝Ｐ×(１＋ｉ)^ｎ
ここで，(１＋ｉ)^ｎ を終価係数といい，［Ｐ→Ｓ］と表します。

逆に，１年後に１００万円にするには現時点で１００／１.１＝９０.９万円を預金する必要があり，２年後に１００万円にするには１００／１.１^２＝８２.６万円を預金することになります。このように，金利ｉでｎ年後に終価Ｓを得るために現時点で預金するべき現価Ｐは，次の公式で求められます。
　　　Ｐ＝Ｓ／(１＋ｉ)^ｎ＝Ｓ×(１＋ｉ)^－ｎ
ここで，(１＋ｉ)^－ｎを現価係数といい，［Ｓ→Ｐ］と表します。

Ａ^ｎ について

指数について復習しておきましょう。

• Ａ×ＡをＡ^２，Ａ×Ａ×ＡをＡ^３のように記述します。Ａ^ｎとは，Ａをｎ回かけたものです。
• 約束ごととして，Ａ^０＝１ とします。
• Ａ^３＝Ａ×Ａ×Ａ＝Ａ×（Ａ×Ａ）＝Ａ×Ａ^２ ですから，Ａ^ｍ×Ａ^ｎ＝Ａ^ｍ＋ｎ の関係があります。
• 上の式からＡ^ｎ×Ａ^－ｎ＝Ａ^{ｎ＋（－ｎ）}＝Ａ^０＝１の関係がありますから，Ａ^－ｎは１／Ａ^ｎのことになります。たとえば，１.１^－２＝１／１.１^２＝０.８２６となります）

現価Ｐと年価Ｍの関係

問題

年利ｉ（１０％＝０.１）で預金して，毎年末にＭ（１００万円）を３年間受け取るためには，現時点でいくら（現価Ｐ）を預金する必要がありますか。

解答

１年後に１００万円を得るには，現時点で１００／１.１＝９０.９万円の預金が必要です。２年後の１００万円のためには１００／１.１^２＝８２.６万円，３年後の１００万円のためには，１００／１.１^３＝７５.１万円が必要ですから，Ｐ＝９０.９＋８２.６＋７５.１＝２４８.７万円となります。

このように毎年末に受け取る金額が一定のものを年価といいます。現価Ｐと年価Ｍとの関係をＰ＝Ｍ×［Ｍ→Ｐ］と表現したとき，この［Ｍ→Ｐ］を年金現価係数といいます。その年金現価係数を求める公式は次のようにして得られます。

上の問題と解答から，ＰとＭの関係を式で書くと，
　　　Ｐ＝Ｍ／(１＋ｉ)＋Ｍ／(１＋ｉ)^２＋Ｍ／(１＋ｉ)^３＋・・・＋Ｍ／(１＋ｉ)^ｎ　　①
となります。ここで，
　　　ｒ＝１／(１＋ｉ)
すなわち　とすると，
　　　Ｐ／Ｍ＝ｒ＋ｒ^２＋ｒ^３＋・・・＋ｒ^ｎ
　　∴Ｐ／Ｍ＝ｒ｛１＋ｒ＋ｒ^２＋・・・＋ｒ^ｎ－１｝
となりますが，後述の等比級数の和の公式から，｛　　　｝は（１－ｒ^ｎ）／（１－ｒ）となるので
　　　Ｐ／Ｍ＝｛ｒ／（１－ｒ）｝×（１－ｒ^ｎ）
になり，さらにｒ＝１／(１＋ｉ)　からｒ／（１－ｒ）＝１／ｉ，ｒ^ｎ＝(１＋ｉ)^－ｎ ですから，
　　　Ｐ／Ｍ＝｛１－(１＋ｉ)^－ｎ｝／ｉ
が得られます。

また，ＰからＭを求める［Ｐ→Ｍ］を資本回収係数といいますが，資本回収係数は年金現価係数の逆数ですから，次の式で求められます。
　　　Ｍ／Ｐ＝ｉ／｛１－(１＋ｉ)^－ｎ｝

計算例

等比級数の和について

　　Ａ＝１＋ｒ＋ｒ^２＋・・・＋ｒ^ｎ－１　　　　①
を初期値１，公比ｒの等比級数の和といいます（ｎ個の和）。
　ここでｒ＝１のときは，Ａ＝１＋１＋・・・＋１＝ｎ
となります。 　①の両辺をｒ倍すると， 　　　ｒＡ＝ｒ＋ｒ^２＋・・・＋ｒ^ｎ　　　②
となり，②－①から
　　　（１－ｒ）Ａ＝１－ｒ^ｎ
となりますが，ｒ≠１のときは両辺を（１－ｒ）で割ると，
　　　Ａ＝（１－ｒ^ｎ）／（１－ｒ）
となります。

以上をまとめると，次のようになります。
　　　Ａ＝１＋ｒ＋ｒ^２＋・・・＋ｒ^ｎ－１
　　　　ｒ＝１のとき　　　＝ｎ
　　　　ｒ≠１のとき　　　＝（１－ｒ^ｎ）／（１－ｒ）

なお，特に｜ｒ｜＜１のときは，ｒ^ｎ は非常に小さい値になるので，ｎ→∞のときはｒ^ｎ→０になります。ですから，無限級数の和Ａ_∞＝１／（１－ｒ）となります。

換算公式のまとめ

　　　終価係数　　［Ｐ→Ｓ］＝(１＋ｉ)ｎ
　　　現価係数　　［Ｓ→Ｐ］＝(１＋ｉ)－ｎ
　　　年金現価係数［Ｍ→Ｐ］＝｛１－(１＋ｉ)-ｎ｝／ｉ
　　　資本回収係数［Ｐ→Ｍ］＝ｉ／｛１－(１＋ｉ)-ｎ｝

換算係数の数表や計算ツール

終価係数，現価係数，資本回収係数，年金現価係数などは，上の公式により計算できますが， or-dcf-programに計算プログラムがありますので，それを用いると便利です。なお，年利１０％のときの各種係数の数表を下表に掲げます。

年利１０％
　　年　　終価係数　　現価係数　　資本回収係数　　年金現価係数
　　ｎ　 ［Ｐ→Ｓ］　［Ｓ→Ｐ］　　［Ｐ→Ｍ］　　　［Ｍ→Ｐ］
　　 1　　 1.1000　　　0.9091　　　　1.1000　　　　　0.9091
　　 2　　 1.2100　　　0.8265　　　　0.5762　　　　　1.7355
　　 3　　 1.3310　　　0.7513　　　　0.4021　　　　　2.4869
　　 4　　 1.4610　　　0.6830　　　　0.3155　　　　　3.1699
　　 5　　 1.6105　　　0.6209　　　　0.2638　　　　　3.7908

　　 6　　 1.7716　　　0.5645　　　　0.2296　　　　　4.3553
　　 7　　 1.9487　　　0.5132　　　　0.2054　　　　　4.8684
　　 8　　 2.1436　　　0.4665　　　　0.1874　　　　　5.3349
　　 9　　 2.3580　　　0.4241　　　　0.1736　　　　　5.7590
　　10　　 2.5837　　　0.3855　　　　0.1628　　　　　6.1146

　　15　　 4.1773　　　0.2394　　　　0.1315　　　　　7.6061
　　20　　 6.7275　　　0.1486　　　　0.1175　　　　　8.5136
　　25　　10.8347　　　0.0923　　　　0.1102　　　　　9.0770
　　30　　17.4494　　　0.0573　　　　0.1061　　　　　9.4269
　　∞　　 ∞　　　　　0.0000　　　　0.1000　　　　 10.0000