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ゲームの理論 JavaScript関数ライブラリ(game.js)の利用解説書

ご利用にあたって

劣等戦略の削除
    gameCompactTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名);
    rtn = gameCompact(利失表, 行名, 列名);
　　    var 新利失表 = rtn["matrix"];
　　    var 新行名 = rtn["rowname"];
　　    var 新列名 = rtn["colname"];
未知環境での意思決定
    gameDecisionTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名);
    rtn = gameDecision(利失表, 行名);
　　    var ラプラス = rtn["Laplace"];
　　    var マクシマックス = rtn["MaxiMax"];
　　    var ミニマックス = rtn["MiniMax"];
　　    var リグレットミニマックス = rtn["RegretMiniMax"];
　　    var ハーヴィッツ２０ = rtn["Hurvicz20"];　　// α＝０.２としたとき
　　    var ハーヴィッツ５０ = rtn["Hurvicz50"];
　　    var ハーヴィッツ８０ = rtn["Hurvicz80"];
期待値による意思決定
    gameEvalueTrace(表示場所, 利失表, 期待値, 行名, 列名)
    選択戦略 = gameEvalue(利失表, 期待値, 行名)
二人零和ゲーム
    game2ZeroSumTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名)
    rtn = game2ZeroSum(利失表, 行名, 列名)
        rtn["model"] 戦略のパターン = 純粋戦略。混合戦略、混合戦略ＬＰ
　　　　　　　　　２×２のときは混合戦略で選択確率を計算。それ以外では混合戦略ＬＰとして確率計算のための線形計画法への定式化
        rtn["saddle"] 純粋戦略での鞍点
        rtn["mixed"]  混合戦略で選択確率
        rtn["lpA"] rtn["lpA"] 混合戦略ＬＰの定式化
ナッシュ均衡（二人非零和ゲーム）
    gameNashTrace(表示場所, matrix, rowname, colname);
    rtn = gameNash(matrix, rowname, colname);
        rtn["minmax"]       [Ａ,Ｂ]　Ａ・Ｂの最低保証利益（単独利失表にミニマックスを適用）
        rtn["pureNush"]     [[Ａ,Ｂ],[Ａ,Ｂ],…,[Ａ,Ｂ]] 　純粋戦略でのナッシュ均衡　存在しないことがある 
        rtn["mixedNush"]    [Ａ,Ｂ]　純粋戦略でのナッシュ均衡（第一戦略の選択確率）　存在しないことがある
                                     ２×２のときだけ計算

上の表で関数名をクリックすると、該当関数の個所に移動します。大体、次のような構成になっています。
　　・［コード表示]をクリックすると該当関数のコードが別ウインドウにポップアップします。
　　・主要な戻り値の意味と簡単な算出根拠を掲げています。

劣等戦略の削除
　　gameCompactTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名);
　　rtn = gameCompact(利失表, 行名, 列名);

戻り値は連想配列になります。
　　var 新利失表 = rtn["matrix"];
　　var 新行名 = rtn["rowname"];
　　var 新列名 = rtn["colname"];

　　　　戻り値を行名や列名ではなく、元の行番号や列番号にするなら、0, 1, 2, … で与えてください。
参照（Ｗｅｂテキスト）：２人零和ゲーム

優越戦略と劣等戦略

ケース１ Ｂの戦略
Ｂ１Ｂ２Ｂ３Ｂ４
Ａの戦略 Ａ１１－２－１２
Ａ２－２４５０
Ａ３－３２２－１
　→　
ケース２ Ｂの戦略
Ｂ１Ｂ２Ｂ３Ｂ４
Ａの戦略 Ａ１１－２－１２
Ａ２－２４５０
　→　
ケース３ Ｂの戦略
Ｂ１Ｂ２
Ａの戦略Ａ１１－３
Ａ２－２４

ケース１のペイオフ・マトリクスがあるとします。Ａ３の各要素はＡ２の各要素よりも劣っています。このような関係があるとき，Ａ２はＡ３に対して優越戦略であり，Ａ３はＡ２に対して劣等戦略であるといいます。Ａは絶対にＡ３を選択することはありませんから，Ａ３の行は削除しますと，ケース２になります。

すると，Ｂから見たときには，Ｂ３はＢ２に対して劣等戦略でありＢ４はＢ１に対して劣等戦略です。ＢがＢ３やＢ４を選択するはずがありません。それでこれらを削除します。その結果，ケース３になりますが，これらには優越・劣等の関係はないので，これ以上削除する行や列はありません。

最初に、この処理を行うことにより、処理効率が向上しますし、理解しやすくなります。それで以降の関数では、優越・劣等の関係はないものとします。

例示

    var matrix = [[ 1, -2, -1,  2],
                  [-2,  4,  5,  0],
                  [-3,  2,  2, -1]];
    var rowname = ["A1", "A2", "A3"];
    var colname = ["B1", "B2", "B3", "B4"];
    var rtn = gameCompactTrace("gameCompact表示場所", matrix, rowname, colname);

未知環境での意思決定
　　gameDecisionTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名);
　　rtn = gameDecision(利失表, 行名);

　　var ラプラス = rtn["Laplace"];
　　var マクシマックス = rtn["MaxiMax"];
　　var ミニマックス = rtn["MiniMax"];
　　var リグレットミニマックス = rtn["RegretMiniMax"];
　　var ハーヴィッツ２０ = rtn["Hurvicz20"];　　// α＝０.２としたとき
　　var ハーヴィッツ５０ = rtn["Hurvicz50"];
　　var ハーヴィッツ８０ = rtn["Hurvicz80"];
        戻り値は連想配列形式になります。
　　　　戻り値は選択した戦略（行名）がベクトル形式になります。
　　　　戻り値を行名ではなく、行番号にしたいときは、行名を 0, 1, 2, … としてください
        gameDecisionTrace では、説明のために列名が必要です。
参照（Ｗｅｂテキスト）：決定理論 
下表のような利失表があります。
　　将来環境には、晴／曇／雨、戦略には、傘を持って外出／持たないで外出／外出しない
　　将来環境には、景気が上昇／横ばい／下降、戦略には、投資をする／しない
などがあります。
ここでは、天候や景気について、何らの情報がなく、その状況でどの戦略を選択するかを考えます。
「どの戦略を選択すべきか」ではなく、「どのような考え方によるならばどの戦略を選ぶのが合理的か」です。
将来環境計算値
　Ｂ１　Ｂ２　Ｂ３　Ｂ４　合計最大値最小値ハービッツの式
Ａの戦略 Ａ１　⑥　３　１　１ １１　 ６● １　6α+1(1-α) = 5α+1
Ａ２　３　５　４　② １４★ ５　 ２■5α+2(1-α) = 3α+2
Ａ３　４　１　２　３ １０　 ４　 １　4α+1(1-α) = 3α+1
ラプラスの原理
    すべての事象が同一確率で発生すると考え、その期待値が大きい（すなわち、合計が大きい）戦略を選択するという考え方。
    上表では、Ａ２が最大１４★になるので、Ａ２を選択します。
マクシマックス原理
    非常に楽観的な人は，天候や景気すら自分の都合の良いようになると考えます。
    各戦略について，各状況のうち最大のものを選び，その中でさらに最大になる（最大－最大）戦略を選びます。
    上表では最大値の中で最大なのは６●ですから、Ａ１を選択することになります。
ミニマックス原理（マクシミン原理）
    非常に悲観的な人は，物事は自分の都合の悪いようになると考えます。
    各戦略について，各状況のうち最小のことが起こるとして、そのなかで最大になる（最小－最大）戦略を選びます。
    上表では最小値の中で最大なのは２■ですから、Ａ２を選択することになります。
ハーヴィッツの原理
    通常の人は楽観と悲観の中間でしょう。「楽観度」をα（０＜α＜１）とすれば、その人にとっての効果は
        α*楽観的効果 + (1-α)*悲観的効果
　　となり、上表のようになります。
　　楽観的ではＡ１、悲観的ならＡ２なのですから、このどちらかになり、Ａ３は対象外になります。　　
　　これから次の結果になります。
　　　　α≧０.５　　Ａ１が最大　Ａ１を選択
　　　　α≦０.５　　Ａ２が最大　Ａ２を選択

    例えば、Ａ１での　5α+1　は、
　　　　係数５＝最大値６－最小値１
　　　　係数１＝最小値１
　　で求められます。
　　ここでの関数では、α＝０.２、０.５、０.８の３ケースの結果を求めます。★が選択戦略になります。
　　　　　　　最大値　最小値　 係数　切片　α＝０.２　α＝０.５　α＝０.８
　　　　Ａ１　　６　　　１　　　５　　１　　２.０　　　３.５★　　５.０★　　　
　　　　Ａ２　　５　　　２　　　３　　２　　２.６★　　３.５★　　４.４　
　　　　Ａ３　　４　　　１　　　３　　３　　１.６　　　４.５　　　３.４

リグレットミニマックス原理
　　後悔することを非常に避けたい人の考えです。
　　例えば、Ａ２を選択したらＢ１が起こってしまった。Ａ１を選択しなかったために６－３の損をしてしまった。
　　どのようなことが起こっても後悔を最小にしようという考えかたです。
　　
　　各列について、最大のものを０として、各行のその列を引きます。これにより後悔の利失表ができるので、
　　この利失表に対してミニマックス原理を適用すればよいことになります。

　　　    　　　Ｂ１　Ｂ２　Ｂ３　Ｂ４　最小値　
　　　　　Ａ１　　０　－２　－３　－２　　－３　←最大
　　　　　Ａ２　－３　　０　　０　－１　　－３　←最大
　　　　　Ａ３　－２　－４　－２　　０　　－４

　　これより、Ａ１、Ａ２のいずれか（同等）を選択することになります。　

例示

    var matrix = [[ 6, 3, 1, 1],
                  [ 3, 5, 4, 2],
                  [ 4, 1, 2, 3]];
    var rowname = ["A1", "A2", "A3"];
    var colname = ["B1", "B2", "B3", "B4"];
    var rtn = gameDecisionTrace("gameDecision表示場所", matrix, rowname, colname);

期待値による意思決定
　　gameEvalueTrace(表示場所, 利失表, 期待値, 行名, 列名)
　　var 選択戦略 = gameEvalue(利失表, 期待値, 行名)

参照（Ｗｅｂテキスト）：期待値 
天気や景気などの将来事象は確実ではないにせよ、多様な情報から主観的な確率を持つことができます。
このときには、下表のように、各戦略について期待値を求め、それが最大になる戦略を選択するのが妥当でしょう。

　　　　　　　　　　　　　将来事象
　　　    　　　　 Ｂ１　Ｂ２　Ｂ３　Ｂ４　　　　　　　　　期待値
　　発生確率→　   0.3   0.1 　0.2　 0.4
　　　　　　Ａ１　　６　　３　　１　　１　　6*0.3 + 3*0.1 + 1*0.2 + 1*0.4 = 2.7
　Ａの戦略　Ａ２　　３　　５　　４　　２　　3*0.3 + 5*0.1 + 4*0.2 + 2*0.4 = 3.0 ←最大
　　　　　　Ａ３　　４　　１　　２　　３　　4*0.3 + 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.4 = 2.9

例示

    var matrix = [[ 6, 3, 1, 1],
                  [ 3, 5, 4, 2],
                  [ 4, 1, 2, 3]];
    var prob = [0.3, 0.1, 0.2, 0.4];
    var rowname = ["A1", "A2", "A3"];
    var colname = ["B1", "B2", "B3", "B4"];
    var rtn = gameDecisionTrace("gameDecision表示場所", matrix, rowname, colname);

二人零和ゲーム
　　game2ZeroSumTrace(表示場所, 利失表, 行名, 列名)
　　rtn = game2ZeroSum(利失表, 行名, 列名)

参照（Ｗｅｂテキスト）二人零和ゲーム 

　　次の結果を出力します。
　　　　純粋戦略／混合戦略の判断
　　　　純粋戦略のとき　鞍点とプレイヤーＡ・Ｂの戦略の選択
　　　　混合戦略のとき　選択戦略ミックスを計算するための線形計画法の定式化
　　　　　　一方の戦略数が２のとき　選択戦略ミックスの解

互いに利害の反するＡ・Ｂ二人のプレイヤーが、それぞれ、Ａ１、Ａ２、…、Ｂ１、Ｂ２、…、の戦略をもっています。
下表は、Ａから見た利失表で、もしＡがＡ１、ＢがＢ１の戦略を採択すろると、Ａは３の利益、Ｂは－３の損失になります。
Ａはできるだけ大きい利益が得られるよう行動し、ＢはＡの利益をできるだけ小さくしようと行動します。

　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　Ｂ３
　　　Ａ１　　３　－１　－２
　　　Ａ２　－１　　０　　４
　　　Ａ３　　２　　１　　２

純粋戦略

「相手は自分が選択した戦略が不利になるように行動する」ということは、ミニマックス原理に相当します。
Ａは、各戦略（行）での利失が最小のもの（列）の表を作り、その表で最大となる戦略（行）を選択します。
Ｂの利得表は、全ての要素をマイナスにした表でにミニマックス原理を適用するのですから、Ａの利得表に関して、
各戦略（列）での利失が最大のもの（行）の表を作り、その表で最小となる戦略（列）を選択します。

上の表に、ミニマックス原理を適用したものを加えると次のようになります。

　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　Ｂ３　　最小
　　　Ａ１　　３　－１　－２　　－２
　　　Ａ２　－１　　０　　４　　－１
　　　Ａ３　　２　　１　　２　　　１　★
　　　最大　　３　　１　　２　　
　　　　　　　　　　●

Ａは、★の戦略を選択すれば、Ｂの選択によらず１以上の利益が保証されますし、
Ｂは、●の戦略を選択すれば、Ａに１以上の利益を与えないこと（Ｂの損失が－１以内であることが保証されます。
双方がミニマックス原理に従う限り、Ａ３とＢ２の戦略が選択されます、

この（Ａ３、Ｂ２）を鞍点（saddli Point）、１をゲームの値(game value)といいます。
そして、鞍点が存在する戦略ミックスを純粋戦略（pure strategy）といいます。

なお、最終の圧縮した結果が、利失表の値がすべて同一値になり、複数の★や●が残る場合があります。
この場合は、鞍点が複数存在することになります。

混合戦略

次の利失表では、鞍点が存在しません。純粋戦略ではなく混合戦略（mixed strategy））になります。
混合戦略とは、Ａ１を０.６、Ａ２を０.４というように確率で選択する戦略です。
何度も繰り返し行うのであれば、この割合で選択することが最適になります。

　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　　最小
　　　Ａ１　　１　－３　　－３
　　　Ａ２　－２　　４　　－２
　　　最大　　１　　４　　

線形計画法への帰着

●Ａの戦略
ＡがＡ１，Ａ２を選択する確率を、p1, p2とします。
　　確率条件：p1 + p2 = 1
Ｂが、Ｂ１を選択するときの期待値は １*p1 -2*p2、Ｂ２を選択したときの期待値は -3*p1 + 4*p2 になります。
ゲームの値をＶとすれば、Ｂはそれらの期待値をＶ以下にしたいのですから
　　１*p1 -2*p2 ≦ V,  -3*p1 + 4*p2  ≦ V
になります。

一般化して、利得表を a[i][j] とすれば、
              p[0] +         p[1] + … + p[n]         = 1
　　　a[0][0]*p[0] + a[1][0]*p[1] + … + a[n][0]*p[n] ≦ V
　　　a[0][1]*p[0] + a[1][1]*p[2] + … + a[n][1]*p[n] ≦ V
               :
　　　a[0][m]*p[0] + a[1][m]*p[2] + … + a[n][m]*p[n] ≦ V
そしてＡはＶを最大にしたいのですから、
　　　目的関数　Ｖ→　最大
となり、線形計画法に帰着します。

●Ｂの戦略
Ｂが、Ｂ１，Ｂ２を選択する確率を、q1, q2とします。
　　確率条件：q1 + q2 = 1
Ａが、Ａ１を選択するときの期待値は １q1 -3q2、Ａ２を選択したときの期待値は -2q1 + 4q2 になります。
ゲームの値をＶとすれば、Ａはそれらの期待値をＶ以上にしたいのですから
　　１q1 -3q2 ≧ V,  -2q1 + 4q2  ≧ V
になります。

一般化して、利得表を a[i][j] とすれば、
              q[0] +         q[1] + … + q[m]         = 1
　　　a[0][0]*q[0] + a[0][1]*q[1] + … + a[0][m]*q[m] ≧ V
　　　a[1][0]*q[0] + a[1][1]*q[1] + … + a[1][m]*q[m] ≧ V
               :
　　　a[n][0]*q[0] + a[n][1]*q[1] + … + a[n][m]*q[m] ≧ V
そしてＢはＶを最小にしたいのですから、
　　　目的関数　Ｖ→　最小
となります。


線形計画法の解法は、それだけで大きなアルゴリズムになるので、ここではそのためのデータを配列データとして戻すだけにします。

線形計画法の解

上の利失表のように、Ａ、Ｂの戦略が２個のときは、簡単に解が得られます。

●Ａの戦略
Ａ１の確率を p とすれば、Ａ２の確率は 1-p です。
Ｂ１での期待値：　a[0][0]*p + a[1][0]*(1-p) →  1p - 2(1-p)　→　3p - 2 
Ｂ２での期待値：　a[0][1]*p + a[1][1]*(1-p) → -3p + 4(1-p)　→ -7p + 4 
両式がともにゲームの値Ｖに等しいとすれば、3p - 2 = -7p + 4 → p=0.6
一般化すれば、
　　　p = (a[1][1]-a[1][0])/(a[0][0]-a[0][1]-a[1][0]+a[1][1])
となり、Ｖも計算できます。
混合戦略であることから、0＜p＜1 でなければならず、その候補は上の p だけなので、これが求める解になります。

上の利失表の値を代入すれば、
　　　p = (4 -(-2)) / (1 -(-3) -(-2) + 4) = 0.6
      V = 1*p -2*(1-p) = 1*0.6 -2*0.4 = -0.2
すなわち、Ａ１を０.６、Ａ２を０.４の割合で選択することになります。

●Ｂの戦略
Ｂ１の確率を q とすれば、Ｂ２の確率は 1-q です。
Ａ１での期待値：　a[0][0]*q + a[0][1]*(1-q)
Ａ１での期待値：　a[1][0]*q + a[1][1]*(1-q)
両式がともにゲームの値Ｖに等しいとすれば、
　　　q = (a[1][1]-a[0][1])/(a[0][0]-a[0][1]-a[1][0]+a[1][1])
となり、Ｖも計算できます。
混合戦略であることから、0＜q＜1 でなければならず、その候補は上の q だけなので、これが求める解になります。

上の利失表の値を代入すれば、
　　　q = (4-(-3)) / (1 -(-3) -(-2) + 4) = 0.7
      V = 1*q -3*(1-q) = 4*0.7 - 3 = -0.2　　　この値はＡの戦略での値と一致します。
すなわち、Ｂ１を０.７、Ｂ２を０.３の割合で選択することになります。

二人零和ゲームの例

Trace：  処理経緯を表示します。
Return： 関数の戻り値を返すだけです。ここでは戻り値を簡単に表示します。

ケース１：純粋戦略の例

    var matrix = [[ 3, -1, -2],
                  [-1,  0,  4],
                  [ 2,  1,  2]];
    var rowname = ["Ａ１", "Ａ２", "Ａ３"];
    var colname = ["Ｂ１", "Ｂ２", "Ｂ３"];

ケース２：混合戦略の例

    var matrix = [[ 1, -3],
                  [-2,  4]];
    var rowname = ["Ａ１", "Ａ２"];
    var colname = ["Ｂ１", "Ｂ２"];

ケース３：データの入力

行数 列数
↓行　列→

二人非零和ゲーム

参照（Ｗｅｂテキスト）二人非零和ゲーム 
Ａ・Ｂ二人のプレイヤーが、それぞれ、Ａ１、Ａ２、…、Ｂ１、Ｂ２、…、の戦略をもっています。
そして、Ａ・Ｂが独自の利失表を持っており、必ずしもＡの利益がＢの損失にはならない（非零和）のですが、
相手の戦略選択が、自分の戦略選択に大きな影響を与えるというモデルです。

次のように表記するのが一般的です。（Ａの利益, Ｂの利益)
　　　　　　　Ｂ１　　　Ｂ２　　　Ｂ３
　　　Ａ１　(５, ２)　(１, ３)　(１, １)
　　　Ａ２　(２, ３)　(２, ２)　(４, ２)
　　　Ａ３　(２, １)　(３, ２)　(１, ４)
Ａ１, Ｂ１が選択されれば、Ａは５の利益、Ｂは２の利益を得ます。
Ａとしては大満足ですが、ＢはＢ３を選択すれば４の利益が得られるかもしれず、Ｂ１を選択するとは思えません。
ＢとしてはＢ３にしたいのですが、ＡがＡ１を選択したら最悪の結果になるリスクを伴います。

二人非零和ゲームの考え方は、広い分野で活用されていますが、その基本になるのがナッシュ均衡です。

ナッシュ均衡（Nush equilibrium）
　　gameNashTrace(表示場所, matrix, rowname, colname);
　　rtn = gameNash(matrix, rowname, colname);

   戻り値
       rtn["minmax"]       [Ａ,Ｂ]　Ａ・Ｂの最低保証利益（単独利失表にミニマックスを適用）
       rtn["pureNush"]     [[Ａ,Ｂ],[Ａ,Ｂ],…,[Ａ,Ｂ]] 　純粋戦略でのナッシュ均衡　存在しないことがある 
       rtn["mixedNush"]    [Ａ,Ｂ]　純粋戦略でのナッシュ均衡（第一戦略の選択確率）　存在しないことがある

ナッシュ均衡とは、ある戦略（Ａ，Ｂ）になったとき、ＡもＢもそれ以外の戦略を選択しなくなるような戦略のことです。
純粋戦略でのナッシュ均衡と、混合戦略でのナッシュ均衡があります。
次の利失表があります。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａの利失表　　　　　　　　　Ｂの利失表
　　　　　　　　Ｂ１　　　　　Ｂ２　　　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　最小　　　　　　Ｂ１　Ｂ２　　　　　　　　　　　　
　　　Ａ１　(　３, 　１)　(－１, －３)　　　Ａ１　　３　－１　－１★　　Ａ１　　１　－３
　　　Ａ２　(－２, －２)　(　１, 　２)　　　Ａ２　－２　　１　－２　　　Ａ２　－２　　２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最小　－２　－３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
　　　最低保証利益　Ａ＝－１、Ｂ＝－２

純粋戦略でのナッシュ均衡
　Ａの戦略
　　ＢがＢ１を選択したとき、Ｂ１列のＡが最大３の戦略Ａ１を選択　→（Ａ１, Ｂ１）
　　　　（あえてＡ２を選択したら－１になってしまう）
　　ＢがＢ２を選択したとき、Ｂ２列のＡが最大の戦略Ａ２を選択　→（Ａ２, Ｂ２）
　Ｂの戦略
　　ＡがＡ１を選択したとき、Ａ１行のＢが最大の戦略Ｂ１を選択　→（Ａ１, Ｂ１）
　　ＡがＡ２を選択したとき、Ａ２行のＢが最大の戦略Ｂ２を選択　→（Ａ２, Ｂ２）
　すなわち、いったん（Ａ１, Ｂ１）あるいは（Ａ２, Ｂ２）が選択されたらＡもＢも他の戦略に変えようとせず安定する。
　（Ａ１, Ｂ１）、（Ａ２, Ｂ２）を純粋戦略でのナッシュ均衡点という。
　ナッシュ均衡点は１組の場合や存在しないこともある。

混合戦略でのナッシュ均衡
　Ａの利失表に零和ゲームを適用すると、Ｂ１の確率をｐとして、
　　Ａ１の期待値：　３ｐ－１（１－ｐ）＝　４ｐ－１
　　Ａ２の期待値：－２ｐ＋１（１－ｐ）＝－３ｐ＋１
　　　　　Ｂ１の確率＝２／７、Ｂ２の確率＝５／７，Ｖ＝　１／７
　同様に　Ａ１の確率＝１／２，Ａ２の確率＝１／２，Ｖ＝－１／２
　（[1/2,1/2], [2/7.5/7]) が混合戦略でのナッシュ均衡点になる。

ナッシュ均衡の例

Trace：  処理経緯を表示します。
Return： 関数の戻り値を返すだけです。ここでは戻り値を簡単に表示します。

ケース１

    var matrix = [ [ [5,2], [1,3], [1,1] ],
                   [ [2,3], [2,2], [4,3] ],
                   [ [2,1], [3,2], [1,4] ] ];
    var rowname = ["Ａ１", "Ａ２", "Ａ３"];
    var colname = ["Ｂ１", "Ｂ２", "Ｂ３"];

ケース２

    var matrix = [ [ [3,1], [-1,-3] ],
                   [ [-2,-2], [1,2] ] ];
    var rowname = ["Ａ１", "Ａ２"];
    var colname = ["Ｂ１", "Ｂ２"];

ケース３

行数 列数
↓行　列→