確率分布の例題集

参照：JavaScriptの計算プログラム

確率分布（正規分布、二項分布、二項分布、負の二項分布、幾何分布、超幾何分布、指数分布、ポアソン分布）の簡単な数値例題を示します。
それとともに、私自作の関数の紹介をします。上掲「参照」も表示しながら学習してください。

正規分布

問１　成人男性の身長が平均１７０cm、標準偏差１０cmだとわかっている。身長が１８０ｃｍである確率は

　Ｚ＝（ｘ－μ）／σ　は平均０、分散１の標準正規分布に従う
　Ｚ：変位。変位Ｚのおける確率密度 P(z),  －∞～Ｚの累積確率 S(z) は、正規分布表などから知ることができる
　　　Ｚ　　P(z)　 S(z)
     -3 　　0.004　0.001　
　　 -2.58　0.004　0.995　　両側１％
　　 -2.33　0.026　0.99 　　下側１％
     -2 　　0.054　0.023　
　　 -1.96　0.058　0.025　　両側５％　
　　 -1.64　0.104　0.05 　　下側５％
     -1 　　0.242　0.159　
      0 　　0.399　0.5　
　　　1 　　0.242　0.841
　　　1.64　0.104　0.95 　　上側５％
　　　1.96　0.058　0.975　　両側５％　
      2 　　0.054　0.977　
　　　2.33　0.026　0.99 　　上側１％
　　　2.58　0.004　0.995　　両側１％
      3 　　0.004　0.999　
　Ｚ＝（１８０－１７０）／１０＝１　→　P(1) = 0.242　→ ２４.２％

　関数（正規分布の確率密度関数）P(1) = distNormalDen(x, μ, σ) = distNormalDen(180, 170, 10) → p=0.024

問２　平均１７０cm、標準偏差１０cmであるとき、１８０cm以上である確率は

　Ｚ＝（ｘ－μ）／σ＝（１８０－１７９）／１０＝１
　低いほうの累積確率　S(1) = 0.841 → 高いほうの確率 = 1-0.841 = 0.159 ・・・答

　関数（正規分布の累積確率関数）S(1) = distNormalCum(x, μ, σ) = distNormalCum(180, 170, 10) → s=0.841

問３　高いほうの５％は何cm以上か

　上側５％　→　Ｚ＝ 1.64
　Ｚ＝（ｘ－μ）／σ　→　ｘ＝μ＋Ｚσ = 170 + 1.64*10 = 186.5

　関数（正規分布の確率密度関数の逆関数）上から５％＝下から９５％
　　x = distNormalInv(p, μ, σ) = distNormalDen(0.95, 170, 10) → x = 186.5

問４　全体の９０％はどの範囲にあるか

　数表から
　　小さいほうの５％ → 両側２.５％ → Ｚ＝-1.96 → xmin＝μ＋Ｚσ = 170 - 1.96*10 = 150.4
　　大きいほうの５％ → 両側２.５％ → Ｚ＝1.96 → xmax＝μ＋Ｚσ = 170 + 1.96*10 = 189.6

　関数から
　  関数（正規分布の確率密度関数の逆関数）xmin = distNormalDen(0.025, 170, 10) → xmin = 150.4
　  関数（正規分布の確率密度関数の逆関数）xmax = distNormalDen(0.975, 170, 10) → xmax = 189.6

　答　150.4～189.6

問５　最適仕入量（新聞売り子の問題）
　　　ある商品の需要は、平均１００個、標準偏差＝１０の正規分布に従う。
　　　品切損失単価＝８円/個、　売残損失単価＝２円であるとき、機会損失を最小にする最適仕入量を求めよ。

　機会損失＝品切損失　　（品切損失単価 * 品切個数、　品切確率＝－∞～仕入量の累積確率）
　　　　＝売残損失　　（売残損失単価 * 売残個数、　売残確率＝仕入量～∞の累積確率＝１ー品切確率）
　最適仕入量では、品切損失＝売残損失
　　→　品切損失単価 * 品切確率 = 売残損失単価 * （１－品切確率）　　
　　→　品切確率 = 売残損失単価 / (売残損失単価 + 品切損失単価)
　　　　　　　　 = 8 / (8 + 2) = 0.8
　最適仕入量 = 平均 + 累積確率0.6のＺ * 標準偏差
　　　　　　 = 100 + 0.84 * 10 = 108.4

　関数（正規分布の累積確率の逆関数）
　　最適仕入量 = distNormalInv(p, μ, σ) = distNormalInv(0.6, 100, 10) = 108.4

三角分布
　正規分布では、単純にするため需要量＝－∞～∞とするが非現実的
　→　三角分布（xmin = 75, xmax = 125, xmod = 100）とすると（平均 = 100, 標準偏差 = 10.2）

　関数（三角分布の累積確率の逆関数）
　　最適仕入量 = distTriInv(s, xmin, xmax, xmod) = distTriInv(0.8, 75, 125, 100) = 109.2

問６　必要標本数
　　　ある花の１０個を調べたら赤い花が４個であった。この花全体で赤い確率が４０±１０％
　　　とするには、最低何個の標本を調べる必要があるか（有意水準５％）

中心極限定理：標本数 n が十分にに大きいとき，標本比率 p0 は近似的に正規分布 (p, p(1-p)/n) に従う。
　必要な標本数
　　n = (Ｚ/Perr)² * p(1-p)
　　　　Perr；確率誤差 = | p0 - p | 
　　　　Ｚ；正規分布の変位。 両側有意水準 pt = 0.05 のとき Ｚ = 1.96、 pt = 0.01 のとき Ｚ = 2.58
　　　問題文　Perr = 0.1、Ｚ = 1.96 を代入
　　n = (1.96/0.1)² * 0.4*(1-0.4) = 93 ・・・答

　関数（中心極限定理による必要標本数）
　　[n5, n1] = distCltNmin(p, Perr) = distCltNmin(0.4, 0.1) = [93, 160]
　　　　有意水準 = 0.01 では、最低 160 の標本が必要
　関数（標本数を与えたときの許容確率誤差）
　　[Perr5, Perr1] = distCltPerr(0.4, 50) = [0.136, 0.179]
　　　　標本が５０のとき有意水準５％では ３０±１４％ になる。

２項分布

問１　硬貨を２回投げて表が１回出る確率

　場合の数による計算
　　　　　　　　表　　裏
 　　 １回目　　〇　　×
　　　２回目　　×　　〇
　　全体の場合の数＝４、　題意に合致する場合の数＝２
　　確率＝２／４＝0,5

　二項分布の密度関数による計算
　　ある事象が起こる確率がｐの試行をｎ回行ったとき、その事象がｘ回起こる確率Ｐ(x)
　　　Ｐ(x)＝_nＣ_xｐ^x(１－ｐ)^n-x
　  n=2, x=1, p=0.5 を代入すると、
　　　Ｐ(x)＝₂Ｃ₁1/2¹(1-1/2)¹
　　　　　 ＝2 * (1/2)²
　　　　　 ＝ 2/4
　　　　　 ＝ 0.5 ・・・（答）

　関数（二項分布の確率密度関数）Px = distBinDen(1, 2, 0.5) →　Px = 0.5

問２　サイコロを５回投げたとき１の目が３回出る確率は

　　　Ｐ(x)＝_nＣ_xｐ^x(１－ｐ)^n-x
　に、n=5, x=3, p=1/6 を代入すると、
　　　Ｐ(x)＝₅Ｃ₃(1/6)³(5/6)²
　　　　　 ＝ 0.161 ・・・（答）
　関数（二項分布の確率密度関数）Px = distBinDen(3, 5, 1/6) →　Px = 0.161

問３　硬貨を２回投げて表が１回以上出る確率

　問１で、 表がｘ枚である確率を計算する。
　　　　　確率密度
　　　ｘ　　(x)
　　　０　　0.25　表が０枚　
　　　１　　0.5 　表が１枚　┐
　　　２　　0.25　表が２枚　┴　合計 = 0.75 (1-0.25) ・・・答

　関数（二項分布の累積確率関数）s = distBinCum(1, 2, 0.5) → S=0.75

問４　サイコロを５回投げたとき１の目が３回以下の確率は

　問１で、 表がｘ枚である確率を計算する。
　　　　　確率密度 累積確率
　　　ｘ　Ｐ(x)　　S = ∑Ｐ(x)
　　　０　0.402　　0.402 ┐
　　　１　0.402　　0.804 ├　３回以下の確率
　　　２　0.161　　0.965 │
　　　３　0.032　　0.997 ┘
　　　４　0.003　　1
　　　５　0.000　　1
　　「３回以上」ならば、1-２回以下 = 1-0.965 = 0.035

　関数（二項分布の累積確率関数）s = distBinCum(3, 5, 1/6) → S=0.997 ３回以下の確率
　「３回以上」ならば、s = 1 - distBinCum(3-1, 5, 1/6) = 0.035

問５　硬貨を投げて表が２枚以上になる確率を９０％にするには最低何回投げればよいか
　　　＝硬貨を投げて表が１枚以下になる確率が１０％以下になるには最低何回投げればよいか

　ｎをいろいろ変えて計算してみる
　　６回投げたとき
　　　　すべてが裏である確率 (1/2)⁶
　　　　１枚が裏である確率　 6*(1/2)⁶
　　　　合計 = 7*(1/2)⁶ = 7/32 = 0.212 > 0.10
　　７回投げたとき
　　　　すべてが裏である確率 (1/2)⁷
　　　　１枚が裏である確率　 7*(1/2)⁷
　　　　合計 = 8*(1/2)⁷ = 1/16 = 0.063 < 0.10　答は７回

　二項分布の累積確率関数
　　１回の試行の発生確率が p のとき、ｎ 回の試行で発生回数が ｘ 回以下の確率は　
      s = distBinCum(x, n, p)
        = distBinCum(1, n, 1/2)
      n   P() 　s()
      2   0.5    0.75
      3   0.375  0.5
      4   0.250  0.313
      5   0.156　0.188
      6   0.094　0.109
      7   0.055　0.063 < 0.10

問６　硬貨を３回投げたとき初めて表が出る確率

  数え上げ
　　１回目は裏　1-1/2
　　２回目は裏　1-1/2
　　３回目は表  1/2
  　(1-1/2)*(1-1/2)*1/2 = 1/8 = 0.125

　負の二項分布
  ある事象が起こる確率がｐのとき、ｎ回投げたときに、その事象がはじめてｘ回発生する確率Ｐ(ｎ)
　　　Ｐ(n)＝_n-1Ｃ_x-1ｐ^x(１－ｐ)^n-x
           ＝₂Ｃ₀(1/2)¹(1-1/2)²
           ＝ 1/8  = 0.125

　関数（負の二項分布の確率密度関数）Pn = distBinNegDen(1, 3, 0.5) →　Pn = 0.125

問７　サイコロを５回投げたとき、初めて１の目が３回になる確率は

　負の二項分布
　　　Ｐ(n)＝_n-1Ｃ_x-1ｐ^x(１－ｐ)^n-x
           ＝₄Ｃ₂(1/6)³(5/6)²
           ＝ 6 * 5² / 6⁵ = 0.0193

　関数（負の二項分布の確率密度関数）Pn = distBinNegDen(3, 5, 1/6) →　Pn = 0.0193

幾何分布

発生確率ｐの事象がはじめて発生したときの試行回数ｎの確率分布
　　確率密度： Pn = (1-p)^n-1*ｐ
　　累積確率： s  = 1-(1-p)ⁿ
　　累積確率の逆関数：n = log(1-s) /log(1-p)

問１　硬貨を投げて３回目で初めて表が出る確率は

　確率の定義から
　　２回目まではすべて裏である確率；(1/2)²
    ３回目で表になる確率：1/2
    合計：　(1/4)*(1/2) = 1/8 = 0.125 ・・・答

　確率密度： Pn = (1-p)^n-1*ｐ
                = (1-1/2)^3-1*(1/2)
                =  = 1/8 = 0.125

  関数（幾何分布の確率密度関数）Pn = distGeoDen(n, p) = distGeoDen(3, 1/2) = 0.125

問２　サイコロを３回目に投げたときにはじめて１の目が出る確率

　確率密度： Pn = (1-p)^n-1*ｐ
                = (5/6)^3-1*(1/6)
                =  = 25/216 = 0.116

  関数（幾何分布の確率密度関数）Pn = distGeoDen(n, p) = distGeoDen(3, 1/6) = 0.116

問３　硬貨を投げて初めて表が出るのが３回目から８回目の間である確率

  確率密度 P(3) + P(4) + … + p(8) としてもよいが、
　　　ｎ　P(n)
　　　３　0.125
　　　４　0.063 
　　　５　0.031 
　　　６　0.016 
　　　７　0.008 
　　　８　0.004
    合計　0.286
  累積確率： s(n)  = 1-(1-p)ⁿ = 1-(1/2)ⁿ
　を用いて、S(8) - S(2) を求めるほうが簡単です。
      S(8) - S(2) = (1/2)^{2 - (1/2)⁸
                  = 1/4 - 1/256 = 0.246
　とするほうが簡単です。

  関数（幾何分布の確率密度関数）
　　　S(8) = distGeoCum(8, 1/2) = 0.996
　　　S(2) = distGeoCum(2, 1/2) = 0.750
      0.996 - 0.750 =  0.246}

問４　硬貨を投げて初めて表が出る確率が９０％になるには、何回投げればよいか

　ｎ回投げたときに初めて表が出る確率 P(n),
　ｎ回までに初めて表が出る確率 S(n)
　　　ｎ　P(n) 　S(n) 
　　　１　0.5    0.5
　　　２　0.25   0.75
　　　３　0.125  0.875  ３回では９０％未満
　　　４　0.063  0.938　４回では９０％以上
　　　５　0.031  0.969

　累積密度の逆関数
      n = log(1-s) /log(1-p) = log(0.1) / log(0.5) = 3.32

  関数（幾何分布の累積密度関数の逆関数）n = distGeoInv(s, p) = distGeoInv(0.9, 0.5) = 3.32

問５　サイコロを投げて初めて１の目が出る確率が５０％になるには、何回投げればよいか

　累積密度の逆関数
　　　n = log(1-s) /log(1-p) = log(0.5) / log(5/6) = -0.301 / --0.0792 = 3.8
　　　 ４回投げればよい

  関数（幾何分布の累積密度関数の逆関数）
      n = distGeoInv(s, p) = distGeoInv(0.5, 1/6) = 3.8

超幾何分布

確率密度関数：袋の中にＡがａ個、Ｂがｂ個入っている。α＋β個を取り出したとき、Ａがα個、Ｂがβ個である確率
　　　P(α) = _aＣ_α * _bＣ_β／_a+bＣ_α+β
累積密度関数；α＝０～αである確率（Ａがα以下である確率）
　　　S(α) = ΣP(α)（α＝０～α）

問１　袋の中に赤玉が４個、白玉が３個ある。２個取り出したときに赤玉が１個、白玉が１個である確率は

　場合の数
　　　全体　７個から２個を取り出す場合の数 = ₇Ｃ₂ = 21
　　　赤玉　４個から１個を取り出す場合の数 = ₄Ｃ₁ = 4
　　　白玉　３個から１個を取り出す場合の数 = ₃Ｃ₁ = 3
      確率 = 4 * 3 / 21 = 4/7 =  0.541

　確率密度関数
　　　P(1) = ₄Ｃ₁ * ₃Ｃ₁／₇Ｃ₂
　　　　　 =  4 * 3 / 21 = 4/7 =  0.541

　関数（超幾何分布の確率密度関数）
　　　P(1) = distHyperGeoDen(a, b, α, β) = distHyperGeoDen(4, 3, 1, 1) = 0.571

問２　袋の中に赤玉が５個、白玉が４個ある。３個取り出したとき、赤玉が１個以内である確率

　確率密度関数
　　赤玉が０個　P(0) = ₅Ｃ₀ * ₄Ｃ₃／₉Ｃ₃ = 4/84
　　赤玉が１個　P(1) = ₅Ｃ₁ * ₄Ｃ₂／₉Ｃ₃ = 30/84
　　合計 = 4/84 + 30/84 = 34/84 = 0.405

　関数（超幾何分布の確率密度関数）
    P(0) = distHyperGeoDen(5, 4, 0, 3) = 0.048
    P(1) = distHyperGeoDen(5, 4, 1, 2) = 0.357  合計 = 0.405

　関数（超幾何分布の累積確率関数）
　　S(1) = distHyperGeoCum(a, b, α, β) = distHyperGeoCum(5, 4, 1, 2) = 0.405

  赤玉が２個以上である確率 = 1 - 赤玉が１個以内である確率

問３　袋の中に赤玉が５個、白玉が４個ある。赤玉が２個以上出る確率が８０％以上にするには最低何個取り出す必要があるか
　　＝赤玉が１個以下である確率を２０％以下にするには、取り出す回数を最大何個に抑える必要があるか
　　 (１個取り出すときは、必ず赤玉は１個以下、５個取り出せは赤玉が１個、６個ならば赤以上なら赤玉は２個以上になる）

　数え上げ
　　２個取り出すとき
　　　赤　白　　　　　(5/9)*(4/8)　　　　　　　 = 20/72
　　　白　赤　　　　　(4/9)*(5/8)　　　　　　　 = 20/72
　　　白　白　　　　　(4/9)*(3/8)　　　　　　　 = 12/72
      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　52/72 = 0.722　＞ 0,2
　　３個取り出すとき
　　　赤　白　白　　　(5/9)*(4/8)*(3/7)　　　　 = 60/504
　　　白　赤　白　　　(4/9)*(5/8)*(3/7)　　　　 = 60/504　
　　　白　白　赤　　　(4/9)*(3/8)*(5/7)　　　　 = 60/504　
　　　白　白　白　　　(4/9)*(3/8)*(2/7)　　　　 = 24/504
      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 204/504 = 0.405　＞ 0.2
　　４個取り出すとき
　　　赤　白　白　白　(5/9)*(4/8)*(3/7)*(2/6) = 120/3024
　　　白　赤　白　白　(4/9)*(5/8)*(3/7)*(2/6) = 120/3024
　　　白　白　赤　白　(4/9)*(3/8)*(5/7)*(2/6) = 120/3024
　　　白　白　白　赤　(4/9)*(3/8)*(2/7)*(5/6) = 120/3024
　　　白　白　白　白　(4/9)*(3/8)*(2/7)*(1/5) =  24/3024
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　504/3020 = 0.167　＜ 0.2

　関数（超幾何分布の累積確率関数）
　　S(n) = distHyperGeoCum(5, 4, 1, n-1) ≦　0.2
　　　ｎ　S(n)　　　　　　　 1-S(n) 赤が２個以上の確率
　　　２　0.722　＞ 0,2　　　1-0.722 = 0.278 ＜ 0.8
　　　３　0.405　＞ 0,2　　　1-0.405 = 0.595 ＜ 0.8
　　　４　0.167　＜ 0.2　　　1-0.167 = 0.833 ＞ 0.8

　４個取り出すと赤が１以下である確率は２０％になる
　４個取り出すと赤が２以上である確率は８０％になる

問４　袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。３個取り出したとき２個が赤玉だった。袋の中の赤玉の個数は

　関数（超幾何分布の確率密度関数）赤玉がｘ個のときに、取り出した赤玉数が２個である確率
    P(x) = distHyperGeoDen(a, b, α, β) = distHyperGeoDen(x, 9-x, 2, 1)
　関数（超幾何分布の累積確率関数）赤玉がｘ個のときに、取り出した赤玉数が１個以下である確率
　　S(x) = distHyperGeoCum(a, b, α, β) = distHyperGeoCum(x, 9-x, 1, 2)
　　（赤玉がｘ個のときに、取り出した赤玉数が１個以下である確率は 1-S(x) )
   
　　ｘ　9-ｘ　 P(x)　 S(x)   1-S(x)
　　２　 ７　　0.083　0.917　0.083
　　３　 ６　　0.214　0.774　0.226
　　４　 ５　　0.357　0.595　0.405
　　５　 ４　　0.476　0.405　0.595
　　６ 　３　　0.536　0.226　0.774
　　７ 　２　　0.500　0.083　0.917
　　８　 １　　0.333　0.　　 1. 

　３個取り出したとき２個が赤玉
　　P(6) = 0.536  　最もありそうなのは袋の中の赤玉が６個のとき
　　S(4) = 0.595　　袋の中に赤玉が４個以下だと、３個取り出したとき２個が赤玉になる確率は５０％以下
　　1-S(5) = 0.595　袋の中に赤玉が５個以上あれば、３個取り出したとき２個が赤玉になる確率は５０％以上

問５　袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。取り出した玉は戻さない
　　　１個ずつ取出し３回目に初めて赤玉が出た。袋の中に赤玉が２個以上ある確率は

　袋の中に赤玉がＸ個、白玉が９－ｘ個あるとする。
　　１回目が白で２回目も白である確率 = (9-x)/9 * (8-x)/8
　　さらに３回目が赤である確率 = p(x) = (9-x)/9 * (8-x)/8 * x/7

　　ｘ　P(x) 
　　１　(8/9)*(7/8)*(1/7) = 56/504 = 0.111　　赤玉が１個のとき
　　２　(7/9)*(6/8)*(2/7) = 84/504 ┐
　　３　(6/9)*(5/8)*(3/7) = 90/504 │0.889　　赤玉が２個以上のとき
　　：　　　　　：　　　　　　　　 │
　　７　(2/9)*(1/8)*(7/7) = 14/504 ┘

指数分布

　　λ：単位時間中にある事象が発生する平均回数
　　確率密度；事象の発生間隔がｔ単位時間である確率
　　　　P(t) = λ*e^(-λ*t)
    累積確率： t=0～t の間に事象が発生する確率
　　　　S(t) = 1-e^(-λ*t)
    累積確率の逆関数；累積確率が p となる t の値
　　　　t = -(1/λ)log(1-p)

問１　客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０,５時間/人）だとわかっている。発生間隔が１時間である確率

　P(t)にλ＝２、ｔ＝１を代入
　　P(1) = 2*e^(-2) = 2*0.135 = 0.271
　関数（指数分布の確率密度関数）
　　p(1) = distExpDen(t, λ) = distExpDen(1, 2) = 0.271

問２　λ＝２のとき、客が来てから１時間以内に次の客が来ない確率

　S(t) にλ＝２、ｔ＝１を代入
　　S(1) = 1-e^(-λ*t) = 1 - e^(-2) = 0.865

　関数（指数分布の累積確率関数）
　　S(1) = distExpCum(t, λ) = distExpCum(1, 2) = 0.865

問３　λ＝２のとき、９０％の確率で「何分以内に客がこない」といえるか

　　t にλ＝２、p＝０.９ を代入
　　　t = -(1/2)log(0.1) = -(1/2)*(-2.30) = 1.15
　関数（指数分布の累積確率関数の逆関数））
　　　t = distExpInv(p, λ) = distExpInv(0,9, 2) = 1.15

ポアソン分布

　　λ：単位時間中にある事象が発生する平均回数
　　確率密度；単位時間中にその事象がｘ回発生する確率
　　　  P(x) = (λ^x/x！)*ｅ^－λ
    累積確率： 単位時間中に事象の発生がｘ回以下の確率
　　　　s(x) = s(x-1) + p(x)
    累積確率の逆関数；S(x) ≦ p である最大のｘ

問１　客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０.５時間/人）だとわかっている。１時間に４人の客が来る確率

　P(x) にλ＝２，ｘ＝４を代入
　　P(4) = (2⁴/4!)*ｅ^-2 = 16 / 24 * 0.135 = 0.09
　関数（ポアソン分布の確率密度関数）
    P(4) = distPoissonDen(x,λ) = distPoissonDen(4, 2) = 0.09

問２　λ＝２のとき、１時間に来る客が４人以下である確率

  確率密度から計算
　　P(0) = 0.135
　　P(1) = 0.271
　　P(2) = 0.271
　　P(3) = 0.180
　　P(4) = 0.090
　　合計 = 0.947
　関数（ポアソン分布の累積確率関数）
　　S(4) = distPoissonCum(x,λ) = distPoissonCum(4, 2) = 0.947

問３　λ＝２のとき、９０％の確率で１時間に来る客の数

　　S(2) = 0.677　２人以下の確率
　　S(3) = 0.857　３人以下の確率　＜ 0.9
　　S(4) = 0.947　４人以下の確率　＞ 0.9

　関数（ポアソン分布の累積確率関数の逆関数）S(x) ≦ p である最大のｘ
　　x = distPoissonInv(s,λ) = distPoissonInv(0.9, 2) = 3
    x = 3 までは S(x) ≦ 0.9　　　９０％を超えるのは x = 4

確率分布の例題集

参照：JavaScriptの計算プログラム

正規分布

問１ 成人男性の身長が平均１７０cm、標準偏差１０cmだとわかっている。身長が１８０ｃｍである確率は

問２ 平均１７０cm、標準偏差１０cmであるとき、１８０cm以上である確率は

問３ 高いほうの５％は何cm以上か

問４ 全体の９０％はどの範囲にあるか

問５ 最適仕入量（新聞売り子の問題） ある商品の需要は、平均１００個、標準偏差＝１０の正規分布に従う。 品切損失単価＝８円/個、 売残損失単価＝２円 であるとき、機会損失を最小にする最適仕入量を求めよ。

問６ 必要標本数 ある花の１０個を調べたら赤い花が４個であった。この花全体で赤い確率が４０±１０％ とするには、最低何個の標本を調べる必要があるか（有意水準５％）

２項分布

問１ 硬貨を２回投げて表が１回出る確率

問２ サイコロを５回投げたとき１の目が３回出る確率は

問３ 硬貨を２回投げて表が１回以上出る確率

問４ サイコロを５回投げたとき１の目が３回以下の確率は

問５ 硬貨を投げて表が２枚以上になる確率を９０％にするには最低何回投げればよいか ＝硬貨を投げて表が１枚以下になる確率が１０％以下になるには最低何回投げればよいか

問６ 硬貨を３回投げたとき初めて表が出る確率

問７ サイコロを５回投げたとき、初めて１の目が３回になる確率は

幾何分布

問１ 硬貨を投げて３回目で初めて表が出る確率は

問２ サイコロを３回目に投げたときにはじめて１の目が出る確率

問３ 硬貨を投げて初めて表が出るのが３回目から８回目の間である確率

問４ 硬貨を投げて初めて表が出る確率が９０％になるには、何回投げればよいか

問５ サイコロを投げて初めて１の目が出る確率が５０％になるには、何回投げればよいか

超幾何分布

問１ 袋の中に赤玉が４個、白玉が３個ある。２個取り出したときに赤玉が１個、白玉が１個である確率は

問２ 袋の中に赤玉が５個、白玉が４個ある。３個取り出したとき、赤玉が１個以内である確率

問４ 袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。３個取り出したとき２個が赤玉だった。袋の中の赤玉の個数は

問５ 袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。取り出した玉は戻さない １個ずつ取出し３回目に初めて赤玉が出た。袋の中に赤玉が２個以上ある確率は

指数分布

問１ 客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０,５時間/人）だとわかっている。発生間隔が１時間である確率

問２ λ＝２のとき、客が来てから１時間以内に次の客が来ない確率

問３ λ＝２のとき、９０％の確率で「何分以内に客がこない」といえるか

ポアソン分布

問１ 客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０.５時間/人）だとわかっている。１時間に４人の客が来る確率

問２ λ＝２のとき、１時間に来る客が４人以下である確率

問３ λ＝２のとき、９０％の確率で１時間に来る客の数

問１　成人男性の身長が平均１７０cm、標準偏差１０cmだとわかっている。身長が１８０ｃｍである確率は

問２　平均１７０cm、標準偏差１０cmであるとき、１８０cm以上である確率は

問３　高いほうの５％は何cm以上か

問４　全体の９０％はどの範囲にあるか

問６　必要標本数
　　　ある花の１０個を調べたら赤い花が４個であった。この花全体で赤い確率が４０±１０％
　　　とするには、最低何個の標本を調べる必要があるか（有意水準５％）

問１　硬貨を２回投げて表が１回出る確率

問２　サイコロを５回投げたとき１の目が３回出る確率は

問３　硬貨を２回投げて表が１回以上出る確率

問４　サイコロを５回投げたとき１の目が３回以下の確率は

問５　硬貨を投げて表が２枚以上になる確率を９０％にするには最低何回投げればよいか
　　　＝硬貨を投げて表が１枚以下になる確率が１０％以下になるには最低何回投げればよいか

問６　硬貨を３回投げたとき初めて表が出る確率

問７　サイコロを５回投げたとき、初めて１の目が３回になる確率は

問１　硬貨を投げて３回目で初めて表が出る確率は

問２　サイコロを３回目に投げたときにはじめて１の目が出る確率

問３　硬貨を投げて初めて表が出るのが３回目から８回目の間である確率

問４　硬貨を投げて初めて表が出る確率が９０％になるには、何回投げればよいか

問５　サイコロを投げて初めて１の目が出る確率が５０％になるには、何回投げればよいか

問１　袋の中に赤玉が４個、白玉が３個ある。２個取り出したときに赤玉が１個、白玉が１個である確率は

問２　袋の中に赤玉が５個、白玉が４個ある。３個取り出したとき、赤玉が１個以内である確率

問４　袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。３個取り出したとき２個が赤玉だった。袋の中の赤玉の個数は

問５　袋の中に９個の玉があるが赤玉・白玉の個数は不明。取り出した玉は戻さない
　　　１個ずつ取出し３回目に初めて赤玉が出た。袋の中に赤玉が２個以上ある確率は

問１　客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０,５時間/人）だとわかっている。発生間隔が１時間である確率

問２　λ＝２のとき、客が来てから１時間以内に次の客が来ない確率

問３　λ＝２のとき、９０％の確率で「何分以内に客がこない」といえるか

問１　客の到着頻度は平均１時間にλ＝２人（平均間隔＝０.５時間/人）だとわかっている。１時間に４人の客が来る確率

問２　λ＝２のとき、１時間に来る客が４人以下である確率

問３　λ＝２のとき、９０％の確率で１時間に来る客の数