２×２分割表での検定と区間推定

２×２分割表

アンケートをしたとき，次のような表が得られますが，これを２×２分割表といいます。

データ入力の手間を考慮すれば，次のように変形することもできます。

ここでは，変形後のデータを入力して，「はい」と答えた比率が，男のほうが女よりも大きいといえるかどうかを統計的な手段で調べます。統計用語でいえば２標本の比率の差の片側検定です。

理論

前提

帰無仮説 Ｈ_０：ｐ_１＝ｐ_２である。
対立仮説Ｈ_１：ｐ_１＞ｐ_２である。

２標本比率の差の区間推定

２標本比率の差のχ^２による検定

２×２分割表のときは，χ^２は次のように計算できます。

ここでYatesの補正項の±は（　）^２の値が小さくなるように与えます。
なお，３以下の値があるときは個別に確率計算をするのが適切なのですが，ここではそれを無視しています。

２×２分割表のときは自由度は (２－１)(２－１)＝１ですから，上の式で求めたχ^２値を自由度１のχ^２と比較します。
　　χ^２≧６.６３　有意水準１％でＨ_０は棄却される。
　　χ^２≧３.８４　有意水準５％でＨ_０は棄却される。
　　χ^２＜３.８４　有意水準５％ではＨ_０は棄却できない。
となります。

２標本比率の差のＺ検定

とおけば，Ｚが正規分布のαに相当するものです。
それで，
　Ｚ≧２.３３　有意水準１％Ｈ_０は棄却（ｐ_１＞ｐ_２だといえる）される。
　　≧１.６４　有意水準５％Ｈ_０は棄却される。
　　＜１.６４　有意水準５％ではＨ_０は棄却できない。（ｐ_１＞ｐ_２だとはいい切れない）。
と結論できます。

なお，Ｚの分子の「０.５～」は，入力データが離散量（整数）なので，それを連続量にするための補正項です。

計算プログラム

検定結果の見方

区間推定

入力データはサンプルですから，ｐ_１－ｐ_２の値はたまたまそうなったので，１点に絞ることはできずその周辺に真の値があると考えられます。区間推定は真の値が存在する可能性のある範囲を示したものです。その範囲の最小値が０よりも小さくなると「あるいはｐ_１≦ｐ_２かもしれない」ことになります。それでこの計算では，最小値が正になるように確率のほうを調整しています。

「９９％の確率でｐ_１＞ｐ_２だといえます。」

このようにいい切っても，それが間違いだったという確率が１％以下だということです。統計用語でいえば「有意水準１％で "ｐ_１＝ｐ_２である" という帰無仮説が棄却される」ことであり，「対立仮説 "ｐ_１＞ｐ_２である" といえる」ということです。一般に「有意差＊＊」と表示します。

「９５％の確率でｐ_１＞ｐ_２だといえます。」

９９％の信頼度はないが，９５％でならばいえるということです。「有意差＊」と表示します。

「９０％の確率でｐ_１＞ｐ_２だといえます。」

９５％の信頼度はないが，９０％でならばいえるということです。自然科学ではこの程度では「有意差があるとはいえない」のですが，アンケート分析のような厳密性を問わないときには採用することがあります。

「９０％確率でｐ_１＞ｐ_２だとは断定できません。」

「有意水準１０％でも "ｐ_１＝ｐ_２である" という帰無仮説は棄却されない」ことです。ｐ_１＞ｐ_２だとは「断定できない」のであり，「ｐ_１＝ｐ_２である」ということではありません。信頼度を８０％，７０％と下げればｐ_１＞ｐ_２であるといえるのでしょうが，一般にはこのような場合は，有意差があるとはいいません。

●注意：場合によっては，この３通りの結果に矛盾が生じることもあります。それは「どのような考えで検定したのか」による違いです。「どれでなければいけない」ということはないので，「そんなものかな」と理解しておけばよいのです。

データの大きさに注意

ｎ_１＝１００，ｐ_１＝８０（０.８０），ｎ_２＝１００，ｐ_２＝６３（０.６３）のときは，９９％の有意差があります。でも，ｎ_１＝１０，ｐ_１＝８（０.８０），ｎ_２＝１０，ｐ_２＝６（０.６０）のときは，有意差はありません。９９％の有意差があるといえるのは，ｎ_２＝１０，ｐ_２＝３（０.３０）のときです。さらに，ｎ_２＝５だと，ｐ_２＝０（０.００）でやっと９９％の有意差になります。

このように，データが大きければ，小さな比率の違いでも有意差がありますが，データが少ないときは，比率がかなり異なっていても有意差があるとはいえないのです。それは，データが少ないと，もし１つがｙｅｓからｎｏに変われば比率が大きく変化するということからも，常識的に理解できましょう。