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統計検定関連 JavaScript関数ライブラリ test.js の利用解説書

ご利用にあたって

Ｚ検定

ここでの上側確率分布表の見方

分布表[i] に z = 0.01*i の上側確率 p が入っている。z=0 (i=0) のとき p=0.5、ｚ= 4.0 (i=400) のとき p=0.00003 の一様減少であり、ｚ＞ 4.0 のときは　p=0 とする。

• z→ｐの検索
  z ≧ 0 のとき、 i = 100*z を四捨五入した値を採用する（厳密にはｚを挟む二つのpの内挿値にすべきである）。
  z ＜ 0 のときは、z^* = -z として p^* を求め、 p = 1 - p^* とすればよい。
• p→ｚの検索
  0 ＜ p ＜ 1 でなければならない。
  0 ≦ p ≦ 0.5 のとき iを順に増やしていき、最初に 分布表[i]≦ p となる i から、 z = i/100 とする。
  0.5 ＜ p ＜ 1 のとき p^*=1-p として z^* を求め、z = -z^* とする。

代表的なｚとｐの表
　　　ｚ　　　　　ｐ
　　１.０　　　０.１３５
　　１.６５　　０.０５
　　２.０　　　０.０２３
　　２.３２　　０.０１
　　３.０　　　０.００１

正規分布表（μ,σ）の参照

　xより大の上側確率ｐを得る。
　　　var p = testZxtop(x [,μ,σ]);　コード表示
　上側確率ｐのｘを得る。
　　　var z = testZptox(p [,μ,σ]);　コード表示

μ,σを省略すると。μ=0、σ=1 の標準正規分布N(0,1) になります。
一方だけの省略はできません。

testZxtop(x,μ,σ) 　正規分布表 x→p

z = (x - μ) / σ と変換することにより、標準正規分布での z → p になります。

testZptox(p,μ,σ)　正規分布表 x→p

標準正規分布で p → z を行い、x = μ + z*σ により x を求めます。

id="testZIE">testZIE　正規分布の区間推定
　　var [下限, 上限] = testZIE(p,μ,σ);　コード表示

正規分布（μ,σ）に従う母集団において、下限～上限 の範囲に属するが確率ｐであるとき、下上限の値を求めます。
例題
「ある大規模の試験の成績は、平均点μは５０点、標準偏差σは１０点の正規分布であることが知られている。このことから、受験者の９０％は何点から何点の間にあると推定できるか。」
解法
下上限間の確率が p ならば、上限よりも大きい部分の確率 p1 = (1-p)/2 になる。
x = testZptox(p1,μ,σ)　より x が求められるが、これが上限になる。
下限は 2μ-x になる。

testZtest　正規分布の点検定
　　var p = testZtest(x,μ,σ);　コード表示

ある値 x が正規分布（μ,σ）に従う母集団に属する確率 p を求める。
例題
「ある生物の体重は平均μ＝50、標準偏差σ＝10である。たまたまＸ＝70の個体が見つかった。この個体は生物よりも重いといえるか。」
答：ｐ=0.023　有意水準５％ならば重いといえるが、１％ならば重いとはいえない。）
解法
このケースではｘ＞μなので上側確率を使う。ｘ＜μの場合は ｘ_* = 2μ-ｘ（=145） と変形して、ｘ_* の上側確率を用いればよい。
上側確率 p = testZxtop(x,μ,σ)　がこの製品の出現確率である。
p ＜ 0.01 ならば、有意水準１％（信頼度９９％）で異常が生じたといえる。
p ＜ 0.05 ならば、有意水準５％（信頼度９５％）で異常が生じたといえる。
p ＞ 0.05 ならば、有意水準５％（信頼度９５％）で異常が生じたと断定することはできない

ｔ検定

参照：ｔ分布と推定・検定

ｔ値の計算
　　var t = testTvalue(df, p) コード表示

ｔ分布表から、自由度 df、有意水準 p に対応するｔ値を得ます。
p = 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005 に対応しています。
片側での表記ですので、両側 0.1 のときは 0.05 を用います。
信頼係数（１－有意水準） 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 でも同じです。

ｔ検定　平均の区間推定
　　testTIETrace(表示場所, n, μ, σ, p) コード表示
　　var [lower, upper] = testTIE(n, μ, σ, p) コード表示
　　testTIExTrace(表示場所, x, p) コード表示
　　var [lower, upper] = testTIEx(x, p) コード表示

例題「１０人の平均身長が 170cm、標準偏差が 9cmであったとき、身長平均の有意水準 0.05 での信頼区間を求めよ。」
testTIEx では、各人の身長 x を入力して、平均、標準偏差を計算して信頼区間を求める。
●左と右の両側になるので、有意水準確率は 0.05/2= 0.025 を用いる。

testTIE

testTIEx

ｔ検定　標本平均と母集団平均の比較
　　testTtest1Trace(表示場所, μ, n, μ0, σ, side)　コード表示
　　var [t0, tp] = testTtest1(μ, n, μ0, σ, side)　コード表示
　　testTtest1xTrace(表示場所, μ, x, side)　コード表示
　　var [t0, tp] = testTtest1x(μ, x, side)　コード表示

例題「母平均はμ＝５０点である。標本ｎ＝１６人での結果は、平均はμ0＝５５点、標準偏差はσ＝５点であった。標本の平均点数は母平均より高いといえるか、高いならば有意水準（0.01, 0.05 など)を示せ。」
　上側検定では side="upper"、下側検定では side="lower" とする。例題では "upper"
標本から計算したｔ値が t0. ｔ分布表から得られた有意水準0.05の値が t であり、
　上側検定で t ＜ t0 あるいは下側検定で t ＞ t0 ならば「有意水準0.05で有意差がある」とする。
（有意水準 0.1 でも有意差がないときは、 tp=-1 を戻す。

testTtest1

testTtest1x

ｔ検定　２変数の平均の比較
　　testTtest2Trace(表示場所, nx, μx, σx, ny, μy, σy, side)　コード表示
　　var [t0, tp] = testTtest2(nx, μx, σx, ny, μy, σy, side)　コード表示
　　testTtest2xyTrace(表示場所, x, y, side)　コード表示
　　var [t0, tp] = testTtest2xy(x, y, side)　コード表示

例題「製品Ｘの標本数(n_x)１０個の特性の平均(μ_x)は３７、標準偏差σ_xは４
　　　製品Ｙの標本数(n_y)　６個の特性の平均(μ_y)は３２、標準偏差σ_yは３
　　　であった。Ｘの特性値ははＹよりも大といえるか。」
解法
①標本Ｘ、Ｙから、次式により t0 を算出する
　ｔ0 = (μ_x - μ_y)/(σ√(1/n_x + 1/n_y)　
　　　ただし σ=√[(df_xσ_x² + df_yσ_y²) / (df_x + df_x)]、　　df_x、df_yは自由度 n_x-1, n_y-1
②ｔ分布表から、自由度df=df_x + df_x = n_x + n_y - 2 から有意水準p(0.01,0.05など）のｔ値 t を調べる。
③t0 と t の大小により有意水準 tp=0.05など を戻す。
　　上側検定で t ＜ t0 あるいは下側検定で t ＞ t0 ならば「有意水準0.05で有意差がある」とする。
　　（有意水準 0.1 でも有意差がないときは、 tp=-1 を戻す。

testTtest2

testTtest2xy

χ²検定

参照：χ²分布と推定・検定

χ²値の計算（上側確率）
　　var χ² = testChi2Value(自由度, 上側確率) コード表示

自由度 df（1～120 の整数）、有意水準（上側確率）p の χ²値を χ²分布表から求めます。
この関数は、χ²検定の多くの関数で用いられます。
下側確率の場合は、1-p とします。
両側確率のときは、p/2 で上側、1-p/2 で下側確率になります。

χ²分布　有意水準の計算
　　var 有意水準 = testChi2Pvalue(自由度, χ²) コード表示

この関数は、χ²検定の多くの関数で用いられます。
自由度 dfでの分布表がχ²のときの有意水準 p を戻します。
df=10 のときのχ²
　　　　　p= 0.995,　　0.99,　 0.975,　0.95,　 0.9,　　0.1　　　0.05, 　 0.025,　0.01,　 0.005
　　χ²[10] = [2.156,　2.558,　3.247,　3.940,　4.865,　15.99,　18.31,　20.48,　23.21,　25.19]
結果の p
　　chi2 = 1.5　→ p = 0.995　有意水準 0.995 で有意差があるといえる
　　chi2 = 3.0　→ p = 0.95　 有意水準 0.95　で有意差があるといえる
　　chi2 = 4.5　→ p = -1　　 有意水準 0.9 または 0.1 でも有意差があるといえない
　　chi2 = 17　 → p = 0.05　 有意水準 0.05 で有意差があるといえる
　　chi2 = 24　 → p = 0.01　 有意水準 0.01 で有意差があるといえる

χ²検定　分散の区間推定
　　testChi2IETrace(表示場所, n, v, p) コード表示
　　var [lower, upper] = testChi2IE(n, v, p) コード表示
　　testChi2IExTrace(表示場所, x, p) コード表示
　　var [lower, upper] = testChi2IEx(x, p) コード表示

上の引数では、v=ｓ² と表示しています。
母分散σ² の正規分布に従うｎ個の標本分散をｓ² とすると、
　　　χ² = (n-1)ｓ² / σ²
は、自由度 df = n-1 のχｓ²分布に従がいます。
有意水準を p とすれば、上側確率は p/2、下側確率は 1-p/2 であり、信頼区間は
　　下限 lower = df*ｓ² / χ²[df][p/2]
　　下限 upper = df*ｓ² / χ²[df][1-p/2]
で求められます。
χ²[][] は、testChi2Value(df, p) で求めます。

testChi2IET

testChi2IEx

χ²検定　母分散との比較
　　testChi2Test1Trace(表示場所, v0, n, vx) コード表示
　　var p = testChi2Test1(v0, n, vx) コード表示
　　testChi2Test1xTrace(表示場所, v0, x) コード表示
　　var p = testChi2Test1x(v0, x) コード表示

母分散が v0 = σ²であり、n個（自由度df=n-1）の標本の標本分散が vx=ｓ² であるとき、
vx は v0 に比べて大きい（小さい）といえるか、そのときの有意水準 p を求めます。
　　vx ＞ x0 のときは、p = 0.005 ～ 0.1、vx ＜ x0 のときは、p = 0.995 ～ 0.9 になります。
計算によるχ²=chi2=df(vx/v0) とχ²[df]分布表の値との比較になります。
　　そのときの有意水準は p = testChi2Pvalue(df, chi2) で得られます。
（分散は標準偏差²ですから、標準偏差が小ならば分散も小になるので、標準偏差の比較でもあります。
標準偏差の比較では正規分布による検定（Ｚ検定）が用いられます。）

testChi2Test1

testChi2Test1x

χ²検定　適合度検定
　　testChi2fitTrace(表示場所, x, y) コード表示
　　var p = testChi2fit(x, y) コード表示

本来は多数の変数を扱えますが、ここでは２変数に限定します。
理論値 x と 実測値 y とが一致しているかどうかを n 個の組　(x_i, y_i) のデータで比較し、適合度（一致度）の有意水準 p を戻します。
製品ｘと製品ｙについてｎ個の特性値を比較して、ｘとｙに違いがあるかないかを検定するにも適用できます。
標本からのχ² = Σ[(x_i - y_i)² / x_i] で求めます。 自由度 df は、(組数-1)(変数-1) になるので、df=(n-1)(2-1) = n-1 です。
分布表のχ²[df] から有意水準 p を求めます。

χ²検定　２ｘ２分割表
　　testChi2cont2x2Trace(表示場所, a, b, c, d) コード表示
　　var p = testChi2cont2x2(a, b, c, d) コード表示

下表のように２ｘ２の分割表が与えられたとき、層や特性に差があるかどうかの有意水準ｐを戻します。
χ^２は次のように計算できます。
　　　　　　(ad-bc)² (a+b+c+d)
　　χ^２ = ─────────────
　　　　　　(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
a～ｄに１０よりも小さい値があるときは、Yatesの補正をします。
　　上の (ad-bc)² → [((ad-bc)±(a+b+c+d)/2]²　 ±は、[ ]²の値が小になるよう選択
単純には、χ^２が大きければ、有意差があることになります。
自由度 df=(2-1)(2-1)=1 なので、χ^２分布表から 有意水準 p を求めます。

F検定

参照：Ｆ分布と推定・検定

F値の計算
　　var [f5, f1] = testFvalue(横自由度, 縦自由度) コード表示

Ｆ分布表から、上側累積確率
　　f5 = Ｆ_0.05(横自由度, 縦自由度)
　　f1 = Ｆ_0.01(横自由度, 縦自由度)
を求めます。

下側F値の計算
　　var [f5, f1] = testFvalueLower(横自由度, 縦自由度) コード表示

Ｆ分布表から、下側累積確率が 0.95, 0.99 のＦ値を求めます。
　Ｆ分布表は、通常は上側 0.05, 0.01 しかないので、次の公式を用います。
　　Ｆ_1-p[横自由度, 縦自由度」= １／Ｆ_p(縦自由度, 横自由度)
例：Ｆ_0.05(10, 5) = 4.735 は Ｆ分布表から求められます。
f5 = Ｆ_0.95(5, 10) = 1／Ｆ_0.05(10, 5) = 1/4.735 = 0.211

F検定　２変数分散比の検定
　　testFtest2Trace(表示場所, na, v1, n2, v2) コード表示
　　var p = testFtest2(n1, v1, n2, v2) コード表示
　　testFtest2xyTrace(表示場所, x, y) コード表示
　　var p = testFtest2xy(x, y) コード表示

下の入力データで、工程１の分散　v1 が、工程２の分散 v2 よりも大きい（小さい）といえるかを
　　分散比 = v1/v2 ＞＜ Ｆ_p（n1-1, n2-1) により、有意水準 p=0.05, 0.01
で検定します。
通常は、v1/v2 ＞ １ として上側確率を用いるので、分散が大きいほうを v1（工程１＝分子側）にします。
すなわち、大きいかどうかの検定です。 ここでは、v1 ＜ v2 のときも、下側確率を用いて、小さいかどうかの検定もできます。

testFtest2

testFtest2xy

ＡＮＯＶＡ　Ｆ検定による分散分析

Ｆ分布による分散分析　ＡＮＯＶＡ（analysis of variance）
　　二つの平均値の相違を検討するにはt検定を用いるが、 三つ以上の平均値の相違を検討する場合にはF検定を用います。
　　結果は、全ての群に差があるとはいえない／どれかに差があるといえるの有意水準を求めることです。
Ｆ検定の流れ
　　自由度を加味した群間変動²の総和を（群内変動²）の総和で割り算し、F値を算出する
　　F値が大きいかどうかを判断する閾値を2種類の自由度を使用したF分布から算出する
　　F値と閾値の大きさを比較する
F検定には４種類の方法があります。
　　分散分析の種類　　　　　　　　　　　名称　　　　　　　　　　　　ここでの関数名
　　一元配置要因分散分析（対応なし）　　one way factorial ANOVA　　testFAnova1Fact
　　一元配置反復測定分散分析（対応あり）one way repeated ANOVA　 testFAnova1Rep
　　二元配置要因分散分析（対応なし）　　two way factorial ANOVA　　testFAnova2act
　　二元配置反復測定分散分析（対応あり）two way repeated ANOVA 　testFAnova2Rep
参照：分散分析

F検定　一元配置要因分散分析
　　testFAnova1FactTrace(表示場所, x);　コード表示
　　rtn = testFAnova1Fact(x);　コード表示

ケース１

例題「ある製品を３つの工程で生産した。各工程の標本の製品特性を「入力」に示した。
　　　３つの工程で特性平均に差があるといえるか」
特徴：１　対象とする特性は１つ（一元配置）
　　　２　工程間の標本は独立（対応なし）同じ標本に異なる加工をしたのではない。
　　　３　どの工程が他の工程と異なるかではなく、全体として差があるかないかを求めている。
入力：
　 　　var x = [ [ 10, 12, 12, 14, 14, 16 ],　　　　　　　 // 群（工程）０
　　　　　　　[ 12, 10, 12, 13, 12, 12, 14, 11, 12 ],　 // 群１
　　　　　　　[ 10, 12, 11, 10, 10, 13, 11 ] ];　　　　 // 群２
　　var rtn = testFAnova1Fact(x);
結果：
　分散分析表　[i] は戻り値　rtn[i] を示します。
　　群間変動　群間偏差平方和　　群間自由度　　　　　群間分散
　　　　　　　S_a=12.95[4]　　　df_a=m-1=2[5]　　V_a=S_a/df_a=6.48[6]
　　群内変動　群内偏差平方和　　群内自由度　　　　　群内分散
　　　　　　　S_e=40 [7]　　　　df_e=m-n=19[8]　　V_e=S_s/df_s=2.11[9]
　　全体変動　全体偏差平方和　 体自由度　　　　　全体分散
　　　　　　　S_t=52.95[10]　　 f_t=n-1=21[11]　　V_t=S_t/df_t=2.52[12]
　分散比 = Ｆ値 = V_a/V_e=3.077[3]
　Ｆ分布表から、Ｆ_0.05(df_a, df_e) = 3.522[2]　 Ｆ_0.05 = 5.926[1] を得る
　　分散比 ＞ Ｆ_0.05、Ｆ_0.01　ならば、有意水準 p = 0.05[0] で異なる平均の群があるとし
　　分散比 ＜　ならば、異なる平均の群があるとはいえない この例での検定結果　p=-1[0] を戻す。

ケース２

F検定　一元配置反復測定分散分析
　　testFAnova1RepTrace(表示場所, x);　コード表示
　　var rtn = testFAnova1Rep(x);　コード表示

ケース１

例題「４つの材料があり加工１とさらに加工２の工程を加えてみた。追加工程により特性の平均に差があるといえるか」
特徴：１　対象とする特性は１つ（一元配置）
　　　２　同じ標本を用いる（対応あり）
　　　３　加工１、加工２のどれが効果があったかではなく、全体として差が生じたかどうかを求めている。

入力
　　　　標本　　A 　B 　C 　D　　　　群
　　var x = [ [　3,　2,　2,　5],　　 // ０　加工０　加工前
　　　　　　　[　7,　4,　1,　4],　　 // １　加工１をした
　　　　　　　[ 11,　6,　6,　9 ] ];　// ２　さらに加工２を追加
　　var rtn = testFAnova1Rep(x);
出力
　rtn[i]
　　　　　　自由度　偏差平方和　　分散
　　標本間 　 [4] 3　　[5] 30　　[6] 10.00
　　群間 　　 [7] 2　　[8] 56　　[9] 28.00
　　標本＊群 [10] 6 　[11] 12　 [12] 2.00
　分散比 =[3] 14.00　　F_0.05 =[2] 5.143　F_0.01 =[1] 10.92　　p =[0] 0.01

ケース２

F検定　二元配置要因分散分析
　　testFAnova2FactTrace(表示場所, x);　コード表示
　　vae rtn = testFAnova2Fact(x);　コード表示

ケース１

例題「ある反応の反応度は、圧力（因子０）と温度（因子１）が大きく関係している。
　　　圧力は高・低の２水準、温度は高・中・低の３水準がある。
　　　この２×３のケースでの反応度を与えて分析することにより、因子・水準の影響を調べよ」

入力：
　　　　　　　　温度（因子１）
　　　　　　　 高 　中 　低
　　var x = [ [ 30,　18,　16 ],　　 // 圧力高　┬　因子０
　　　　　　　[ 25,　18,　15 ] ];　 // 圧力低　┘
　　var rtn = testFAnova2Fact(x);
結果：
　rtn = testFAnova2Fact(x)
　　変動要因　変動　　　　　　自由度　　　分散　　　　　分散比　　　　　 F0.05　　　　　F0.01　　　　有意水準
　　因子０　　rtn[0]=6.00　　 rtn[1]=1　 rtn[2]=6.00　 rtn[3]=1.71　　 rtn[4]=18.51　rtn[5]=98.5　rtn[6]=-1　差があるとはいえない
　　因子１　　rtn[7]=160.33　 rtn[8]=2　rtn[9]=80.17　rtn[10]=22.90　rtn[11]=19　　rtn[12]=99　br> rtn[13]=0.05　差がある
　　誤差　　　rtn[14]=7.00　　rtn[15]=2 rtbr>n[16]=3.50
　　全変動　　rtn[17]=173.33　rtn[18]=5
　結果「圧力による違いがあるとはいえないが、温度による違いは有意水準 0.05 であるといえる」

ケース２

F検定　二元配置反復測定分散分析
　　testFAnova2RepTrace(表示場所, x);　コード表示
　　var rtn = testFAnova2Rep(x);　コード表示

ケース１

例題「ある反応の反応度は、圧力（因子０）と温度（因子１）が大きく関係している。
　　　圧力は高・低の２水準、温度は高・中・低の３水準がある。
５つの異なる原料から標本をとり、それぞれの標本を６つの試料に分けて、
　　　この２×３のケースで実験を行った。因子・水準の影響を調べよ」

入力
： 　　（x は３次元配列　[因子０水準][因子１水準][標本]）
　　　　　　　　 標本→　　　　　　　　　因子１　因子０
　　var x = [ [ [18, 22, 20, 18, 22],　　　高温　┐
　　　　　　　　[18, 14, 18, 24, 16],　　　中温　├高圧
　　　　　　　　[14, 18, 16, 14, 18] ],　　低温　┘
　　　　　　　[ [21, 18, 17, 15, 19],　　　高温　┐
　　　　　　　　[17, 19, 16, 17, 21],　　　中温　├低圧
　　　　　　　　[15, 13, 14, 15, 18] ] ]　 低温　┘
　var rtn = testFAnova2Rep(x);
出力

　rtn = testFAnova2Rep(x)
　　変動要因　    変動　      自由度　     分散　       分散比　         F005　         F001　       有意水準
　　因子０    rtn[0] =  7.5  rtn[1] = 1  rtn[2] = 7.5  rtn[3] =1.304  rtn[4] =4.260  rtn[5] =7.823  rtn[6] = -1  
　　因子１    rtn[7] = 65.0  rtn[8] = 2  rtn[9] =32.5  rtn[10]=5.652  rtn[11]=3.403  rtn[12]=5.614  rtn[13]= 0.01
　　交互作用  rtn[14]=  5.0  rtn[15]= 2  rtn[16]= 2.5  rtn[17]=0.435  rtn[18]=3.403  rtn[19]=5.614  rtn[20]= -1 
　　誤差      rtn[21]=138.0  rtn[22]=24  rtn[23]= 5.5
　　全変動    rtn[24]=215.5  rtn[25]=29   　　　　　　　　　　　　　有意水準 -1 は「有意差があるとはいえない」を示す

ケース２