スタートページ＞ JavaScript＞ ライブラリ目次

幾何 JavaScript関数ライブラリ geo.js の利用解説書

ご利用にあたって

geoAtan2PI　Math.atan のθ範囲変更
　　θ = geoAtan2PI(x,y); 　コード表示

θ = Math.atan(y/x) でのθをＸ軸から反時計回りに０≦θ＜２πの範囲で求めます。
θ = atan2PI( 2, 1.732) = (1/3)π
θ = atan2PI(-2, 1.732) = (2/3)π
θ = atan2PI(-2,-1.732) = (4/3)π
θ = atan2PI( 2, 1.732) = (5/3)π

geoRotation　点の回転
　　rtn = geoRotation(xa, ya, t [, x0, y0]); 　コード表示

点Ａを、Ｏを中心に、Ｘ軸から逆時計回りに t（度）回転した点Ｂの座標を戻します。
　（x0,y0 を省略すると　0,0 になります。Ｏ点＝原点）
　　xb = rtn["xb"];　　yb = rtn["yb"];

回転公式
　　xb = (xa-x0)*cos(t) - (ya-y0)*sin(t) + x0;
　　yb = (xa-x0)*sin(t) + (ya-y0)*cos(t) + y0;

geoLineExtend　ベクトルの延長
　　rtn = geoLineExtend(1, xa, ya, p [, x0, y0]);
　　rtn = geoLineExtend(2, xa, ya, AB [, x0, y0]); 　コード表示

ベクトルＯＡを延長したＯＢのＢ点の座標を戻します。
　　Ｏ点＝原点 （x0,y0 = 0）のとき省略できます。
　ptn = 1：d＝ = p 　　　ＯＢ＝ＯＡ * p
　ptn = 2：d＝ = ＡＢ　　ＯＢ＝ＯＡ * ＡＢ

geoLineDivide　線分の内外分点
　　rtn = geoLineDivide(xa, ya, xb, yb, pa, pb); 　コード表示

点Ａからの距離：点Ｂからの距離＝pa:pb の内分点 (xi,yi) と外分点 (xe,ye) を求めます。

geoLinePoint　線と直線の位置（中点、垂点）
　　rtn = geoLinePoint(xa, ya, xb, yb, xc, yc); 　コード表示

線分ＡＢの中点Ｄ、点ＣのＤの点対称点をＥ、
線分ＡＢの点Ｃからの垂点Ｆ、点ＣのＤの点対称点をＧとします。
入力：Ａ、Ｂ、Ｃの座標
出力：Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの座標
　　　ＡＤ、ＡＦの長さ
　　　直線を px+qy+r = 0 としたときのＡＤ、ＡＦの p, q, r

geoLineCross　２線分の交差判定
　　rtn = geoLineCross(xa, ya, xb, yb, xc, yc, xd, yd); 　コード表示

直線ＡＢとＣＤの交点Ｐの座標、線分ＡＢとＣＤの交差判定（交わるか否か）をします。
　　交点Ｐの座標：rtn["xp"], rtn["yp"]
　　交差判定：rtn["cn"] = 1（交差する）/ 0（交差しない）
　　　① 1　② 0　③ 0

一般形：rtn = geoTriSA(type, ｐ1, p2, p3);　コード表示
　　rtn = geoTriSA(3, AB, BC, CA)　　// ３辺
　　rtn = geoTriSA(2, AB, CA, A)　　 // ２辺夾角
　　rtn = geoTriSA(1, BC, B, C)　　　// ２角夾辺

三角形の辺と内角の３つを与えて他の辺と内角と面積をを求めます。
　　　return [AB, BC, CA, A, B, C, S];
　　　　AB = rtn["AB"];　 A = rtn["A"];　 S = rtn["S"];
　（角度はラジアンではなく度です。）

三角形の頂点座標を与えて、辺長、内角、５心を得る
　　rtn = geoTriVertex(xa,ya, xb,yb, xc,yc); 　コード表示

[拡大図]
三角形の頂点座標 (xa,ya,　xb,yb,　xc,yc) を与えて、上図で示した諸元を戻します。
戻り値の形式は連想配列ですので、例えば「 var 面積 = rtn["S"] 」とします。

多角形の面積
　　s = geoPolyS(x0,y0, x1,y1, …); 　コード表示

自己交差を持たないｎ個の線分からなるｎ角形の頂点座標を与えて、面積 S を求めます。

正多角形
　　rtn = geoPolyRegA(n, a); 　コード表示

正ｎ角形の一辺の長さ a を与えて、諸元を求めます。

正多角形
　　rtn = geoPolyRegR(n, R); 　コード表示

正ｎ角形の外接円の半径 R を与えて、諸元を求めます。

円と球
　　rtn = geoCircleSphere(記号, 値); 　コード表示

以下の任意の１つの値を与えて、他の４つを求めます。
　　例：半径 = 2 を与える　→　rtn = geoCircleSphere("R", 2);

円と直線
　　rtn = geoCircleLine(x0, y0, r, a, b, c); 　コード表示

中心 (x0,y0)、半径 r の円と、直線 ax + by + c = 0 の距離 d と交点Ａ、Ｂの座標
交点の個数を求めます。
　（交わらないときは、xa,ya, xb,yb = 0 を戻します）

円と線分の交点
　　rtn = geoCircleLineSeg(x0, y0, r, xa, ya, xb, yb); 　コード表示

中心 (x0,y0)、半径 r の円と、２点Ａ，Ｂを通る線分との垂直距離 d と交点Ｃ、Ｄの座標、 および、交点の個数 cn を求めます。
　　①　Ｃ、Ｄあり　cn = 2
　　②　Ｃ、Ｄあり　cn = 1
　　③　Ｃ、Ｄあり　cn = 0
　　④　すべて０　　cn = 0

２円の交点
　　rtn = geoCircle2(xa, ya, ra, xb, yb, rb); 　コード表示

入力：中心(xa,ya), 半径 ra の円と、中心(xb,yb), 半径 rb の円
出力：AB　２円の中心の距離
　　　cn　交点の個数
　　　　　= 0　ra+rb < AB 　　　　　互いに外部にあり公差しない
　　　　　= 0　　　　　AB < |ra-rb|　一方の円の内部に他方の円。交点なし
　　　　　= 1　ra+rb = AB　　　　　　２円が接する
　　　　　= 2　それ以外　　　　　　　２円が重なる
　　（cn ≠ 0 のとき、次の値を出力）
　　　xc, yc,　xd, yd　交点Ｃ、Ｄの座標
　　　　（Ｃ．Ｄの位置は逆になることもあります）
　　　CD　線分ＣＤの長さ
　　　a, b, c　直線ＣＤの方程式 ax + by + c = 0
　　　ta, tb　円中心と交点の角度
　　　Sa, Sb　重なった部分の面積

楕円
　　rtn = geoEllips(x0, y0, rx, ry t); 　コード表示

入力：中心(x0,y0), 半径 rx, ry, Ｘ軸との傾き t(度) の楕円
　　　(x-x0)²/rx² + (y-y0)²/ry² = 1 を (x0,y0) を中心に t 度回転
出力：wxx, wxy, wyy　// 楕円の方程式
　　　　　　// wxx*(x-x0)² - 2wx(y-y0)(x-x0)*y + wyy*(y-y0)² = 1;
　　　xa1,ya1, xa2,ya2, xb1,yb1, xb2,yb2　　// Ａ、Ａ'、Ｂ、Ｂ' の座標
　　　xc1,yc1, xc2,yc2, xd1,yd1, xd2,yd2　　// Ｃ、Ｃ'、Ｄ、Ｄ' の座標
　　　xf1,yf1, xf2,yf2　　　　　　　　　　　// 焦点 Ｆ、Ｆ' の座標

計算の概要

• Ａ'～Ｄ' はＯの対称点なので、最後に計算すればよい。
• 赤の楕円を (x0,y0) を中心に -t 回転して、
  中心を (0,0) に平行移動した黒の楕円で考える。
  　　(x/rx)² + (y/ry)² = 1
• Ａ、ＢはＡo(rx,0)、Ｂo(0,ry) を角度 t 回転して得られる。
  　　xa1 =　rx*cos(t) + x0;　　ya1 = rx*sin(t) + y0;
  　　xb1 = -ry*sin(t) + x0;　　yb1 = ry*cos(t) + y0;
• Ｆ：楕円の焦点
  　　rx > ry のとき：　xf = ±√(rx² - ry²),　yf = 0
  　　rx < ry のとき：　yf = ±√(ry² - rx²),　xf = 0
  　ＦもＡ，Ｂと同様に回転させる。
• 赤楕円（原点を中心に角度 t 回転したとき）の式
  　　（参照：schoolmath'diary「回転した楕円の方程式」)
  　wxx*x*x - 2*wxy*x*y + wyy*y*y = 1　…　①
  　　　wxx = (cos(t)/rx)² + (sin(t)/ry)²
  　　　wxy = cos(t)sin(t)(1/ry² - 1/rx²)
  　　　wyy = (sin(t)/rx)² + (cos(t)/ry)²
• Ｃ点　→　接線がＹ軸に平行　→　df/dy = 0
  　　2*wxx*x - 2*wxy = 0　　∴ y = (wxy/wyy) * x
  　①に代入して
  　　x² = xyy/ w;　　（w = ayy*axx - wxy*wxy）
  　　→　x = ± √(|wyy/w|),　y = (wxy/wyy) * x
  　Ｃ ：xc1 = x + x0, 　yc1 = y + y0;
• Ｄ点　→　接線がＸ軸に平行　→　df/dx = 0
  　　→　y = ± √(|wxx/w|),　x = (wxy/wxx) * x
  　Ｄ ：xd1 = x + x0, 　yd1 = y + y0;

２次関数の標準二次形式化
　　geoQuadStdTrace(表示場所, axx, ayy, axy, ax, ay, a1)　コード表示
　　var [x0, y0, c, λ0, λ1, Axx, Axy, Ayx, Ayy]
　　　　= geoQuadStdTrace(axx, ayy, axy, ax, ay, a1)　コード表示

一般的な二次曲線
　　F(x,y) = a_xxx² + a_yyy² + a_xyxy + a_xx + a_yx + a₁ = 0
を、中心を原点をするように平行移動した二次形式
　　F(x,y) = a_xx(x-x₀)² + a_yy(y-y₀)² + a_xy(x-x₀)(y-y₀) + c = 0
にします。

さらに、X = Axx(x-x0) + Axy(y-y0),　Y = Ayx(x-x0) + Ayy(y-y0) として曲線の傾きを回転して軸に対称にした標準二次形式
　　H(X,Y) = λ₀X² + λ₁Y² + c
に変換します。

曲線が楕円または双曲線のときだけを対象にします。入力データにより、放物線や直線、あるいは虚楕円、虚双曲線になることがありますが、対象にせず途中で打ち切ります。

入力データのチェック

曲線が楕円または双曲線のときだけを対象にします。かなり大雑把ですが、事前に次のチェックをします。
例えば axx = 0 のときは、楕円または双曲線にならないので、エラーとして次のステップには進みません。
　Trase のときは理由を表示して停止します。
　Return のときは、return [99999, 0,0,0,0,0,0,0,0] とします。

二次形式への変換

二次形式とは、１次の項をもたない２次関数のことです。二次曲線を原点が中心になるよう平行移動することに相当します。
一般の２次関数
　　F(x,y) = a_xxx² + a_yyy² + a_xyxy + a_xx + a_yx + a₁ = 0
を、x = x_g - x₀, y = y_g - y₀　　（x_g = x + x₀,　y_g = y + x₀）　とすると、次のように変形します。
　F(xg,yg) = a_xxxg² + a_yyy_g² + a_xyxgyg + a_xxg + a_y(yg+y₀) + ｃ
　　　　= a_xx(x-x₀²) + a_yy(y-y₀² + a_xyxy
　　　　+ (2a_xxx₀ + a_xyy₀ + a_x)xg
　　　　+ (2a_yyy₀ + a_xyx₀ + a_y)yg
　　　　+ a_xxx₀² + a_yyy₀² + a_xyx₀y₀ + a_xx₀ + a_yy₀ + a₁　　（この項を c とする）
　　　　= 0
１次の項をなくすには、x₀, y₀ を次の連立方程式から求めます。
　　xの項　2a_xxx₀ + a_xyy₀ + a_x = 0
　　yの項　2a_yyy₀ + a_xyx₀ + a_y = 0
ここでの戻り値：、x0,、y0、c
入力データがすでに二次形式になっている（a_x = a_y = 0）ときは、この処理は不要で、
　　x₀ = 0、y₀ = 0、c = a₁ になります。

標準二次形式への変換

標準二次形式とは、xyの項をもたない二次形式です。
　　H(X,Y) = λ₀X² + λ₁Y² + c
　　　　X = A_xxx + A_xyy
　　　　Y = A_yxx + A_yyy
二次形式の曲線を直角座標系に描くと傾いています。これを回転しで座標系に平行にすることに相当します。
ここでの戻り値：λ0. λ1,　Axx, Axy, Ayx, Ayy

●対称行列
　　［x-x₀.y-y₀]　⎾a_xx　　a_xy/2⏋　⎾x-x₀⏋
　　　　　　　　　⎿a_xy/2　a_yy　⏌　⎿y-y₀⏌
　　= a_xx (x-x₀)² + a_yy(y-y₀)² + (a_xy/2) (x-x₀)(y-y₀)
　の関係があります。この
　　⎾a_xx　　a_xy/2⏋
　　⎿a_xy/2　a_yy　⏌
　を　対称行列 Ａといいます。

　a_xxa_yy - (a_xy/2)² = 0　のときは、曲線が楕円、双曲線にならない（放物線、直線）ので、ここでは対象にしません。

●固有値λ
　標準二次形式は　H(X,Y) = λ₀ X² + λ₁ Y² + c　になります。
　説明を省略しますが、この係数λはＡの固有値になります。
　　　Ａ-λＥ = │a_xx - λ　　a_yy/2│　= 0
　　　　　　　 │a_xy/2　　a_yy - λ│
　　　(a_xx- λ)(a_yy - λ) - (a_xy/2)² = 0
　　　→ λ² - (a_xx + a_yy) λ + (a_xxa_yy - (a_xy/2)²) = 0
　λに関する２次方程式なので、２つの解　λ = λ₀、λ₁　があります。
　（楕円のときは、２つの解は正の実数解。双曲線のときは正と負の実数解になります。）
　それにより、２つの標準二次形式が生成されます。
　　　λ₀X² + λ₁Y² + c = 0
　　　λ₁X² + λ₀Y² + c = 0
　これは、標準化するのに、右回りにするか左回りにするかに対応しており、本質的なものではありません。
　（ここでは、楕円のときは小さいほう、双曲線ではｃと異符号のほうを λ₀ としています。）

●(x,y)→(X,Y) 変換
　 固有値がλのとき、固有ベクトルは、
　　a_xx-λ, - a_xy/2
　で、その単位長は
　　α = 1/√( (a_xx-λ)(a_yy-λ) + a_xy²/4 )
　になので、次の変換式が成立します。
　　X = α(a_xx-λ)(x-x₀) + (a_xy/2)(y-y₀))
　　Y = α((a_xy/2)(x-x₀) + (a_yy-λ)(y-y₀))
　ここで、
　　A_xx = α(a_xx-λ),　A_xy = α(a_xy/2)
　　A_yx = α(a_xy/2),　A_yy = α(a_yy/2)-λ
　とすれば、次の変換式になります。
　　X = A_xx(x-x₀) + A_xy(y-y₀)
　　Y = A_yx(x-x₀) + A_yy(y-y₀)

関連情報

Trace のときは、単に解への経過を示すだけでなく、二次形式に関連する事項の諸値も表示します。

●ＸＹ軸
（二次曲線の傾きに対応した (X,Y) 座標系の軸)
　　X = Axx(x-x₀) + Axy(y-y₀)
　　Y = Axy(x-x₀) + Ayy(y-y₀)
　において
　　X = 0 とすれば、Ｙ軸：Axx(x-x₀) + Axy(y-y₀) = 0
　　y = 0 とすれば、Ｘ軸：Ayx(x-x₀) + Axx(y-y₀) = 0
　になります。
　両軸は直交しており、二次曲線は両軸に対して対称になります。
　これらの直線式をＦに代入すれば、二次曲線の端点（長半径の位置など）が求められます。

●正規化
　標準二次形式
　　λ₀ X ² + λ₁ Y ² + c = 0
　を、次のように正規化します。
　　±(X/P_x)² ± (Y/P_y)² = 1
　　　（P_x) = √(±c/λ₀)、　P_y) = √±(±c/λ₁)　　±は（　）が正になるよう調整）
　λが同符号（楕円）で C＞0 のとき
　　実数のX,Y が存在しない。虚楕円になります。
　λが同符号（楕円）で C＜0 のとき
　　(X/P_x)² ＋ (Y/P_y)² = 1　になります。
　　　Y = 0 とすると X = ±P_x　Ｘ軸での端点（短・長径）
　　　X = 0 とすると Y = ±P_x　Ｙ軸での端点
　λが異符号（楕円）で C＜0 のとき
　　(X/P_x)² ー (Y/P_y)² = 1　になります。
　　　Y = 0 とすると X = ±P_x　Ｘ軸での端点（グラフの存在範囲
　λが異符号（楕円）で C＞0 のとき
　　－(X/P_x)² ＋ (Y/P_y)² = 1　になります。
　　　X = 0 とすると Y = ±P_y　Ｙ軸での端点（グラフの存在範囲
　これらの端点に(X,Y)→(x,y)の変換を行えば、F(x,y) での端点になります。

●F(x,y)の偏微分と曲線の存在範囲
　F(x-x₀, y-y₀) = a_xx(x-x₀)² + a_yy(y-y₀)² + a_xy(x-x₀)(y-y₀) + c = 0
　偏微分
　　∂F/∂x = 2a_xx(x-x₀) + a_xy(y-y₀)
　　∂F/∂y = 2a_yy(y-y₀) + a_xy(x-x₀)
　曲線の存在範囲
　　∂F/∂x = 0 のとき
　　　2a_xx(x-x₀) + a_xy(y-y₀) = 0
　　はＸ軸に平行になります。
　　　a_xy(y-y₀) = -2a_xx(x-x₀)
　　をFに代入すれば、
　　　a_xx(1 + 4a_xxa_yy - 2a_xy)(x-x₀)² + c = 0
　　　→ x-x₀ = ±√{-c/a_xx(1 + 4a_xxa_yy - 2a_xy) }
　　の２つになります。これがＦの最大小値を与えるxの値です。
　　これに、a_xy(y-y₀) = -2a_xx(x-x₀)　による y がＦの最大小値になります。
　　（　{　} ＜ 0 になるときは、実根が存在せず、範囲は無限大になります。）
　　同様に、∂F/∂y = 0　から、Ｆの最右左点が求められます。

ケース１

ケース２