光学　二面鏡の鏡像（１点の鏡像）

右図のように、原点Ｏから開角度θの二面鏡があり、上側の鏡を鏡Ａ、下側を鏡Ｂとします。それで囲まれた右の黄色の領域を「鏡内」といいます。
鏡内の原点から距離Ｒ、Ｘ軸との角度ψの位置に実像があります。このとき、鏡Ａ、Ｂの向こう側に鏡像が見えますが、θを変化させると、いくつの鏡像がどの位置に出現するだろうか　という問題です。
鏡Ａ・Ｂを延長した左側の細線を「仮想鏡Ａ」「仮想鏡Ｂ」とし、その内部（灰色の領域）を「鏡裏」とし、「鏡内」「鏡裏」以外の領域を「鏡外」ということにします。
（鏡像の左右逆などについては、二面鏡（２点の鏡像）を参照してください。）

まず、鏡Ａ側を見たとき（これを「最初鏡＝鏡Ａ」といいます）に鏡像Ｂが見えます。鏡像Ｂの位置は。実像の鏡Ａの対称点であり、半径Ｒの円周上にあることは明らかでしょう。
それを鏡内の点Ｅ（λ,ｒ）に目があり、鏡Ａを見たとき、紫線Ａ→Ｃ→Ｅ（反射１回）で実像を見ていることになり、Ｅ→Ｃの延長上に鏡像Ｂが見えることになります。
また、図から鏡像ＢのＸ軸との角度は θ-ψ となり、極座標表現は、(Ｒ, θ-ψ) になります。このことからも、鏡像の位置は目の位置には関係しないことがわかります。

目から鏡Ｂを見ると、鏡像②が見えます。これは紫実線により２回反射して実像を見ているからで、紫点線の方向に鏡像②を見ているのです。
鏡像①は実像の鏡Ｂの対称点でした。鏡像②は、鏡像①の鏡Ｂの対称点です。ここでは、鏡Ａによる対称点を得る操作を「操作Ａ」といい、「操作方向＝操作Ａ」ということにします。鏡Ｂでは「操作方向＝操作Ａ」です。
操作Ａ→操作Ｂ→操作Ａ→操作Ｂ→ というように操作を繰り返すことにより、新しい鏡像の位置を求めることができます。

操作を繰り返すうちに、新鏡像位置が鏡裏の領域（灰色）に入ります。図では鏡像②が操作Ｂを行うことで、鏡像③が鏡裏になりました。
鏡裏の鏡像は、見える目の位置が制限されます。「見える」の領域では、紫実線（３回反射）で実像が見えるので。紫点線の方向に鏡像③が見えます。しかし、「見えない」領域から鏡像③を見ようとしても、ここでは「鏡Ａ」を見ることを前提にしているので見ることができません。
鏡裏ぶある鏡像は、操作をしようとすると、（実際には存在しない）仮想鏡での対称点になります。それは不可能なので、「最初鏡＝Ａ」はこので打ち切られます。すなわち、鏡Ａでは３個の鏡像が見えることもなります。

鏡Ｂを見たとき（「最初鏡＝鏡Ｂ」のとき）も全く同様な操作を繰り返すことにより、青い鏡像が２個見られます。
すなわち、全体では、鏡像は５個になります。

鏡角と鏡像個数の間には、鏡像個数 = ３６０/鏡角 - １ の関係があります。
（割り切れないときは、実像角度により、若干の差が生じることもあります。）
    130  120  100   90   80   70   60   55   50   45   43   40   35   30   27
      2    2    3    3    4    5    5    6    7    7    7    8    9   11   13