ゲームの理論の概要

ゲームの理論とは、ジャンケンやカケなど、相手と利害関係が異なるときに、どのような手（戦略）をとればよいかを検討する技法です。

鞍点がある場合－純粋戦略

右のペイオフ・マトリクスのケースを考えます。たまたまＡがＡ３を選択すると，ＢはＡ３の行のうちの最小の１にさせようとしてＢ２を選択します。するとＡはＢ２の列での最大の１を得るためにＡ３を選択します。結局はＡはＡ３，ＢはＢ２を選択することで落ち着きます。（Ａ３，Ｂ２）の値１は，ＡとＢが適切な行動をしたとき，Ａが少なくとも確保できる利益であるともいえます。その値のゲームの解といいます。

「少なくとも確保できる利益」とは，ミニマックス原理の概念でもあります。Ａがミニマックス原理で行動すれば，各行の最小値のうち最大のものを選ぶので３を選択します。Ｂもミニマックス原理で行動すれば，ペイオフ・マトリックスの値の符号が逆転するのですから，各列の最大値のうち最小のものを選ぶのでＢ２を選択します。

（Ａ３，Ｂ２）のような点を鞍点（あんてん）といいます。鞍点は「その行の最小値であり，かつ，列の最大値である点」です。そのような点があるとき，「鞍点を持つ」といいます（鞍点という名称は馬具の鞍の形が横からみれば凹型の曲線，前から見れば凸型の曲線ですが，凹型曲線の最小値であり凸型曲線の最大値である点があることからつけられたものです）。また，鞍点が存在するときには，両者が唯一の戦略を選択しますが，それを純粋戦略といいます。

以上のことを整理すると，「行の最小値であり，かつ，列の最大値である点が存在するとき，その点を鞍点という。両者はその鞍点を持つ戦略を選択するが，それを純粋戦略という。ゲームの値は鞍点の値になる。」といえます。

鞍点がない場合－混合戦略

右のペイオフ・マトリクスでは鞍点がありませんので，純粋戦略にはなりません。
　ＡがＡ１を選択する確率をｐ，ＢがＢ１を選択する確率をｑとすると，
　　　（Ａ１，Ｂ１）での期待値：　　１ｐｑ
　　　（Ａ１，Ｂ２）での期待値：　－３ｐ(１－ｑ)
　　　（Ａ１，Ｂ１）での期待値：　－２(１－ｐ)ｑ
　　　（Ａ１，Ｂ１）での期待値：　　４(１－ｐ)(１－ｑ)
ですから，全体でのゲームの値Ｖは，
　　　Ｖ＝１ｐｑ－３ｐ(１－ｑ)－２(１－ｐ)ｑ＋４(１－ｐ)(１－ｑ)
　　　　＝１０ｐｑ－７ｐ－６ｑ＋４
　　　　＝１０(ｐ－０.６)(ｑ－０.７)－０.２
となります。

ここで，もしＡがｐ＝０.８（＞０.６）の戦略をとれば，ＢはＶを小さくしたいのですからｑ＝０とするでしょう。またＡがｐ＝０.４（＜０.６）の戦略をとればＢはｑ＝１とするでしょう。そのようなことをさせないために，Ａがｐ＝０.６とすれば，Ｂがｑをどのような値にしても，－０.２の値を確保することができます。
　逆にＢとしては，ｑ－０.７＞０とすればＡはｐ＝１，ｑ－０.７＜０とすればＡはｐ＝０にするので，Ｖは－０.２よりも大になってしまいます。それを防ぐためには，ｑ＝０.６とすればよいことになります。

結論として，ＡはＡ１を０.６，Ａ２を０.４の確率で選択し，ＢはＢ１を０.７，Ｂ２を０.３の確率で選択することにより，ゲームの値を－０.２にすることができます。このように，戦略が確率になる場合を混合戦略といいます。

２人零和ゲームは線形計画法（ＬＰ：リニア・プログラミング）により解くことができますが，ここでは説明を省略します。

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