複数案と追加利回り法

追加投資とは

料理での松・竹・梅とか自動車でのスタンダード，プレミアム，デラックスのように，同じ製品でも価格や品質に違いがあるとき，どれかを採用するのですが，そのうちのどれを採用すればよいかという問題があります。次の問題を例にします。

ある設備を購入する必要があるのですが，次のＡ，Ｂ，Ｃの候補があります。どれを選択するべきでしょうか。どの設備も使用年数は５年であり，５年後の残存価値は０円とします。

　　　　　　　取得価額　　毎年利益
　　　　　　　　　万円　　万円／年
　　　Ａ　　　　５００　　　２００
　　　Ｂ　　　　７５０　　　２８０
　　　Ｃ　　　１０００　　　３４０

現在価値法による評価

年利が与えられていれば現在価値法が利用できます。年利を１０％とするならば，５年間の年利１０％の年金現価係数［Ｍ→Ｐ］は３.７９１ですから，Ａ案のＤＣＦは，－５００＋３.７９１×２００＝２５８万円になります。同様にＢ案は３１２万円，Ｃ案は２８９万円になりますからＢ案を採用することになります。

次に差額でのチェックをしてみましょう。［Ｂ－Ａ］の評価では，－２５０＋３.７９１×８０＝５３＞０ですから，Ｂ案はＡ案より有利ですし，［Ｃ－Ｂ］は－２５０＋３.７９１×６０＝－２３＜０なので，Ｃ案はＢ案とくらべて不利になります。結局，Ｂ案が最適になります。

下表は年利を５％，１０％，２０％としたときの結果です。年利により最適な案が異なることに注意してください。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－－現在価値－－－－－
　　　　　　　取得価額　毎年利益　　年利５％　年利１０％　年利２０％
　　　　　　　　　万円　万円／年　　４.３２９　３.７９１　２.９９１　←［Ｍ→Ｐ］
　単純投資
　　　Ａ　　　　５００　　２００　　　３６６　　２５８　　★９８
　　　Ｂ　　　　７５０　　２８０　　　４６２　★３１２　　　８７　　　★が最適
　　　Ｃ　　　１０００　　３４０　　★４７２　　２８９　　　１７
　追加投資
　　Ｂ－Ａ　　　２５０　　　７０　　　　５３　　　１５　　－４１　　　プラスなら追加する
　　Ｃ－Ｂ　　　２５０　　　６０　　　　１０　　－２３　　－７１　　　マイナスなら追加しない

単純投資と追加投資

年利が１０％のときを考えます。仮に取得価額がこれよりも４００万円づつ高かったとすると，各投資の現在価値は，Ａ案＝－１４２万円，Ｂ案＝－８８万円，Ｃ案＝－１１１万円になってしまいます。すべてマイナスだからどれも採用しないというのでは題意に反しますし，そのうちマイナスの度合いが少ないＢ案にするというのも，不自然さが残ります。このとき追加投資という考え方を取り入れれば，上表の追加投資と一致するので，論理がはっきりします。

追加利回り法による評価

Ａ，Ｂ，Ｃがそれぞれ独立の投資案であるならば，ＲＯＩ（内部収益率）が大きいほうが有利になります。Ａ案のＲＯＩは，年数ｎ＝５，現価Ｐ＝５００，年価Ｍ＝２００として計算プログラムを用いれば年利ｉ＝２８％となります。同様に，Ｂ案のＲＯＩは２６％，Ｃ案のＲＯＩは２０％になりますので，Ａ案を選択することになります。

　　　　　　　取得価額　　毎年利益　　ＲＯＩ
　　　　　　　　　万円　　万円／年　　　　％
　　　Ａ　　　　５００　　　２００　　　２８　←最大
　　　Ｂ　　　　７５０　　　２８０　　　２６
　　　Ｃ　　　１０００　　　３４０　　　２０

ところが，この場合は「いずれか１つを採用しなければならない」のですから，少なくともＡ案を採用すると仮定して，それに７５０－５００＝２５０万円を追加投資したら毎年２８０－２００＝８０万円／年の追加利益があり，それが有利ならばＢ案を採用することになります。ｎ＝５，Ｐ＝２５０，Ｍ＝８０ですから，その追加投資のＲＯＩは１８％です。さらにＢ案からＣ案への追加投資のＲＯＩは７％になります。すなわち，年利が７％以下ならばＣ案が最適になり，１８％以下ならばＢ案，それ以上ならばＡ案が最適になります。このように，追加分についてＲＯＩを計算して評価する方法を追加利回り法といいます。

　　　　　　　取得価額　　毎年利益　　ＲＯＩ
　　　　　　　　　万円　　万円／年　　　　％
　　Ｂ－Ａ　　　２５０　　　　８０　　　１８
　　Ｃ－Ｂ　　　２５０　　　　６０　　　　７

追加利回り法の注意点と応用

無資格案の削除

Ａ案とＢ案の間に，取得価額６００万円，毎年利益２２０万円／年のＤ案が提案されました。そのときの評価を追加利回り法で考えましょう。

追加利回りの表を作ると次のようになります。それでＢ－Ｄが大きいのでＢ案が最適だとしたいのですが，Ｂ案にするにはＤ案が前提になるのでは困ります。

　　　　　　　取得価額　　毎年利益　　ＲＯＩ
　　　　　　　　　万円　　万円／年　　　　％
　　Ｄ－Ａ　　　１００　　　　２０　　　　０
　　Ｂ－Ｄ　　　１５０　　　　６０　　　２９
　　Ｃ－Ｂ　　　２５０　　　　６０　　　　７

図を描いてみると，Ａ－Ｂ－Ｃでは上に凸になっているのですが，Ｄがあるためにそこだけが凹になっています。このＤのような案は無資格案として削除する必要があります。それを上の表でいえば，追加順にＲＯＩを計算したときに大→小の順にならでいれば全体が凸になり，途中に順が違う案があれば，その案を削除することと一致します。

資金金利と最適案

資金調達が困難な場合を考えます。投資資金が６００万円までは金利５％で調達できますが，それ以上を調達するには１０％の金利がかかるとしたら，Ａ，Ｂ，Ｃのどれが最適になるでしょうか？

このような問題を解くには，下のような横軸を資金，縦軸を金利とするグラフを描くのが便利です。追加投資のＲＯＩは右下がり，資金調達の金利は右上がりになります。この図から［Ｂ－Ａ］はＲＯＩ＞調達金利なので有利ですが，［Ｃ－Ａ］ではＲＯＩ＜調達金利になるので不利になります。すなわち，Ｂ案が最適案になります。