スタートページ＞ Ｗｅｂ教材一覧＞ オペレーションズリサーチ＞ 設備投資の採算計算
設備は年数がたつにつれて保守維持に要する費用が増大しますから，長期間にわたって使用すると毎年の費用が増大します。また頻繁に更新したのでは取得費用がかかります。費用全体を最小にする最適取替期間を求める方法を考えます。
劣化取替，維持費用，最適取替期間，年価
設備や機械は，長年利用すると保守費用が増大しますので，適当な時期に新品に更新することが必要になります。長期間使い続けると保守費の増大により全体の費用が大きくなりますし，短期間で取り替えれば取得価額による費用が増大します。すなわち，最適取替期間があるはずです。このような問題を劣化取替の問題といいます。
ここで「最適」とは，使用期間中の全費用を使用年数で割った１年あたりの費用が最小になる期間であると考えればよいでしょう。すなわち年価Ｍを最小にする年数ｎを求めることになります。
取得価額は５００万円で毎年の保守費用は，１年目を１００万円とし，その後１５０万円，２００万円というように直線的に増加する設備があります。いつ廃棄しても残存価額は０円であるとします。基本事項を理解するために，年利＝０％としましょう。
１年ごとに取り替えるのであれば，その全費用は５００＋１００＝６００万円で期間が１年ですので毎年の平均費用は６００／１＝６００万円になります。２年ごとに取り替えるのであれば，２年間の総費用は５００＋１００＋１５０＝７５０万円ですから，２年間の毎年の費用は７５０／２＝３７５万円／年になります。９年後は保守費用が取得費用になりますので，８年までについて同様にすれば下表のようになります。これより最時取替期間は最も年平均費用の小さい４年あるいは５年であることがわかります。
年 各年費用 費用累計 年平均費用
０ ５００ ５００
１ １００ ６００ ６００
２ １５０ ７５０ ３７５
３ ２００ ９５０ ２５０
４ ２５０ １２００ ３００ ←最小
５ ３００ １５００ ３００ ←最小
６ ３５０ １８５０ ３０８
７ ４００ ２２５０ ３２１
８ ４５０ ２７００ ３３８
次に，残存価値が毎年変化するケースを考えましょう。１年後に２００万円で，毎年４０万円づつ減少し，０円になった後はそのままである（解体費はかからないか取得価額に含まれる）とします。そのときは次表のようになりますから，３年ごとに更新するのが最適です。
年 各年費用 費用累計 残存価値 差引全費用 年平均費用
０ ５００ ５００
１ １００ ６００ ２００ ４００ ４００
２ １５０ ７５０ １６０ ５９０ ２９５
３ ２００ ９５０ １２０ ８３０ ２７７ ←最小
４ ２５０ １２００ ８０ １１２０ ２８０
５ ３００ １５００ ４０ １４６０ ２９２
６ ３５０ １８５０ ０ １８５０ ３０８
７ ４００ ２２５０ ０ ２２５０ ３２１
８ ４５０ ２７００ ０ ２７００ ３３８
年利が１０％のときは，保守費用や残存価値を現価に換算すること，毎年の平均費用を計算するときに，年数で割るのではなく現価を年価に換算することになります。
２年ごとに取り替えるとすれば，次のようになります。
０年後費用 １.０００×５００＝５００.０
１年後費用 ０.９０９×１００＝ ９０.９
２年後費用 ０.８２６×１５０＝１２３.５
----------------------------------------
費用累計＝７１４.４
残存価値 ０.８２６×１６０＝１３２.２
----------------------------------------
現価＝５８２.２
→ 年価＝０.５７６×５８２.２＝３３５.３万円／年
となります。同様に計算すると下表が得られ，最適取替期間は４年になります。
年 各年費用 現価換算 費用累計 残存価値 現価換算 差引全費用 年平均費用
０ ５００ ５００ ５００
１ １００ ９１ ５９１ ２００ １８２ ４０９ ４３２
２ １５０ １２４ ７１５ １６０ １３２ ５８２ ３３５
３ ２００ １５０ ８６５ １２０ ９０ ７７５ ３１２
４ ２５０ １７１ １０３６ ８０ ５５ ９８１ ３０９ ←最小
５ ３００ １８６ １２２２ ４０ ２５ １１９７ ３１６
６ ３５０ １９７ １４１９ ０ ０ １４１９ ３２６
７ ４００ ２０５ １６２４ ０ ０ １６２４ ３３４
８ ４５０ ２１０ １８３４ ０ ０ １８３４ ３４４
ここでは，説明の都合で８年間のすべてにわたって計算しましたが，一般的には，各年費用が単調に増加し残存価値が単調に減少するときには，年平均費用は次第に減少しある時点から増加するようになります。ですから上の例でいえば５年目までを計算すれば，最適解が４年であると決定できます。
年 各年費用 残存価値 名目損失 現価換算 費用累計
０ ５００ ５００ ５００ ５００
１ １００ ２００ －１００ －９０ ４１０
２ １５０ １６０ －１０ －８ ４０２
３ ２００ １２０ ８０ ６０ ４６２
４ ２５０ ８０ １７０ １１６ ５７８
５ ３００ ４０ ２６０ １６１ ７３９
６ ３５０ ０ ３５０ １９７ ９３６
７ ４００ ０ ４００ ２０５ １１４１
８ ４５０ ０ ４５０ ２１０ １３５１
２年目の費用累計を例にしましょう。簡単にするために年利は無視します。
正解では次のようになるはずです。
正＝０年目の費用＋１年目の費用＋２年目の費用－２年目の残存価値
ところがＡさんの計算では，
Ａ＝０年目の費用＋（１年目の費用－１年目の残存価値）＋（２年目の費用－２年目の残存価値）
＝正－１年目の残存価値
になっています。すなわちＡさんは，それまでの残存価値を累計しているのです！
年 各年費用 費用累計 残存価値 差引全費用 ［Ｐ→Ｍ］ 年平均費用 ［Ｓ→Ｐ］ 年平均費用
０ ５００ ５００ （Ｂさん） （Ｃさん）
１ １００ ６００ ２００ ４００ １.１００ ４４０ ０.９０９ ４００
２ １５０ ７５０ １６０ ５９０ ０.５７６ ３４０ ０.８２６ ２８１
３ ２００ ９５０ １２０ ８３０ ０.４０２ ３３４ ０.７５１ ２５１
４ ２５０ １２００ ８０ １１２０ ０.３１５ ３５３ ０.６８３ ２４１
５ ３００ １５００ ４０ １４６０ ０.２６４ ３８５ ０.６２１ ２３９
６ ３５０ １８５０ ０ １８５０ ０.２３０ ４２６ ０.５６４ ２４０
７ ４００ ２２５０ ０ ２２５０ ０.２０５ ４６１ ０.５１３ ２３６
８ ４５０ ２７００ ０ ２７００ ０.１８７ ５０５ ０.４６７ ２３５
２年目の差引全費用（５９０）を考えます。
Ｂさん 正しい０年目の価値
０年目費用の名目費用 ０年目費用の名目費用
＋１年目費用の名目費用 ＋１年目費用の現価
－１年目残存価値の名目費用 －１年目残存価値の現価
＋２年目費用の名目費用 ＋２年目費用の現価
－２年目残存価値の名目費用 －２年目残存価値の現価
ですから，Ｂさんの５９０は，現価でもなければ終価でもありません。Ｃさんの指摘も誤りです。