設備投資の緊急度

緊急度の考え方

パソコンの価格は毎年低下しています。現時点で購入すると，来年にはもっと安価に入手できるのではないかとちゅうちょします。しかし，そうしているといつになっても購入することができず，それを活用した利益を得ることができません。現時点で購入するのと，来年まで待つのとどちらが採算計算的に有利かを考えます。このような問題を投資の緊急度の問題といいます。

パソコン利用による効果を毎年１０万円／年であるとし，現時点でのパソコンの価格は２０万円ですが，来年には２０×０.９＝１８万円，再来年には１８×０.９＝１６.２万円というように毎年１０％の割合で安くなると予想されているものとします。また，パソコンは３年で更新するものとし，残存価値や処分費用は無視することにします。年利は１０％とします。

１年間のパソコン価格の差である２万円と１０万円を比較したのでは，他の条件が無視されてしまいます。また，「現時点で購入すれば，購入による年平均費用は２０×０.４０２１＝８万円／年であり，それで１０万円の利益が得られるのだから購入するのがよい」としたのでは，価格低下の条件が無視されてしまいます。

現時点で購入する案をＡ案とし，来年まで待つ案をＢ案として，数年間の比較をしてみましょう。両案とも来年からのパソコン利用による利益は同じですので相殺して利益＝０とします。ほとんどの数値をプラス表示するために費用支出側をプラスで表示します。

　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－－Ａ　案－－－－　　　－－－－－Ｂ　案－－－－－　　Ａ－Ｂ
　　　年　　価格　　現価係数　　名目費用　　現価　　累計　　　名目費用　　現価　　累計
　　　０　２０.０　１.　　　　　２０.　　　２０.　２０.　　　　　０.　　　０.　　　０.　　　２０.
　　　１　１８.０　０.９０９　－１０.　　－９.１　１０.９　　　１８.０　１６.４　１６.４　　－５.５
　　　２　１６.２　０.８２６　　　０.　　　０.　　１０.９　　　　０.　　　０.　　１６.４　　－５.５
　　　３　１４.６　０.７５１　　１４.６　１０.４　２１.３　　　　０.　　　０.　　１６.４　　　４.９
　　　４　１３.１　０.６８３　　　０.　　　０.　　２１.３　　　１３.１　　８.９　２５.３　　－４.０
　　　５　１１.８　０.６２０　　　０.　　　０.　　２１.３　　　　０.　　　０.　　２５.３　　－４.０
　　　６　１０.６　０.５６４　　１０.６　　６.０　２７.３　　　　０.　　　０.　　２５.３　　　２.０
　　　７　　９.５　０.５１３　　　０.　　　０.　　２７.３　　　　９.５　　４.９　３０.２　　－２.９
　　　８　　８.５　０.４６６　　　０.　　　０.　　２７.３　　　　０.　　　０.　　３０.２　　－２.９
　　　９　　７.７　０.４２４　　　７.７　　３.３　３０.６　　　　０.　　　０.　　３０.２　　　０.６
　　１０　　７.０　０.３８６　　　０.　　　０.　　３０.６　　　　７.０　　２.７　３２.９　　－２.３

定式化

これでは［Ａ－Ｂ］が交互に出てきますので，どちらが有利かは何ともいえません。１００年位までやればわかるかも知れませんが，それではあまりにも能がありません。それで数式を使って考えましょう。このように問題を数学の問題に置き換えることを定式化といいます。

ｔ年後のパソコン価格はＣｒ^ｔ で表せます（Ｃ＝２０万円，ｒ＝０.９）から，その現価は
　　　Ｃｒ^ｔ／(１＋ｉ)^ｔ＝Ｃ×｛ｒ／(１＋ｉ)｝^ｔ
となります。ここで ｑ＝ｒ／(１＋ｉ) とすれば，Ｃ×ｑ^ｔ と表せます。

ｎ年ごとに更新するのであれば，Ａ案の現在価値累計Ｐａは，
　　　Ｐａ＝－Ｒ／(１＋ｉ） ＋Ｃ×｛１＋ｑ^ｎ＋ｑ^２ｎ＋ｑ^３ｎ＋・・・｝
となりますが，この｛　　｝のなかは，１／(１－ｑ^ｎ）ですので，
　　　Ｐａ＝－Ｒ／(１＋ｉ）＋Ｃ／(１－ｑ^ｎ）
と表せます。

Ｂ案の現在価値累計をＰｂとすると（Ｂ案では利益に相当するものはないので），
　　　Ｐｂ＝Ｃ×（ｑ＋ｑ^ｎ＋１＋ｑ^２ｎ＋１＋ｑ^３ｎ＋１＋・・・）
　　　　　＝Ｃｑ×（１＋ｑ^ｎ＋ｑ^２ｎ＋ｑ^３ｎ＋・・・）
　　　　　＝Ｃｑ／(１－ｑ^ｎ）
となります。

Ａ案とＢ案の差をＰ（＝Ｐａ－Ｐｂ）とすれば，
　　　Ｐ＝－Ｒ／(１＋ｉ）＋Ｃ／(１－ｑ^ｎ） － Ｃｑ／(１－ｑ^ｎ）
　　　　＝－Ｒ／(１＋ｉ）＋Ｃ（１－ｑ）／(１－ｑ^ｎ）
となります。

ここで，ｎ＝３，ｉ＝０.１，Ｒ＝１０万円，Ｃ＝２０万円，ｒ＝０.９ですから，ｑ＝ｒ／(１＋ｉ)＝０.９／１.１＝０.８１８，ｑ^ｎ＝０.８１８^３＝０.５４８となるので，
　　　Ｐ＝－１０／１.１　＋　２０×０.１８２／０.４５２
　　　　＝－９.０９＋８.０５
　　　　＝－１.０４　＜　０
となります。Ｐａ＜ＰｂですからＡ案のほうが費用が小さいので有利であると評価できます。

定式化による効果

とっつきにくい数式を使いましたが，数式を用いることにより，いろいろな効果があるのです。たとえば次のようなことがわかります。これらは数表だけのアプローチでは得られないでしょう。

Ｐａ＝Ｐｂとなるときは，
　　　Ｒ／(１＋ｉ）＝Ｃ（１－ｑ）／(１－ｑ^ｎ）
が成立します。さらにｑ＝ｒ／(１＋ｉ) ですから，
　　　Ｒ／Ｃ＝(１＋ｉ－ｒ）／(１－ｑ^ｎ）
となります。

定式化の確認

ｒ＝１（パソコン価格が低下しない）とすれば，ｑ＝１／(１＋ｉ) ですから，
　　　右辺＝ｉ／｛１－(１＋ｉ)^－ｎ｝＝［Ｐ→Ｍ］
　　∴Ｒ＝Ｃの年価
が成立します。これは直感とも一致するでしょう。

また，ｉ＝０とすれば，
　　　右辺＝（１－ｒ）／(１－ｒ^ｎ）＝１／（１＋ｒ＋ｒ^２＋・・・＋ｒ^ｎ－１）
ですから，
　　　Ｃ＝ｎ年間のＲをパソコン価格低下率で現在価値に換算した値
となり，これも直感と一致します。これらはこの定式化が妥当であることの傍証になります。

数値での解釈

右辺でｉ＝０.１，ｒ＝０.９とすると，ｑ＝０.８１８，ｑ^３＝０.５４８，右辺＝０.４４となりますので，Ｒ＝０.４４×Ｃになります。すなわち１年間の利益がパソコン価格の４４％以上あるならば，すぐに購入したほう（Ａ案）が有利だということになります。ここではＣ＝２０万円，Ｒ＝１０万円で５０％ですから同様の結果になったのです。

Ｃはパソコンの価格ですし，ｎＲは年利や価格低下を考えないときのパソコン利用期間でのパソコンによる利益ですから，ｎＲ／Ｃはパソコンによる利益の尺度（○○倍というような）と考えられます。この数値例では３×１０／２０＝１.５になります。左辺でｉやｒをいろいろ変化させてみて，それが１.５／３＝０.５よりも大きくなるかどうかを検討することができます。