スカラー、配列
スカラー、配列（１次元配列、２次元配列、・・・）の関係を図示すると下図のようになります。
- 配列とは通常は同じ型（整数型、浮動小数点型、文字列）の集合です。アプリケーションによっては、異なる型が混在することもあります。
- 配列には、１次元配列、２次元配列、３次元配列、… があり３次元以上の配列を多次元配列といいます。
また、１次元配列、２次元配列には図に掲げたような別名があります。 - 配列のうち、一般によく用いられているのは１次元配列と２次元配列です。２次元配列は、数値解析の分野では行列と呼ばれ、行列の計算は大きな分野になっています。また、ビジネス分野では関係データベース（ＲＤＢ）が広く用いられていますが、その表は２次元配列です。
- 配列の中の一つ（上図の色の部分）を要素といいます。
- プログラムの中で配列の要素を指定するには、Ａ[2], Ａ[1][2] のように、先頭からの番号で指定します（Ａは配列変数名）。その番号は、現在広く用いられている言語（Java, Javascript, Ｃなど）では０から始まりますが、１から始まる言語（COBOL, Rなど）もあります。
- Ａ[i][j] の i. j のような要素変数を添字といいます。Ａ[i][j] の [] の順序は、通常の２次元配列では、[行（縦）方向]、[列（横）方向]の順になります。
行列
ここでは、数値解析分野での２次元配列、すなわち、行列に関する基本的事項を対象にします（関係データベースとしての２次元配列に関しては、正規化とＲＤＢで扱っています）。
- 行列のサイズ
- 行列の縦・横の大きさのことです。上図はは縦は３行で横は４列ですので、Ａのサイズを ３×４ といいます。
なお、行数をＭ、列数をＮで表すのが慣例で Ｍ×Ｎ で表します。
特殊な行列
- 正方行列
- Ｍ＝Ｎの行列です、
１ ２ ３
４ ５ ６
７ ８ ９ - 対角行列
- 対角線以外の要素が０である正方行列です。
１ ０ ０
０ ５ ０
０ ０ ９ - 単位行列
- 対角線要素が１、対角線以外の要素が０である対角行列です
１ ０ ０
０ １ ０
０ ０ １ - 対称行列
- 右上要素と左下要素が対象の正方行列です。
１ ２ ３
２ ５ ６
３ ６ ９ - 三角行列
- 右上あるいは左下の要素が０の正方行列です。
１ ０ ０ １ ２ ３
４ ５ ０ ０ ５ ６
７ ８ ９ ０ ０ ９
下三角行列 上三角行列 - 転置行列
- 行と列を入れ替えた行列です。正方行列である必要はありません。
０ １ ２ ３ ０ １０ ２０
１０ １１ １２ １３ ←－→ １ １１ ２１
２０ ２１ ２２ ２３ ２ １２ ２２
３ １３ ２３
行列の計算
行列の加減算
for ループを用いて、行列の各要素ごとに計算するならば、どのような計算も可能ですが、行列を単位とした計算では、行列ＡとＢの加減算をするには、双方のサイズが同じでなければなりません。計算は対応する要素間での加減算になります。
Ａ Ｂ 計算 Ａ＋Ｂ
１ ２ ３ ０ １ ０ 1+0=1 2+1=3 3+0=3 １ ３ ３
４ ５ ６ ２ ０ ３ 4+2=6 5+0=5 6+3=9 ６ ５ ９
行列の積（内積）
理由を省略して、行列Ａと行列Ｂの積の方法を示します。行列ＡのサイズをＭa×Ｎa、行列ＢをＭb×Ｎbとしたとき、Ｎa＝Ｍb出なければなりません。Ｃ＝ＡＢの計算はＣ[i][j]＝ΣＡ[i][k]・Ｂ[k][j] で行い、結果Ｃ＝ＡＢのサイズはＭa×Ｎbになります。
Ｂが縦ベクトル（Ｎb＝１）のとき
計算方法
Ａ（3x2) Ｂ(2x1) Ｃ＝ＡＢ(3x1)
Ａ[0][0] Ａ[0][1] Ｂ[0] Ａ[0][0]×Ｂ[0]＋Ａ[0][1]×Ｂ[1]
Ａ[1][0] Ａ[1][1] Ｂ[1] Ａ[1][0]×Ｂ[0]＋Ａ[1][1]×Ｂ[1]
Ａ[2][0] Ａ[2][1] Ａ[2][0]×Ｂ[0]＋Ａ[2][1]×Ｂ[1]
数値例
Ａ Ｂ 計算 Ｃ
１ ２ １ 1*1+2*2= 5 ５
３ ４ ２ 3*1+4*2=11 １１
５ ６ 5*1+6*2=17 １７
Ｂが行列（Ｎb＝２）のとき
数値例
Ａ(3x2) Ｂ(2x2) 計算 Ｃ(3x2)
１ ２ １ １ 1*1+2*2= 5 1*1+2*0=1 ５ １
３ ４ ２ ０ 3*1+4*2=11 3*1+4*0=3 １１ ３
５ ６ 5*1+6*2=17 5*1+6*0=5 １７ ５
このような計算ですので、ＡＢ≠ＢＡです。
逆行列
サイズＮの正方行列Ａに対して「ＡＢ＝１（サイズＮの単位行列）」となる行列ＢをＡの逆行列といいＡ-1<.sup>と表記します。ＢはサイズＮの正方行列になります。
計算手順を省略して（注）、数値例を示します。
Ａ Ｂ ＡＢ
４ ２ ３ １ ０ －１ １ ０ ０
２ １ １ －３ ３ ２ ０ １ ０
３ ２ ３ １ －２ ０ ０ ０ １
Ｂの表記をＡ-1とすれば、ＡＢ＝ＡＡ-1＝１のイメージになります。それで逆数との類似により逆行列というのです。
（注）「数学ライブラリ」の「逆行列（トレース版）」で、ＡあるいはＢのデータを入力して「トレース実行」を行ってください。
逆行列の特徴として、ＢがＡの逆行列のときは、ＡはＢの逆行列になります。そしてその積は１なのですから、ＡＡ-1＝Ａ-1Ａ＝１になります。それを使えば、ＡＸ＝Ｃの関係があるとき、両辺に右からＡ-1Ａを乗じればＡ-1ＡＸ＝Ａ-1Ｃ、すなわち Ｘ＝Ａ-1Ｃ となります。この関係は次節で用います。
逆行列と連立方程式
次の連立方程式を考えます。
定数項
４ｘ0＋２ｘ1＋３ｘ2＝１０
２ｘ0＋１ｘ1＋１ｘ2＝ ４
３ｘ0＋２ｘ1＋３ｘ2＝ ９
（この解が１，０，２であることは自明でしょう）
上の式をベクトルで表記すれば、
Ａ Ｘ Ｃ＝ＡＸ
４ ２ ３ ｘ0 １０
２ １ １ ｘ1 ４
３ ２ ３ ｘ2 ９
となり、Ｘ＝Ａ-1Ｃ の関係があります。
Ａ-1（＝Ｂ）は、既に知っています。それで、次の計算で簡単に解Ｘを求めることができます。
Ａ-1 Ｃ Ｘ
１ ０ －１ １０ 1*10+0*4-1*9＝１
－３ ３ ２ ４ -3*10+3*4+2*9＝０
１ －２ ０ ９ 1*10-2*4+0*9＝２
逆行列を求める計算量は連立方程式を解くのとほぼ同じですから、１回の解を求めるだけではメリットはありません。しかし定数項をいろいろ変更して解を求めたいときは、上のＣを配列にした計算をすればよいので、大きなメリットがあります。
固有値、固有ベクトル
かなり高度な数学知識を前提とするので、ここで扱うのは不適切なので省略します。「固有値・固有ベクトル」で簡単な事項を説明しています。