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確率統計分布関連 JavaScript関数ライブラリ stat.js の利用解説書

ご利用にあたって

正規分布
　　確率密度　p = distNormalDen(x [,μ, σ]);
　　累積確率　s = distNormalCum(x [,μ, σ]);
　　累積確率の逆関数　x = distNormalInv(p [,μ, σ]); 

μ、σを省略すると、μ＝０、σ＝１の標準正規分布になります。
確率密度
　平均μ、分散σ2の正規分布において、値ｘの確率密度関数の値ｐは次式で計算できます。
　　p = 1/√(２πσ2) * e(-(x-μ)2/2σ2)
累積確率
　－∞～ｘの累積確率の値ｓを戻します。
　確率密度 を数値積分 sFx() で計算するより、近似式が知られています。
　ここではHastingsの式を使いました。（引用先：http://qiita.com/gigamori/items/e17e6f9faffb78822c56　by Yanai Takamichi）
累積確率の逆関数
　累積確率 s を与えたときの x を戻します。
　次の近似式を参考にさせていただきました
　「https://potatodigger.wordpress.com/2013/06/30/正規分布の確率密度関数pdf、累積分布関数cdf、逆累/　by potatodigger」
μ= σ=指定しないとμ＝０、σ＝１
x= p= s=

中心極限定理による必要標本数と許容確率誤差
　　必要標本数：　[n5, n1] = distCltNmin(p, pe)　
　　許容確率誤差：[pe5, pe1] = distCltPerr(p, n)　

　　n ：必要な標本数　n1:有意水準５％, n1：有意水準１％
    p ：母集団での想定発生確率
　　pe：許容確率誤差 = 標本での発生確率と母集団での想定発生確率の差　pe1:有意水準５％, n1：有意水準１％
　　pt：有意水準(= 0.05, 0.01）(Ｚ；正規分布の変位。 両側有意水準 pt = 0.05 のとき Ｚ = 1.96、 pt = 0.01 のとき Ｚ = 2.58）

中心極限定理：母集団の分布に関係なく、標本数 n が非常に大きくなると，標本平均の分布は平均μ，分散 σ2／ｎ の正規分布に近づく。
　標本の大きさ n が大であれば標本比率 p0 は近似的に正規分布 (p, p(1-p)/n) に従う。
　必要な標本数　n = (Ｚ/pe)2 * p(1-p)
　ｎを与えたときの確率誤差　pe = Ｚ*√(p(1-p)/n)
         (Ｚ；正規分布の変位。 両側有意水準 pt = 0.05 のとき Ｚ = 1.96、 pt = 0.01 のとき Ｚ = 2.58）
母確率が p ± pe と想定されるときに必要な標本数
p= pe= n0.05= n0.01=
母確率が p と想定されるときに、標本数を n としたときの、信頼区間 p ± Perr の Perr
p= n= Perr0.05= Perr0.01=

三角分布
　　平均分散： [平均, 分散] = distTriMV(xmin, xmax, xmod);
　　確率密度： p = distTriDen(x, xmin, xmax, xmod);
　　累積確率： s = distTriCum(x, xmin, xmax, xmod);
　　累積確率の逆関数： x = distTriInv(s, xmin, xmax, xmod);

右図のように、３点 ａ(xmin,0), ｂ(xmax,0), ｃ(xmod, h) を結ぶ三角形となる分布。
　　平均：(a+b+c)/3、　分散：(a2+b2+c2-ab-bc-ca)/18
参照：「三角分布」

最小値：xmin= 最大値：xmax= 最頻値：xmod=
ｘ＝ ｐ＝ ｓ＝ 平均＝ 分散＝

参考

上の xmin, xmax, xmod を与えたとき、x=xmin～xmax における p と s のリストを表示します。

二項分布
　　平均分散： [平均, 分散] = distBinMV(n, p);
　　確率密度：Px = distBinDen(x, n, p);
　　累積密度：s = distBinCum(x, n, p); 

平均：ｎｐ　　分散：ｎｐ(１－ｐ)
発生確率がｐの事象が、ｎ回の試行でｘ回発生する確率
　　確率密度： ｘ回発生する確率　　　Ｐ(x) = nＣx・px(1-p)n-x
　　累積密度： ０～ｘ回発生する確率　Ｓ(≦x) = ΣＰ(x)
　　　　nＣx = n!/x!(n-x)! = nCx(n, x) 二項係数（ｎ個からｘ個を取り出す場合の数（場合の数））
参照：「離散型統計分布」
二項分布の計算は計算量が大きく、大きい数と小さい数の計算が必要になるので誤差が生じます。計算を容易にするために、
　　・np > 5 かつ n(1-p) > 5 ならば、平均μ=np、標準偏差σ=√np(1-p) の正規分布で近似できる。
　　　確率密度：区間 x-0.5～x+0.5 の正規分布累積確率　distNormalCumMinmax(x-0.5, x+0.5, μ, σ)
　　　累積密度：≦x+0.5 の累積確率 distNormalCum(x+0.5, μ, σ)
　　・n>50, np≦5 ならば、平均λ=np のポアソン分布で近似できる。
などの方法がありますが、ここでは用いていません。
x= n= p=
Px= s= 平均＝ 分散＝

参考

上の n,p を与えたとき、x=0～n における Px と s のリストを表示します。

負の二項分布
　　平均分散： [平均, 分散] = distBinNegMV(x, p);
　　確率密度： Pn = distBinNegDen(x,n,p);
　　累積密度： s = distBinNegCum(x,n,p); 

平均：ｘ(１－ｐ)／ｐ　　分散：ｘ(１－ｐ)／ｐ2
ある事象が起こる確率がｐのとき、ｎ回試行したときに、その事象がはじめてｘ回になる確率Ｐ(n)の確率分布。
　　　Ｐ(n) = n-1Ｃx-1・ｐx(1-p)n-x
参照：「離散型統計分布」

x=1 のときは、幾何分布 distGeoDen と一致します。
x= n= p=
Pn= s= 平均= 分散=

参考

上の n,p を与えたとき、x=1～n における Pn と s のリストを表示します。

幾何分布
　　平均分散：[平均, 分散] = distGeoMV(n, p);
　　確率密度 Pn = distGeoDen(n, p);
　　累積確率 s = distGeoCum(n, p);
　　累積確率の逆関数　n = distGeoInv(s, p); 

平均：(１－ｐ)／ｐ　　分散：２*平均2
発生確率ｐの事象がはじめて発生したときの試行回数ｎの確率分布（負の二項分布で、x＝１とおくと、幾何分布に一致
　　確率密度： Pn = (1-p)n-1*ｐ
　　累積確率： s  = 1-(1-p)n
    逆関数：　 n = log(1-s) / log(1-p)
参照：「離散型統計分布」
n= p=
Pn= s= 平均= 分散=

超幾何分布
　　平均分散：[平均, 分散] = distHyperGeoMV(a, b, α);
　　確率密度： p = distHyperGeoDen(a, b, α, β);
　　累積確率： s = distHyperGeoCum(a, b, α, β); 

平均・分散
　a+b 個から α個取り出すとき、白玉(a)　がαである確率 P(α) の平均・分散
　　平均 = x*a/n;　　分散 = (a*(a-1) * x*(x-1)) / (n*(n-1));
確率密度
  袋の中にＡがａ個、Ｂがｂ個入っている。α＋β個を取り出したとき、Ａがα個、Ｂがβ個である確率
　　　p = aＣα・bＣβ／a+bＣα+β
で計算できる（参照：「離散型統計分布」）。
確率密度：αが０～α個である確率。
「α以上である確率」は distHyperGeoCum(a, b, α-1, β+1) になる。
超幾何分布では、ＣやＤなど多数の系列も対象にするが、複雑になるので、ここでは２系列に限定する。
　　Ａ　　Ｂ
袋の中の個数： a = b =
取り出した個数： α= β=
ｐ＝ ｓ＝ 平均＝ 分散＝

指数分布
　　平均分散：[平均, 分散] = distExpMV(λ);
　　確率密度：　p = distExpDen(t, λ)　
　　累積確率：　s = distExpCum(t, λ)　
　　累積確率の逆関数：　t = distExpInv(p, λ)　

平均 = 1/λ;　　分散 = 1/λ2;



関数一般形式機能計算式


distExpDen(t, λ)t=t における確率密度p = λ*e(-λ*t)


distExpCum(t, λ)区間 t=0～t の累積確率s = 1-e(-λ*t)


distExpInv(p, λ)累積確率が p となる t の値t = -(1/λ)log(1-p)



参照：「ポアソン分布と指数分布」
λ= t= p= s= 平均= 分散=

参考

上の λ を与えたとき、ｔ を変化させたときの p と s のリストを表示します。

アーラン分布
　　平均分散：[平均, 分散] = distErlangMV(λ, k);
　　確率密度：　p = distErlangDen(t, λ, k)　
　　累積確率：　s = distErlangCum(t, λ, k)　

平均 = k/λ;　　分散 = k/λ2;
アーラン分布は、指数分布と一様分布の中間的な分布。
  ｋ＝１なら指数分布、ｋ＝大なら正規分布、ｋ＝∞なら一様分布
　　p = (λ*t)k-1/(k-1)! * λe(-λ*t)
　　s = 区間 t=0～t の累積確率
t= λ= k=
p= s= 平均= 分散=

ポアソン分布
　　平均分散：[平均, 分散] = distPoissonMV(λ);
　　確率密度： p = distPoissonDen(x,λ);
　　累積確率： s = distPoissonCum(x,λ);
　　累積確率の逆関数 x = distPoissonInv(s,λ); 

平均 = λ;　　分散 = λ2;
一定（微小）時間内にある事象が発生する回数が平均λであるとき、発生回数がｘとなる確率ｐは、
　　　　p(x) = (λx/x!)*e-λ　← distPoissonDen(x,λ)
　のポアソン分布に従う（参照：「ポアソン分布と指数分布」、「離散型統計分布」

累積確率は、単純に s(x) = s(x-1) + p(x) で求めた。
逆関数は、x=0, 1, 2, ... として累積確率 s(x) を計算し、s(x) ≦ p である最大のｘを戻している。
　すなわち「確率ｐでｘ回以下だといえる」こととした。
λ= x= p= s=
平均= 分散=

参考

参考１：λを固定し、ｘを0, 1, 2, ... と変化させたときの p と s を求める
参考２：λを固定し、ｐを変化させたときの ｘ を求める

　　　

シグモイド関数
　　微分方程式　d = distSigmoidDen(x, c);
　　シグモイド関数　y = distSigmoidCum(x, c);
　　シグモイド関数の逆関数　x = distSigmoidInv(y, c); 

参照：「シグモイド関数」

ケース１

微分方程式      dy/dx = d = c*y*(1-y) = c*(1-1/(1+e-cx))*(1/(1+e-cx))
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル
    var c = 0.5;
    var d = distSigmoidDen(x, c);
　出力
    d[0] = 0.118, d[1] = 0.098

シグモイド関数　y = 1/(1+e-cx)
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル
    var c = 0.5;
    var y = distSigmoidCum(x, c);
　出力
    y[0] = 0.622, y[1] = 0.731

逆関数　       x = (1/c)log(y/(1-y))
　入力
    var y = 0.9; // スカラー
    var c = 0.5;
    var x = distSigmoidInv(y, c);
  出力
    x = 4.394

ケース２

c=
x=
y=
d=

ロジスティック曲線（Logistic curve）
　　微分方程式　d = distLogisticDen(x, k, b, c)　
　　ロジスティック関数　y = distLogisticCum(x, k, b, c);
　　ロジスティック関数の逆関数　x = distLogisticInv(y, k, b, c); 

参照：「ロジスティック曲線」

ケース１

微分方程式      dy/dx = d = (c/k)*y*(k-y)
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル]
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var d = distLogisticDen(x, k, b, c);
　出力
    d[0] = 0.179, d[1] = 0.131

ロジスティック関数　y = k/(1+b*e-cx)
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var y = distLogisticCum(x, k, b, c);
　出力
    y[0] = 1.535, y[1] = 1.689

逆関数　       x = -(1/c)log((k-y)/(b*y))
　入力
    var y = 0.9; // スカラー
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var x = distLogisticInv(y, k, b, c);
  出力
    x = -1.787

ケース２

k= b= c=
x=
y=
d=

ロジスティック回帰関連
　　オッズ　　Odss = distOdss(p)　
　　ロジット　Logit = distLogit(p)　

参照：「ロジスティック回帰分析の前提概念」

オッズ
　事象発生確率／非発生確率 = p/(1-p)
ロジット
　標準シグモイド関数の逆関数、 log(p/(1-p))
Odds, Logit は、p のスカラー、ベクトルに対応します。

ケース１

　var Odss = distOdss(0.6);          // スカラー
      // Odss = 1.5
  var Logit = distLogit([0.6, 0.8]);   // ベクトル
      // Logit[0] = 0.405, Logiit[1] = 1.386

ケース2

p　　=
Odss =
Logit=

　　オッズ比　OR = distOdssRatio(n00, n01, n10, n11)　

下表の n00, n01, n10, n11 を与えて、OdssRatio を計算します。

　　　　　事象あり　事象なし　  合計          p              オッズ
　　群Ａ　　 n00       n01　　 s0=n00+n01    p0=n00/s0　　Odss0=p0/(1-p0)
　　群Ｂ     n10       n11　　 s1=n10+n11    p1=n10/s1    Odss1=p1/(1-p1)
　　　オッズ比　OddsRatio = Odss0/Odds1

　　var OdssRatio = distOdssRatio(40, 10, 20, 80);
n00= n01= 　　s0= p0= Odss0=
n10= n11= 　　s1= p1= Odss1=
OdssRatio =

ゴンペルツ曲線（Gompertz curve）
　　微分方程式　p = distGompertzDen(x, k, b, c]);
　　ゴンペルツ関数　s = distGompertzCum(x, k, b, c);
　　ゴンペルツ関数の逆関数　x = distGompertzInv(y, k, b, c); 

参照：「ゴンペルツ曲線」

ケース１

微分方程式      dy/dx = d = -c*log(b)*y*e-cx
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル]
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var d = distGompertzDen(x, k, b, c);
　出力
    d[0] = 0.276, d[1] = 0.198

ゴンペルツ関数　y = k*be-cx
　入力
    var x = [1, 2];  // ベクトル
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var y = distGompertzCum(x, k, b, c);
　出力
    y[0] = 1.314, y[1] = 1.550

逆関数　       x = -(1/c)log(log(k/y)/|log(b)|)
　入力
    var y = 0.9; // スカラー
    var k = 2;
    var b = 0.5;
    var c = 0.5;
    var x = distGompertzInv(y, k, b, c);
  出力
    x = -0.283

ケース２

k= b= c=
x=
y=
d=