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複素数の漸化式（マンデルブロ集合の導入）

漸化式

次の複素数の漸化式があります。
　　　Ｚ_n+1 ＝ Ｚ_n² ＋ (x + yi); 　　Ｚ₀ = 0;
n = k のときに、Ｚの絶対値＞２ となったら、点(x,yi) に色を塗り、そのようなｋがなければ白抜きにします。
n=5 n=10 n=20 n=100 左隅拡大

計算方法

上の漸化式を、実数部をＲ、虚数部をＩとすれば、次のようになります。
　　　Ｒ₀＝０；　Ｉ₀;
　　　Ｒ_n+1＝Ｒ_n² - Ｉ_n² ＋ x;
　　　Ｉ_n+1＝２Ｒ_nＩ_n ＋ y;
これを、各点(x,yi) について k=0 ～ n を繰り返し,その間に Ｒ_n² + Ｉ_n² ≧ 4 になれば、色を塗って打ち切ります。

発展

単純な式なのに、思いがけない結果になるのが、このパターンの特徴です。
右図の白い部分をマンデルブロ集合といいます。
Ｚ₀ = a+bi; とし、a,b に適当な値を与えることにより、多様な画像になります。
参照：マンデルブロ集合