階乗(n!)、順列(nPr)、組合せ(nCr)
1からnまでを乗じた数を階乗といい、n!で表します。
n!=1×2×・・・×n
例えば、5!=1×2×3×4×5 (=120)になります。
なお、約束事ですが 0!=1 と定義されています。
●Excel関数
nを与えてn!を求める。
FACT(n,r)
例:FACT(5)=120
n個のなかからr個を取り出した順に並べたときの場合の数を順列の数といい、nPrで表します。例えば、A~Eの選手が競争したとき、1位と2位になる順列の数は、下表のようになり、5P2=20になります。
1位 2位 1位 2位 1位 2位 1位 2位 1位 2位
A B B A C A D A E A
A C B C C B D B E B
A D B D C D D C E C
A E B E C E D E E D
次のように考えることができます。
・1位になるのは、5人が誰でもなることがあるので、5通り
・2位になるのは、1位になった選手を除いた4人なので、4通り
従って、5P2=5×4=20
このことから、次の公式が得られます。
なお、nPn=n! になります。
●Excel関数
nとrを与えてnPrを求める。
PERMUT(n,r)
例:PERMUT(5,2)=20
n個のなかからr個を取り出した組合せの数を nCr で表します。例えば、袋の中にA~Eの5個の玉があり、それから2つ取り出したときの組合せの数は、下表のようになり、5C2=10になります。
A B
A C B C
A D B D C D
A E B E C E D E
次のように考えることができます。
nPrは、nCrに、「r個をすべて順位を付けた場合の数」すなわちrPr=r!を乗じたものになります。
このことから、次の公式が得られます。
なお、「n個からrを取り出す」とは、「n個からn-r個を取り出した残り」ことと同じですので、次の公式が成立します。
nCr=nCn-r
●Excel関数
nとrを与えてnCrを求める。
COMBIN(n,r)
例:COMBIN(5,2)=10