数え上げによる確率の定義
互いに排反する（ある事象と他の事象が同時に起こることがない）それぞれの事象が起こる割合が同じとき、「ある事象の起こりうる場合の数／すべての事象の起こりうる場合の数」を確率といいます。
例えば、１枚の硬貨を投げたとき、すべての事象の起こりうる数「表」と「裏」の２通りがあり、「表」である事象が起こりうる数は「表」の１通りですから、表が出る確率は１／２になります。
３枚の硬貨を投げたときは、すべての場合の数はア～クの８通りで、表が２枚の場合の数はイ・ウ・オの３通りですから、表が２枚である確率は３／８となります。
場合 硬貨Ａ 硬貨Ｂ 硬貨Ｃ 表の枚数
ア 表 表 表 ３
イ 表 表 裏 ２
ウ 表 裏 表 ２
エ 表 裏 裏 １
オ 裏 表 表 ２
カ 裏 表 裏 １
キ 裏 裏 表 １
ク 裏 裏 裏 ０
２つのサイコロを投げたとき、すべての場合の数が３６個で、出た目の和が５である場合の数は４個ですから、その確率は５／３６になります。
サイコロＢ
１ ２ ３ ４ ５ ６
サ １ ２ ３ ４ ⑤ ６ ７
イ ２ ３ ４ ⑤ ６ ７ ８
コ ３ ４ ⑤ ６ ７ ８ ９
ロ ４ ⑤ ６ ７ ８ ９ １０
Ａ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１
６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
数学的な定義
すべての事象が排反するｎ個の事象からなり、それぞれの確率がＰ（１）、Ｐ（２）、Ｐ（ｎ）だととすると、次の関係が成立します。
０ ≦ Ｐ（ｉ） ≦ １
∑Ｐ（ｉ） ＝ １
逆にいえば、このような関係があることを確率というのです。
上の硬貨の場合では、事象は、次の４つであり、それぞれの確率の合計は１になります。
表 裏 確率
３ ０ １／８
２ １ ３／８
１ ２ ３／８
０ ３ １／８
１
排反事象での確率の計算
- 余事象（「～でない」、否定、ｎｏｔ、Ａ）Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ａ)＝１
- Ａ：すべて表である。Ｐ（Ａ）＝１／８
Ａ：少なくとも１枚は裏である。 Ｐ（Ａ）＝１－１／８＝７／８ - 事象の和（「～または～」、和、ｏｒ、Ａ∪Ｂ、Ａ＋Ｂ）Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)
- Ａ：すべてが表である。Ｐ（Ａ）＝１／８
Ｂ：２枚が表である。Ｐ（Ｂ）＝３／８
Ａ∪Ｂ：「すべてが表」あるいは「２枚が表」である。Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝（３／８）＋（１／８）＝１／２ - 事象の積（「～かつ～」、積、ａｎｄ，Ａ∩Ｂ、Ａ・Ｂ）Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)
- Ａ：最初に投げた硬貨が表である。Ｐ（Ａ）＝１／２
Ｂ：２回目に投げた硬貨が表である。Ｐ（Ｂ）＝１／２
Ａ∩Ｂ：２回投げたときに両方とも表である。Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝（１／２）×（１／２）＝１／４
排反事象でない場合
排反でないときの計算はやや複雑になります。
事象Ａ：新聞Ａを購読している。Ｐ（Ａ）＝０.５
事象Ｂ：新聞Ｂを購読している。Ｐ（Ｂ）＝０.４
として、ある新聞を購読は他の新聞の購読とはまったく無関係だとしたとき、
ア：新聞Ａと新聞Ｂの両方を購読している。
イ：新聞Ａは購読しているが、新聞Ｂは購読していない。
ウ：新聞Ｂは購読しているが、新聞Ａは購読していない。
エ：新聞Ａも新聞Ｂも購読していない。
の事象があります。
- Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)
- Ａ∩Ｂ（ア）：「新聞Ａを購入」かつ「新聞Ｂを購入」
→Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０.５×０.４＝０.２ - Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ∩Ｂ)
- Ａ∪Ｂ（ア＋イ＋ウ）：「新聞Ａを購入」または「新聞Ｂを購入」
Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ア）＋Ｐ（イ）、 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ア）＋Ｐ（ウ） から、
Ｐ（ア）＋Ｐ（イ）＋Ｐ（ウ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ア）
すなわち、
Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０.５＋０.４－０.２＝０.７
となります。
なお、ア～エの確率は次のようになります。これからも、Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝０.７になります。
Ｐ（ア）＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)＝０.５×０.４＝０.２
Ｐ（イ）＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)＝０.５×（１－０.４）＝０.３
Ｐ（ウ）＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)＝（１－０.５）×０.４＝０.２
Ｐ（エ）＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)＝（１－０.５）×（１－０.４）＝０.３
Ｐ（ア）＋Ｐ（イ）＋Ｐ（ウ）＋Ｐ（エ）＝０.２＋０.３＋０.２＋０.３＝１
もし、事象Ａと事象Ｂが厳密に排反でないときには、このような計算はできません。例えば、両方の新聞を購読する確率が０.１だとするならば、Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝０.１になるので、
Ｐ（ア）＝０.１
Ｐ（イ）＝Ｐ(Ａ)－Ｐ(ア)＝０.５－０.１＝０.４
Ｐ（ウ）＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ア)＝０.４－０.１＝０.３
Ｐ（エ）＝１－｛Ｐ(ア)＋Ｐ(イ)＋Ｐ(ウ)｝＝１－｛０.１＋０.４＋０.３｝＝０.２
になります。