行列に制限がある場合の待ち行列（Ｍ／Ｍ／１(Ｎ)）

Ｍ／Ｍ／１(１)

窓口が１つで，系の中にいる人数が１以下というのですから，現在サービスを受けている人以外はいないということで，客が到着したときに窓口が塞がっていたら，待たないで去るケースです。電話をかけたときお話中だったら切る場合などがこれに相当します。

公式を求める

系の中に誰もいない確率をＰ₀，１人いる確率をＰ₁とします。
　Ｐ₀とＰ₁以外はないのですから，
　　　Ｐ₀＋Ｐ₁＝１　　　　　・・・Ａ
　現在，系の中にいる人数が０人であり，微小時間⊿ｔ後に１人になるのはλＰ₀⊿ｔで，現在が１人なのが⊿ｔ後に０人になるのはμＰ₁⊿ｔです。安定している状態では，
　　　λ⊿ｔＰ₀＝μ⊿ｔＰ₁
ですから，ρ＝λ／μとすると
　　　Ｐ₁＝ρＰ₀　　　　　　・・・Ｂ
が成立します。ＡとＢから，
　　　Ｐ₀＝１／(１＋ρ)
となります。

すなわち，電話をしたときに
　　　電話が通じる確率：Ｐ₀＝１／(１＋ρ)
　　　お話中である確率：Ｐ₁＝ρ／(１＋ρ)
となります。なお，このＰ₁を呼損率といいます。
　また，当然ながらＬ_qやＷ_qは存在せず，Ｌ＝Ｐ₁＝ρ／(１＋ρ)となります。Ｗ＝１／μであることは明らかですが，これはＷ＝Ｌ／λとは一致しません。

Ｍ／Ｍ／１(∞)とＭ／Ｍ／１(１)との比較

両者の比較をすると，次のような違いがあります。
　　　　　　　Ｍ／Ｍ／１(∞)　　　Ｍ／Ｍ／１(１)
　　　Ｐ₀ 　　　１－ρ　　　　　　１／(１＋ρ)
　　　Ｌ　　　　ρ／(１－ρ)　　　ρ／(１＋ρ)
　　　Ｗ　　　　ρ／(１－ρ)λ　　１／μ＝ρ／λ
　グラフにすると，次のようになります。

上図でのＰ₀のＭ／Ｍ／１(1)のグラフを見てください。ρ＝１の確率は０.５になっています。ρ＝１とは，客の到着間隔と窓口のサービス時間が等しいときですから，窓口は常にふさがっているのではないでしょうか？　Ｍ／Ｍ／１(∞)では０になっています。なぜ，Ｎ＝１のときは０にならないのでしょうか？

ある客が到着したときを考えてみましょう。このとき窓口が空いていれば窓口を１／μの時間だけ占有します。次の客が来るのは１／λ後ですが，１／λ＜１／μのときに来たときには待たないで帰ってしまいます。１／λ＞１／μのときは前の客のサービスが終わっているのでサービスを受けることになります。
　ρ＝１のときは１／λ＝１／μではありますが，これらは統計的な値ですから，あるときは１／λ＜１／μになるし，あるときは１／λ＞１／μになります。その比率は等しいのですから，１／λ＞１／μである確率，すなわち到着したときに窓口が空いている確率は０.５になるのです。

行列に制限があるときは，ρ＜１でなければ待ち行列の意味がないのですが，行列に制限があると，ρ≧１でも，すなわち到着がサービスよりも大きくても意味があるのです。

Ｍ／Ｍ／１（Ｎ）

これは，窓口が１つで系の中にいる人数がＮ人以下に制限されている場合です。到着したときに，サービスを受けている人も含めてＮ人より少なければ並んで待つが，Ｎ人いたときには帰ってしまうという場合や，待合室の収容人数がＮ－１人である場合などに相当します。

公式を求める

　状態方程式は，Ｍ／Ｍ／１に次の最後の式が加わります。
　　　　μＰ₁＝λＰ₀
　　　　μＰ_n+1＋λＰ_n-1＝(λ＋μ)Ｐ_n　　　（０＜ｎ＜Ｎ）
　　　　μＰ_N＝λＰ_N-1
これを解くと，
　　系の中にｎ人いる確率：　Ｐ_n＝ρⁿＰ₀
　　窓口が空いている確率：　Ｐ₀＝(１－ρ)／(１－ρ^Ｎ＋１)
　　系の中にＮ人いる確率：　Ｐ_N＝ρ^NＰ₀＝ρ^N(１－ρ)／(１－ρ^Ｎ＋１)
が得られます。なお，このＰ_Nは，到着しても行列に並ぶことができす，帰ってしまう確率であり，呼損率あるいは棄却率といいます。
　これから，人数に関しては
　　系の中にいる平均人数：　Ｌ＝１Ｐ₁＋２Ｐ₂＋３Ｐ₃＋・・・＋Ｎ・Ｐ_N
　　　　　　　　　　　　　　　＝{（１－(Ｎ＋１)ρ^N＋Ｎρ^N+1）／(１－ρ^N+1）｝×｛ρ／(１－ρ)｝
　　サービスを受けるまでの平均待ち時間：　Ｌ_q＝１Ｐ₂＋２Ｐ₃＋・・・＋(Ｎ－１)Ｐ_N
　　　　　　　　　　　　　　　＝{（１－Ｎρ^N-1＋(Ｎ－１)ρ^N)／(１－ρ^N+1）｝×｛ρ²／(１－ρ)｝
が得られます。どちらも，第２項はＭ／Ｍ／１のときのＬやＬ_qですから，第１項が行列制限による補正だと解釈できます。

待ち時間でのＷ＝Ｌ／λは成立しません。Ｐ_Nの割合で行列に並ばないで帰ってしまいますので，λではなく，λ(１－Ｐ_N)で割ることになります。
　　到着してからサービスを受けて去るまでの平均時間：　Ｗ＝Ｌ／｛λ(１－Ｐ_N)｝
　　到着してからサービスを受けるまでの平均待ち時間：　Ｗ_q＝Ｌ_q／｛λ(１－Ｐ_N)｝

公式の確認

かなり複雑な式になりましたので，Ｍ／Ｍ／１(１)やＭ／Ｍ／１とのチェックをしておきましょう。

　Ｍ／Ｍ／１(Ｎ)の公式で，Ｎ＝１とすれば，Ｍ／Ｍ／１(１)の式になるはずです。
　　　Ｐ₀＝(１－ρ)／(１－ρ^２)＝１／(１＋ρ)
　　　Ｐ₁＝ρ(１－ρ)／(１－ρ^２)＝ρ／(１＋ρ)
　　　Ｌ＝{（１－(Ｎ＋１)ρ^N＋Ｎρ^N+1）／(１－ρ^N+1）｝×｛ρ／(１－ρ)｝＝ρ／(１＋ρ)＝Ｐ₁
　　　Ｗ＝Ｌ／(λ(１－Ｐ₁)｝＝｛ρ／(１＋ρ)｝／｛μρ(１－ρ／(１＋ρ))｝＝１／μ
　　　　　（λ＝μρの関係があるので）
となり，前述に示した公式と一致します。

また，Ｍ／Ｍ／１(Ｎ)の公式で，Ｎ→∞とすれば，Ｍ／Ｍ／１型になるはずです。
　Ｎ→∞のときは，ρ^Ｎ→０，Ｎρ^Ｎ→０になります。
　　　Ｐ₀＝(１－ρ)／(１－ρ^Ｎ＋１)＝(１－ρ)／(１－０)＝１－ρ
　　　Ｌ＝{（１－(Ｎ＋１)ρ^N＋Ｎρ^N+1）／(１－ρ^N+1）｝×｛ρ／(１－ρ)｝＝ρ／(１－ρ)
　　　Ｌ_q＝{（１－(Ｎ＋１)ρ^N＋Ｎρ^N+1）／(１－ρ^N+1）｝×｛ρ／(１－ρ)｝＝ρ^２／(１－ρ)
　また，Ｐ_N＝ρ^N(１－ρ)／(１－ρ^Ｎ＋１)→０ですから，
　　　Ｗ＝Ｌ／｛λ(１－Ｐ_N)｝＝Ｌ／λ
　　　Ｗ_q＝Ｌ_q／｛λ(１－Ｐ_N)｝＝Ｌ_q／λ
となり，おなじみの式になります。

グラフによる吟味

数式の羅列でウンザリしましたね。ムードを変えましょう。

Ｎを変化させたとき

ρ＝０.６として，Ｎを変化させたときのグラフを示します。点線はＮ＝∞のときに収斂する値です。Ｐ₀とＰ_NはＮが５以上，ＬとＬ_qはＮが１０以上のときは，Ｎ＝∞のときとあまり変らないとして取扱えると考えてよいでしょう。
　それは，Ｍ/Ｍ/１(∞)のとき，ρ＝０.６のときにＬやＬ_qが１０以上になる確率がかなり少ないことと一致します。すなわち，Ｎがある程度大きく，あるいはρが小さくて，客が行列に並ばず帰ってしまうことが少ない場合には，Ｍ/Ｍ/１(Ｎ)はＭ/Ｍ/１(∞)で近似できるのです。

Ｐ₀とＰ_Nのグラフ

行列の制限Ｎをいろいろ変えたときの，窓口が空いている確率Ｐ₀と呼損率（棄却率）Ｐ_Nのグラフは下図のようになります。

Ｍ／Ｍ／１(１)でも指摘しましたが，行列に制限があるときは，ρが１以上になっても意味があるのです。
　上右図Ｎ＝１（黒実線）のときは，ρが４（すなわち，窓口の処理能力の５倍の客が殺到しても，５回に１回（０.２）はサービスを受けることができるのです。このように，タイミングにより運がよいことが発生するのです。
　それに対して，Ｎが２以上のときは，サービスを待っている人がおり，前の人へのサービスが終わるとすぐに窓口を占有してしまいます。待っている人はＮが大きくなるほど多いのですから，窓口が空いている確率は小さくなります。

点線のＰ_Nは，到着したときに系の中にＮ人いたら，行列に並ばないで帰ってしまう確率です。Ｎを待合室や駐車場のスペースだとすれば，Ｎが小さいほど入れない確率は高くなります。あるいは，気の短い人は行列に並ぶ確率は小さいともいえましょう。

Ｌ_qとＬのグラフ

下のグラフは，Ｌ_qとＬを示したものです。Ｌ＝Ｌ_q＋ρですから，点線は実線より高くなるのは当然です。また，Ｎが小さいときは，行列の上限が抑えられているので，Ｌ_qやＬが小さくなるのも当然です。

Ｎ＝１のときは，客が到着したとき窓口が塞がっていたときには帰ってしまうのですから，Ｌ_qは存在しません。Ｌ（黒い実線）は，サービスを受けている客の平均人数ですから，Ｌ＝１［人］×Ｐ_１になり，呼損率の曲線と一致します。
　Ｎ＝∞のときは，ρが大きくなるにつれて，Ｌ_qもＬも急激に増大します。これがポアソン到着・指数サービス型の待ち行列の特徴でした。ところが，行列の長さがＮに制限されていますので，ρがいかに大きくなってもＬ＜Ｎになるのは当然です。