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設備は年数がたつにつれて保守維持に要する費用が増大しますから,長期間にわたって使用すると毎年の費用が増大します。また頻繁に更新したのでは取得費用がかかります。費用全体を最小にする最適取替期間を求める方法を考えます。
劣化取替,維持費用,最適取替期間,年価
設備や機械は,長年利用すると保守費用が増大しますので,適当な時期に新品に更新することが必要になります。長期間使い続けると保守費の増大により全体の費用が大きくなりますし,短期間で取り替えれば取得価額による費用が増大します。すなわち,最適取替期間があるはずです。このような問題を劣化取替の問題といいます。
ここで「最適」とは,使用期間中の全費用を使用年数で割った1年あたりの費用が最小になる期間であると考えればよいでしょう。すなわち年価Mを最小にする年数nを求めることになります。
取得価額は500万円で毎年の保守費用は,1年目を100万円とし,その後150万円,200万円というように直線的に増加する設備があります。いつ廃棄しても残存価額は0円であるとします。基本事項を理解するために,年利=0%としましょう。
1年ごとに取り替えるのであれば,その全費用は500+100=600万円で期間が1年ですので毎年の平均費用は600/1=600万円になります。2年ごとに取り替えるのであれば,2年間の総費用は500+100+150=750万円ですから,2年間の毎年の費用は750/2=375万円/年になります。9年後は保守費用が取得費用になりますので,8年までについて同様にすれば下表のようになります。これより最時取替期間は最も年平均費用の小さい4年あるいは5年であることがわかります。
年 各年費用 費用累計 年平均費用
0 500 500
1 100 600 600
2 150 750 375
3 200 950 250
4 250 1200 300 ←最小
5 300 1500 300 ←最小
6 350 1850 308
7 400 2250 321
8 450 2700 338
次に,残存価値が毎年変化するケースを考えましょう。1年後に200万円で,毎年40万円づつ減少し,0円になった後はそのままである(解体費はかからないか取得価額に含まれる)とします。そのときは次表のようになりますから,3年ごとに更新するのが最適です。
年 各年費用 費用累計 残存価値 差引全費用 年平均費用
0 500 500
1 100 600 200 400 400
2 150 750 160 590 295
3 200 950 120 830 277 ←最小
4 250 1200 80 1120 280
5 300 1500 40 1460 292
6 350 1850 0 1850 308
7 400 2250 0 2250 321
8 450 2700 0 2700 338
年利が10%のときは,保守費用や残存価値を現価に換算すること,毎年の平均費用を計算するときに,年数で割るのではなく現価を年価に換算することになります。
2年ごとに取り替えるとすれば,次のようになります。
0年後費用 1.000×500=500.0
1年後費用 0.909×100= 90.9
2年後費用 0.826×150=123.5
----------------------------------------
費用累計=714.4
残存価値 0.826×160=132.2
----------------------------------------
現価=582.2
→ 年価=0.576×582.2=335.3万円/年
となります。同様に計算すると下表が得られ,最適取替期間は4年になります。
年 各年費用 現価換算 費用累計 残存価値 現価換算 差引全費用 年平均費用
0 500 500 500
1 100 91 591 200 182 409 432
2 150 124 715 160 132 582 335
3 200 150 865 120 90 775 312
4 250 171 1036 80 55 981 309 ←最小
5 300 186 1222 40 25 1197 316
6 350 197 1419 0 0 1419 326
7 400 205 1624 0 0 1624 334
8 450 210 1834 0 0 1834 344
ここでは,説明の都合で8年間のすべてにわたって計算しましたが,一般的には,各年費用が単調に増加し残存価値が単調に減少するときには,年平均費用は次第に減少しある時点から増加するようになります。ですから上の例でいえば5年目までを計算すれば,最適解が4年であると決定できます。
年 各年費用 残存価値 名目損失 現価換算 費用累計
0 500 500 500 500
1 100 200 -100 -90 410
2 150 160 -10 -8 402
3 200 120 80 60 462
4 250 80 170 116 578
5 300 40 260 161 739
6 350 0 350 197 936
7 400 0 400 205 1141
8 450 0 450 210 1351
2年目の費用累計を例にしましょう。簡単にするために年利は無視します。
正解では次のようになるはずです。
正=0年目の費用+1年目の費用+2年目の費用-2年目の残存価値
ところがAさんの計算では,
A=0年目の費用+(1年目の費用-1年目の残存価値)+(2年目の費用-2年目の残存価値)
=正-1年目の残存価値
になっています。すなわちAさんは,それまでの残存価値を累計しているのです!
年 各年費用 費用累計 残存価値 差引全費用 [P→M] 年平均費用 [S→P] 年平均費用
0 500 500 (Bさん) (Cさん)
1 100 600 200 400 1.100 440 0.909 400
2 150 750 160 590 0.576 340 0.826 281
3 200 950 120 830 0.402 334 0.751 251
4 250 1200 80 1120 0.315 353 0.683 241
5 300 1500 40 1460 0.264 385 0.621 239
6 350 1850 0 1850 0.230 426 0.564 240
7 400 2250 0 2250 0.205 461 0.513 236
8 450 2700 0 2700 0.187 505 0.467 235
2年目の差引全費用(590)を考えます。
Bさん 正しい0年目の価値
0年目費用の名目費用 0年目費用の名目費用
+1年目費用の名目費用 +1年目費用の現価
-1年目残存価値の名目費用 -1年目残存価値の現価
+2年目費用の名目費用 +2年目費用の現価
-2年目残存価値の名目費用 -2年目残存価値の現価
ですから,Bさんの590は,現価でもなければ終価でもありません。Cさんの指摘も誤りです。