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顧客が商品を購入するとき,価格,品質,体裁などいくつかの評価項目があります。このとき,価格に70%,品質に10%,体裁に20%というような重みをつけて,商品Aでは価格が3点,品質が4点,体裁が4点,商品Bでは,それぞれ5点,3点,2点というような点数をつけて,次のような表を作り,それらの総合点を計算して,総合点の最大のもの(ここでは商品B)を選択するという方法がよくとられます。
重み 商品A 商品B 商品C 商品D
価格 0.7 4 5 3 2
品質 0.1 2 3 5 5
体裁 0.2 3 2 3 4
--------------------------
合計 3.6 4.2 3.2 2.7
(商品A:0.7×4+0.1×2+0.2×3=3.6 のように計算)
ここで問題が起こります。この重みや数値をどのように決定するのでしょうか?
それよりも,「価格と品質のうち,どちらが重要か?」とか,「品質の観点では,商品Aと商品Bのどちらが優れているか?」というほうが,答えやすいですね。
一対比較法とは,「価格と品質」「価格と体裁」「品質と体裁」のように,2つずつについて,どちらがどの程度重要かを与えることにより,統計的な方法で重み付けを計算する方法です。
価格,品質,体裁の重み付けについて,一対比較法を適用してみましょう。
「価格と品質」を例にすれば,価格に比べて品質が
品質 価格
同程度である 1 1
やや重要である 3 1/3
重要である 5 1/5
かなり重要である 7 1/7
絶対的に重要である 9 1/9
のポイントを与えます。
ここでなぜ,1,3,5・・・とするのか,相手をなぜ逆数にするのかの疑問を持つでしょう。前者に関しては,研究により,いくつかの数列が提唱されており,これもその一つです。相手側を逆数にするのは,それによる行列に逆数対称性を持たせることが,計算も容易になり理論的にも優れていることが知られているからです。これらの理論は私たちの能力を超えていますので,ここでは「そのようなものか」としておきましょう。
例えば,
価格と品質は,品質のほうが,重要である
価格と体裁は,価格のほうが,かなり重要である
品質と体裁は,体裁のほうが,やや重要である
と評価したのであれば,上の基準により,次の表ができます。
価 格 品 質 体 裁
価格 1 5 7
品質 1/5 1 1/3
体裁 1/7 3 1
この計算方法は後で説明しますが,結果として,
価格:0.738,品質:0.092,体裁:0.170
の重み付けが得られます。
次に,商品選択について考えます。評価項目として価格を例にします。
価格について,商品AとB,AとC,というように,2つずつどちらがどの程度優れているかの表を作ります。
その結果,次の表が作成できたとします。
商品A 商品B 商品C 商品D
商品A 1 3 1/5 3
商品B 1/3 1 3 5
商品C 1/5 1/3 1 1/5
商品D 1/3 1/5 5 1
これも,先の評価基準と同様な計算により,
価格:商品A=0.257,商品B=0.299,商品C=0.232,商品D=0.212
となります。他の評価基準についても,同様に
品質:商品A=0.163,商品B=0.364,商品C=0.180,商品D=0.293
体裁:商品A=0.277,商品B=0.324,商品C=0.148,商品D=0.251
と計算できたとします。
これらは,各評価項目に関する各商品の優れた程度だといえますので,先の「得点」だと解釈することができます。それで,次の表ができます。
評価項目 重み 商品A 商品B 商品C 商品D
価格 0.738 0.257 0.299 0.232 0.212
品質 0.092 0.163 0.364 0.180 0.293
体裁 0.170 0.277 0.324 0.148 0.251
-------------------------
合計 0.252 0.309 0.213 0.226
上の例で,レベル1として,評価項目間,レベル2として,各項目に関して商品間の比較をしていますが,どちらも同じ論理であることに留意してください。
例えば,品質を「機能」や「大きさ」に細分化することもありますし,商品Aをデスクトップパソコン,商品Bをノートパソコンのような商品グループだとして,商品Aを銘柄に細分化することもありましょう。それらを一般化すれば,多階層における評価項目の重要度を一対比較法により求める問題になります。
AHP(Analytic Hierachy Process:多段階意思決定法)とは,このような問題を解決するための数学的方法の一つです。
上の例でもわかるように,AHPには次の特徴があります。
AHPは,心理学や官能検査などの研究から始まったのですが,数値化するのが困難な多段階での評価項目間の重要度を求める問題は多く,現在では広い分野で用いられています。ビジネスでは,上記例のような商品選択以外に,次のような適用があります。
AHPの基礎となるのは一対比較法です。一対比較法は,一対の比較結果を行列の形式にして,それから重要度ベクトルを算出する手順です。
上記例でいえば,行列
から,重要度ベクトル,
{0.738,0.092,0.170}
を算出する手順です。
その解法には,固有値法,幾何平均法,誤差法などいろいろあります。計算手順としては幾何平均法が簡単なのですが,意味の理解や応用性では固有値法が優れていますので,ここでは固有値法を使います。
では,そもそも固有値,固有ベクトルとは何か? 詳しいことは省略して・・・
Av=λv (Aは正方行列,vはベクトル,λは定数)
の関係があるとき,λを固有値,vを固有ベクトルといいます。
そして,λは行列式
det|A-λE|=0 (Eは単位行列)の解として求められます。
次元がnのときは,n個の固有値と固有ベクトルがありますが,絶対値が最大の固有値(上の場合では5)を主固有値,そのときの固有ベクトルを主固有ベクトルといいます。
行列がn次元ですと,λを求めるのにn次元方程式を解くことになりますので,一般的には式の変形で解くのは困難になります。それで,いろいろな数値解法がありますが,ここでは「べき乗法」を,理論なしで紹介します。これにより,主固有値と主固有ベクトルが得られ,主固有ベクトルの要素合計が1になるよう調整されています。これが上記での「重要度ベクトル」になります。
ここでは一般の行列で説明しましたが,逆数対象行列は,その構造の特徴により計算が簡単で誤差が少なくなるという特徴があります。また,主固有値および主固有ベクトルの全要素が正数になることが数学的に証明されています。これが,重要度の弱いほうを強いほうの逆数にする理由でもあります。
これをどのように解釈するかは,物理的な事項により異なりますが,行列Aの特徴を示すベクトルであることが理解できるでしょう。そして,主固有値は最大の伸びを示すものですから,その特徴を最も表していることになります。
一対比較でも比較できない場合があります。これはほとんど同等で差別が付けられないというのではなく,例えば,マラソンの選手とフィギュアスケートの選手を比較するように評価基準が異なる場合や,評価者が比較できる情報を持っていない場合です。
このときは(理論は省略しますが),
比較できない要素およびその対象要素を0とする。
その行の対角要素に1を加える。
とすればよいのです。
例えば,価格に関する各商品のうち
商品Aと商品Bの評価ができない(★)
商品Cと商品Aの評価ができない(●)
の場合,すなわち下表のとき,
商品A 商品B 商品C 商品D
商品A 1◆ ★ ○ 3
商品B ☆ 1◇ 3 5
商品C ● 1/3 1▲ 1/5
商品D 3 1/5 5 1
★について
★要素と☆要素を0にする。
★要素の行の対角要素◆に1を加える(1+1=2になる)
☆要素の行の対角要素◇に1を加える(1+1=2になる)
●について
●要素と○要素を0にする。
●要素の行の対角要素▲に1を加える(1+1=2になる)
○要素の行の対角要素◆に1を加える(2+1=3になる)
その結果,次のようになります。
商品A 商品B 商品C 商品D
商品A 3 3
商品B 2 3 5
商品C 1/3 2 1/5
商品D 3 1/5 5 1
入力を容易にするために,次の工夫をしました。
入力値 本文での値
5 Bのほうが「絶対的に重要」 11
4 Bのほうが「極度にに重要」 9
3 Bのほうが「かなり重要」 7
2 Bのほうが「重要」 5
1 Bのほうが「やや重要」 3
0 AとBが「同等」 1
-1 Aのほうが「やや重要」 1/3
:
-5 Bのほうが「絶対的に重要」 1/11
空白 「比較できない」
すなわち,タテに大きな正数がある特性が重要度が高いことになります。
本文の例では,「価格」「品質」「体裁」の重みを計算するだけのケースです。
レベル1の部分だけを入力します。
本文の例では,次のように入力します。
特性個数 3
B:特性1 B:特性2 B:特性3 B:特性4
A:特性2 2
A:特性3 3 -1
その結果は「計算」の次の行に表示されます。
固有値=3.233 ベクトル 0.738 0.019 0.170
すなわち,「価格」「品質」「体裁」の重みがそれぞれ,0.738,0.019,0.170とすればよいことがわかります。
本文の例は,次のように入力した結果です。
特性1について
候補1 候補2 候補3
候補2 1
候補3 -2 1
候補4 1 2 -2
特性2について
候補1 候補2 候補3
候補2 1
候補3 -3 1
候補4 -2 3 -3
特性3について
候補1 候補2 候補3
候補2 1
候補3 3 -1
候補4 -2 4 -1
各特性について「計算」をするたびに,「レベル2の結果」の表が作成されていきます。この表の説明は不要でしょう。
レベル1,2ともに,入力データを変更したときは,直後の「計算」ボタンをクリックしてください。そのたびに「レベル2の結果」の表が更新されます。
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