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マンデルブロ集合

マンデルブロ集合

次の複素数の漸化式があります。
　　　Ｚ_n+1 ＝ Ｚ_n² ＋ (x + yi); 　　　Ｚ₀ = 0;
この漸化式を、実数部をＲ、虚数部をＩとすれば、次のようになります。
　　　Ｒ₀＝０；　Ｉ₀;
　　　Ｒ_n+1＝Ｒ_n² - Ｉ_n² ＋ x;
　　　Ｉ_n+1＝２Ｒ_nＩ_n ＋ y;
n = k のときに、Ｚの絶対値＞２（Ｒ²＋Ｉ² ＞４）となったら、この漸化式は発散することが知られています。それで点(x,y)にkに対応した色を塗って(x,y)の処理を打ち切ります。
適当な回数 n まで達してもＺの絶対値＞２にならない点(x,y)の集合（図では黒い部分）をマンデンブロ集合といいます。

パターン１

上の漸化式を一般化して、Ｚ₀ = a + bi; としました。

パターン２

漸化式を、次のように変更しました
　　　Ｚ_n+1＝Ｚ_n(Ｚ_n－１) ＋ (x + yi);
　　　Ｚ₀ = a + bi;
実数部、虚数部は次のようになります。
　　　Ｒ_n+1＝（Ｒ_n² - Ｉ_n² - Ｒ_n) ＋ x;
　　　Ｉ_n+1＝（２Ｒ_nＩ_n - Ｉ_n） ＋ y;

実験

値を少し変えるだけで、多様なデザインの図形になります。

パターン：ptn=（１または２）
初期条件： a= b=（-1＜a,b＜１)
打切回数： n=
表示範囲： xmin= xmax= ymin= ymax=
色指定： c0=（中央、マンデルブロ集合）
c1= c2= c3=
c4= c5= c6=

実行 コード表示

• ptn=1. a=0, b=0 及び ptn=2. a=0, b=0 が基本形です。
  a,b を少し変えるだけで、かなり変わった図形になります。
• nを大きくすると、細密になりますが時間がかかります。100以上にしてもあまり変化はありません。
  n=5, 10, 20 にように変化させると、次第に（真の）マンデンブロ集合に近づくことがわかります。
• 標準では -2 xmin=-2, xmax=-1. ymin=-0.5, ymax= 9.5 とすれば、左側部分の拡大図になります。
• c0 を　rgb(255,255,255) とすると、マンデンブロ集合は白抜きになります。
  c1～c6 を変えることにより、趣味に応じた配色になります。

似たような図形にジュリア集合があります。