ワイブル分布とバスタブ曲線＜統計・確率＜Javascript＜木暮仁

製品を使用するときの故障率の時間推移は右図のようになります。その形状からバスタブ曲線といいます。

このような故障の推移は、多様な分野で見られます。生物学では、生物は幼児期の死亡率は高いが次第に減少し、青年・成年期には安定し、老齢になるに従い死亡率が高くなります。情報システムでは、導入当初はプログラムミスや利用上の不都合などが発生しますが、修正することにより次第に安定します。しかし、そのうちに業務の変化やＩＴの発展により、システムの改善要求が高まり、最後に全面改訂になります。

ワイブル分布（Weibull distribution）

ワイブル分布は、上述の３つの故障確率を数式化するのに適した確率分布です。この分布を組み合わせることにより、バスタブ曲線を数学的に記述し、多様な分析を行うことができます。

　　β：形状パラメタ（分布の形）ワイブル係数
　　η：尺度パラメタ（時間のスケール）

　　確率密度関数：時刻ｔまで故障せず時刻ｔで故障する確率
　　　　　ｆ(ｔ) ＝ (β／η）(ｔ／η)^β－１ｅ^{－(ｔ／η)^β}
　　　　　　　　　　└─┬───────┘└─┬──┘
　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　Ｒ(ｔ) ＝ｅ^{－(ｔ／η)^β}　時刻ｔまでに故障しない確率
　　　　　　　　ｈ(ｔ) ＝ (β／η）(ｔ／η)^β－１　時刻ｔで故障する確率

　　累積分布関数：時刻ｔまでに故障する確率
　　　　　　　　Ｆ(ｔ) ＝１－Ｒ(ｔ) ＝１－ｅ^{－(ｔ／η)^β}

式の説明

簡潔のため、上の式を η＝１にしたもので説明します。さらに、β＝１とするとワイブル分布は指数分布（平均λ＝１／η＝１）になります。すなわち、ワイブル分布は指数分布を拡張したものなのです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　ｔ^β－１　　　　　　　　　　１
　　　ｈ(ｔ) ＝ βｔ^β－１、　Ｒ(ｔ) ＝ ───、　　ｆ(ｔ) ＝ β───、　　Ｆ(ｔ) ＝１－───
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ^{ｔ^β} 　　　　　　　　　ｅ^{ｔ^β}　　　　　　　　　　ｅ^{ｔ^β}
β＝１のとき
　　　ｈ(ｔ) ＝１、　　　　　Ｒ(ｔ) ＝ｅ^-ｔ、　　ｆ(ｔ) ＝ｅ^-ｔ、　　　　Ｆ(ｔ) ＝１－ｅ^-ｔ

ｈ(ｔ)：故障分布関数（failure rate function）

ハザード関数（hazard function）ともいいます（ハザードは「潜在的危険性」）。
　時刻ｔまでに故障したことがあるか否かに関係なく、時刻ｔで故障が発生する確率密度です。いいかえれば、時刻ｔまで故障しなかったという条件のもとで、その時間に故障する条件付き確率密度です。

このように、ハザード分布での故障分布関数を時刻帯によりβを変えることにより、バスタブ曲線を生成することができます（厳密には複雑な処理が必要ですが）。

Ｒ(ｔ)：信頼度関数（reliability function）

時刻ｔまで故障しない累積確率です。β＝１のグラフでｔ＝２のとき、Ｒ(２)＝０.１３５になります。これは、「ｔ＝２までに故障が起きない確率は１３.５％だ」ということです。

当然ですが、ｔ＝０の瞬間では故障がないので確率は１です。時間が経てばその間に故障が発生する確率は大きくなるので、βに関係なく右下がりになります。また、各グラフの下側の面積は１ですので、左側で大のときは右側で小になります。

生物学で「故障＝死亡」だとすれば、Ｒ(ｔ) は「時刻ｔまで死んでいない確率」すなわち、「時刻ｔまで生きている確率」になります。それでＲ(ｔ)をＳ(ｔ)：生存関数 (survival function）といいます。

ｆ(ｔ)：確率密度関数（probability density function、ＰＤＦ）

ｆ(ｔ) ＝ｈ(ｔ)×Ｒ(ｔ)
　　＝「時刻ｔに故障が起こる確率」×「時刻ｔまでに故障が起こらない確率」
　　＝「時刻ｔで最初の故障が起こる確率」

　　・β≦１のときは、ｔ＝０で最大。その後小さくなります。最初の故障は使用直後が最も起こりやすくなります。
　　・１＜βのときは、山形になりβ＝２では０.７、β＝３では０.９付近で最初の故障が最も起こりやすくなります。

Ｆ(ｔ)：累積分布関数（cumulative distribution function, CDF）

定義としては、ｆ(ｔ) を０からｔまで積分したものです。時刻ｔまでに最初の故障が起こる確率です。
　また、Ｆ(ｔ) ＝１－Ｒ(ｔ) の関係があります。Ｒ(ｔ) は「時刻ｔまでに故障が起こらない確率」ですから、これからも「時刻ｔまでに最初の故障が起こる確率」になります。

補足

スケールとシフト

ここまで、η＝１として説明してきました。それを復活します。また、これまで触れてきませんでしたが、ｔ→ｔ－τと置き換えると、τは位置パラメタになります。
　ここでは、ｆ(ｔ)：確率密度関数（β＝２）を例にして説明します。

β：形状パラメタ

他の分布との関係
　　・β＝１：指数分布
　　・β＝２：レイリー分布
　　・β→大：正規分布に近づく（ｆ(ｔ) のグラフ参照）

Rayleigh分布は、通信工学の分野で、入力屈折損失、変調側波帯注入、搬送波抑圧、RF減衰の測定などの測定データを表すためによく使用されます。また、この分布は電子真空装置の寿命試験にもよく使用されます。

実務ではβの値をどう決めるかが重要です。厳密には複雑な計算になりますが、一般には次のような手順で行います。
　　・類似製品あるいは過去の記録から、故障率などのデータをヒストグラムに作成します。
　　・それをワイブル確率紙という特殊な方眼紙にプロットします。
　　・直線になっていれば、ワイブル分布に従っていることになります。
　　・その傾きなどからβを読み取ります。

ワイブル分布からバスタブ曲線へ

「ｈ(ｔ)：故障分布関数」で簡単に述べましたが、実際には「形が似ている」程度のことで近似することはできません。特に期間の移行点の物理的・実務的意味付けや曲線の接続に関する検討が必要ですし、複雑な計算（ワイブル確率紙などのツールの活用）を伴います。かなり専門的になりますので割愛します。

ワイブル分布とバスタブ曲線

バスタブ曲線（bath-tub curve）