論理演算と集合演算

論理演算

１と０、真と偽、ＯＮ／ＯＦＦのように２つの状態だけをとることのできる数を論理数といい、論理数の間の演算を論理演算（プール代数ともいう）といいます。
論理演算を理解するには、図表が役に立ちます。代表的な図にベン図、表に真理値表があります。

論理演算子

否定

論理積

論理和

排他的論理和

論理演算の基本公式

ＡとＡの演算

Ａ×Ａ＝Ａ Ａ＋Ａ＝Ａ Ａ×Ａ＝０ Ａ＋Ａ＝１

０,１との演算

Ａ×０＝０ Ａ×１＝Ａ Ａ＋０＝Ａ Ａ＋１＝１

交換則

Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ａ
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ

結合則

（Ａ×Ｂ）×Ｃ＝Ａ×（Ｂ×Ｃ）


（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）

分配則

Ａ×（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ×Ｂ）＋（Ａ×Ｃ）
　　

Ａ＋（Ｂ×Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）×（Ａ＋Ｃ）
　　

吸収則

Ａ＋（Ａ×Ｂ）＝Ａ　証明：Ａ＋（Ａ×Ｂ）＝Ａ×（１＋Ｂ）＝Ａ×１＝Ａ
Ａ×（Ａ＋Ｂ）＝Ａ　証明：Ａ×（Ａ＋Ｂ）＝Ａ×Ａ＋Ａ×Ｂ＝Ａ×（１＋Ｂ）＝Ａ

ド・モルガンの公式

Ａ×Ｂ＝Ａ＋Ｂ
Ａ＋Ｂ＝Ａ×Ｂ

集合演算

• １から１０までの自然数の集まりのように，それに含まれる「もの」がはっきりしているような，「もの」の集まりを集合といいます。
• 集合を構成する要素 １、２，３、… のことを要素あるいは元といいます。
• 集合Ａが１，２，３を元とする集合であることを Ｘ＝｛１，２，３｝と表記します。このように具体的に列挙する定義を外延的定義といいます。
• それに対して、内包的定義では、｛ａ｜ａ∈自然数 ∧ １≦ａ≦３｝と表記します。これは「ａとは、 自然数であり、かつ、１≦ａ≦３である」という意味になります。
• 元が無限大の場合、例えばＸはすべての自然数であるような場合は Ｘ∈自然数 と表記します。
• このときの「自然数」に相当する「対象とする全体」を全体集合といいＵで表します。空間ということもあります。
• 元をもたない集合を空集合といい、φで表します。

Ａ⊂ＢとＡ＝Ｂを合わせて、Ａ⊆Ｂ と書きます。

論理演算と集合演算

論理演算での変数は論理変数で、Ａは０と１の二値をとります。それでＡ＋Ａは「ＡあるいはＡでない確率」であり１になります。
　それに対して、集合演算での変数はリストで、Ａ＝{２、６、４｝のような任意の個数の要素を持ちます。それで対象とする空間が自然数だとすれば、Ａ＋Ａは「ＡあるいはＡでない自然数の集合」となります。

このような違いはありますが、「Ａが１であり、かつ、Ｂが１である確率はＡ×Ｂ（理論積）」と「ある要素がＡにあり、かつ、Ｂにもある要素はＡ∩Ｂ（積集合）」の対比や、どちらもＡとＢの順序を変えても等価であるとの交換則が成立するなど、共通する数学的方法が多くあります。
　　　論理演算　　　集合演算
　　　　０　　　　　φ（空集合）
　　　　１　　　　　Ｕ（全体集合）
　　　否定（Ａ）　　補集合（Ａ）
　　　論理和（＋）　和集合（∪）
　　　論理積（×）　積集合（∩）
の対応を知っていれば、集合演算の多くは論理演算での説明が使えます。

集合演算子

• 積集合と直積（カルテシアン積ともいう）は異なります。論理積の×の記号は、集合計算での∩に似た概念です。
• 差集合のとき、引く側だけにある元は無視されます。

集合演算の基本公式

ＡとＡの計算

Ａ∪Ａ＝Ａ、　Ａ∩Ａ＝Ａ、　Ａ－Ａ＝φ
Ａ∪Ａ＝Ｕ、　Ａ∩Ａ＝φ、　Ａ－Ａ＝Ａ

空集合φとの計算

Ａ⊃φ、　Ａ∩φ＝φ、　Ａ∪φ＝Ａ、　Ａ－φ＝Ａ、　φ－Ａ＝φ、　Ａ×φ＝φ　

全体集合Ｕとの計算

Ｕ⊃Ａ、　Ａ∩Ｕ＝Ａ、　Ａ∪Ｕ＝Ｕ、　Ａ－Ｕ＝Ａ、　Ｕ－Ａ＝Ａ、　

交換則

Ａ∪Ｂ⇔Ｂ∪Ａ、　Ａ∩Ｂ⇔Ｂ∩Ａ

結合則

（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ⇔Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）、　（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ⇔Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）

分配則

Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）⇔（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）、　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）⇔（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）

吸収則

Ａ∪（Ａ∩Ｂ）⇔Ａ、　Ａ∩（Ａ∪Ｂ）⇔Ａ

ド・モルガンの法則

（Ａ∪Ｂ）⇔Ａ∩Ｂ、　（Ａ∩Ｂ）⇔Ａ∪Ｂ