確率の基礎的例題

確率の代表的な基礎的例題を示します。

学習のポイント

キーワード

二項分布、超幾何分布、信頼性（直列・並列）、条件付確率

例題（二項分布）

問題: ５枚の硬貨を投げたとき、２枚が表になる確率を求めよ。
数え上げによる解答: すべての場合の数：２^５＝３２通り
５枚のうち２枚が表になる場合の数：_５Ｃ_２＝(５×４)／(２×１)＝１０通り
求める確率＝１０／３２＝０.３２・・・（答）
一般化: １回の試行である事象が起きる確率をｐとするとき、ｎ回の試行でその事象がｒ回起こる確率Ｐ_ｒは次式になります。これを二項分布といいます（幾何分布ともいう）。
　　Ｐ_ｒ＝_ｎＣ_ｒｐ^ｒ(１－ｐ)^ｎ－ｒ
上の問題では、
　　Ｐ＝_５Ｃ_２(1/2)^２(1/2)^３＝１０×(1/2)^５＝１０／３２
となり、同じ答になります。
類題: ５つのサイコロを投げて、１の目が２回出る確率
ｐ＝１／６、ｎ＝５、ｒ＝２
　　Ｐ＝_５Ｃ_２(1/6)^２(5/6)^３＝１０×５^３／６^５＝１２５０／４６６５６＝０.０２７

例題（超幾何分布）

問題: 袋の中に赤玉が３つ、白玉が４つ入っている。玉を２つ取り出したとき、赤玉と白玉が１つずつである確率を求めよ。
場合の数による解答: このときのすべての場合の数は、７つの中から２つを取り出す場合の数だから、_７Ｃ_２＝（７×６）／（２×１）＝２１通りになります。
赤玉は、３つの中から１つを取り出すので、その場合の数は_３Ｃ_１＝３通り、白玉は、４つの中から１つを取り出すので、その場合の数は_４Ｃ_１＝４通りです。それで、赤玉１つ白玉１つを取り出す場合の数は、３×４＝１２通りです。
従って、求める確率は、１２／２１＝４／７になります。
一般化: 赤玉がｍ個、白玉がｎ個の中から、ｒ＋ｓ個取り出したとき、赤玉がｒ個白玉がｓ個である確率は、次の式で与えられます。これを超幾何分布といいます。
　　　Ｐ＝_ｍＣ_ｒ×_ｎＣ_ｓ／_ｍ＋ｎＣ_ｒ＋ｓ
確率の和・積による解答: 最初に赤玉が出る（１Ｒ）確率
　　全体の７個のうち、赤玉は３個なので、Ｐ（１Ｒ）＝３／７
次に白玉が出る（２Ｗ）確率
　　全体が６個、白玉は４個なので、Ｐ（２Ｗ）＝４／６
１Ｒであり、かつ、２Ｗである（ＲＷ）確率
　　Ｐ（ＲＷ）＝Ｐ（１Ｒ∩２Ｗ）＝（３／７）×（４／６）＝１２／４２

最初に白玉が出る（１Ｗ）確率
　　全体の７個のうち、白玉は４個なので、Ｐ（１Ｗ）＝４／７
次に赤玉が出る（２Ｒ）確率
　　全体が６個、赤玉は３個なので、Ｐ（２Ｒ）＝３／６
１Ｗであり、かつ、２Ｒである（ＷＲ）確率
　　Ｐ（ＷＲ）＝Ｐ（１Ｗ∩２Ｒ）＝（４／７）×（３／６）＝１２／４２

求める確率は、「ＲＷまたはＷＲ」であるから、
　　Ｐ＝Ｐ（ＲＷ∪ＷＲ）＝Ｐ（ＲＷ）＋Ｐ（ＷＲ）＝（１２／４２）＋（１２／４２）＝４／７

例題（直列と並列）

直列接続の信頼性: 装置Ａと装置Ｂの両方が正常なときに、システムが正常であるという接続形態です。
　　　Ｒ（直列）＝Ｒ（Ａ）×Ｒ（Ｂ）＝０.９×０.８＝０.７２
Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒならば、
　　　Ｒ（直列）＝Ｒ^２
となります。
並列接続の信頼性: 装置Ａと装置Ｂの少なくとも一方が正常なときに、システムが正常であるという接続形態です。
このシステムが正常でないのは、両方が故障しているときですから、
　　　Ｒ（並列）＝１－（１－Ｒ（Ａ））×（１－Ｒ（Ｂ））＝１－０.１×０.２＝０.９８
となります。Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒならば、
　　　Ｒ（並列）＝１－（１－Ｒ）^２
となります。
複雑な接続: 左半分は並列なので、Ｒ（左）＝１－（１－Ｒ（Ａ））^２＝１－０.１^２＝０.９９
右半分も同様に、Ｒ（右）＝１－０.２^２＝０.９６
全体は、左半分右半分が直列なので、Ｒ＝Ｒ（左）×Ｒ（右）＝０.９９×０.９６＝０.９５
となります。

例題（条件付確率）

問題: ２人の子供のいる家庭がある。そのうち１人が女であることがわかっているとき、２人とも女である確率を求めよ。
解答: 「１人が女」の条件を無視すれば、次の組み合わせになり、どの事象の発生確率は同じです。
　　　　　上の子　下の子
　　　ア　　男　　　男
　　　イ　　男　　　女
　　　ウ　　女　　　男
　　　エ　　女　　　女
すべての場合の数は４通りで、２人とも女なのはエの１通りですから、求める確率は１／４になります。
ところが、「１人が女」の条件があるので、すべての場合の数はアを除いた３通りになります。それで、求める確率は１／３になるのです。
一般化: このような確率を条件付確率といいます。
事象Ａが起こる確率をＰ（Ａ）、事象Ａと事象Ｂの両方が起こる確率をＰ（ＡＢ）、事象Ａが条件のときの事象Ｂが起こる確率をＰ（Ｂ｜Ａ）で表します。このとき、
　　　Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）／Ｐ（Ａ）
となります。
上の問題では、
　　事象Ａ：「少なくとも１人は女である」事象・・・イ・ウ・エ
　　事象Ｂ：「２人とも女である」事象・・・エ
です。
事象ＡＢとは「事象Ａであり、かつ、事象Ｂである」ということですから、エだけになります。
そして、Ｐ（Ａ）＝３／４、Ｐ（ＡＢ）＝１／４　ですから、
　　　Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝（１／４）／（３／４）＝１／３
となります。
（注意）: 実は、この問題には別の解もあります。
上の子が女である場合、下の子も女である確率は１／２
下の子が女である場合、上の子も女である確率は１／２
になります。
「１人が女とわかっている」とは、それが上の子か下の子かの確率は等しいので、それぞれの確率は１／２です。
すると、求める確率は、
　　(１／２)×(１／２) ＋ (１／２)×(１／２) ＝１／２
となります。
この違いは「どうして女の子とわかったのか」により、「どの事象の発生確率も同じ」があいまいになるからですが、ここでは深入りしません。条件付き確率の考え方を示しただけだと解釈してください。

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