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平均、分散、標準偏差

キーワード

平均、偏差平方和、分散、標準偏差、変動係数


データの特徴を表すには、データの大きさとバラツキの程度を示すのが一般的です。そのための概念を列挙します。
 例えば、10、20、30、40、50の5個(n=5)のデータがあるものとします。単位はm(メートル)です。

 記号と計算式計算値と[単位]意味
平均 30[m] データの大きさを示す尺度です。
偏差平方和 1000[m] (x)を偏差といいます。偏差の大きさを示すのに、偏差を単純に合計したのでは0になるし、絶対値での処理は面倒なので、偏差の合計で示すのです(*注1)
分散 250[m] バラツキの尺度です。データ数が大ならば偏差平方和も大きくなるので、その平均をとることにより、データ数の影響をなくします。ところが、推計統計論では、個数(n)ではなく、自由度(n-1)を用います(その理由はここでの範囲を超えるので省略)。
標準偏差 250
=15.8[m]
分散では単位がmになっているので、√分散とすることで、元のデータと同じ単位にします。
変動係数 0.527[-] 標準偏差÷平均値とすることにより、データの単位や大きさの影響をなくすことができます。これで、一般的なバラツキの尺度とすることができます。

(*1)偏差平方和の計算

   x  x (x)
  10  -20   400
  20  -10   100
  30    0     0
  40   10   100
  50   20   400
           1000 ←偏差平方和

なお、Σ(x) は、次のように変形することができます。
   Σ(x)        (↓ (a-b)=a-2ab+b
  =Σx-2ΣxΣ1  (↓ Σx=n
  =Σx-2n+n
  =Σx-n
  =10+20+・・・+50-5×30
  =100+400+・・・+2500-4500=1000 (上表と一致)

Excelによる基本統計量の計算

Excelで、[データ]→[データ分析]→[基本統計量]を用います。

y=Ax+Bとしたとき

元のデータxをy=2x+6にしたとき、すなわち、26、46、66、86、106としたとき、上の諸元がどのように変わるかを考えます。

平均
合計は、26+46+66+86+106=2(10+20+30+40+50)+6×5になります。一般的には、An+Bnになります。それで平均はAn+Bnになり、この場合は2×30+5=65になります。
偏差平方和、分散
偏差は、26-65=-40、36-65=-20、・・・、105-65=40のように2倍になり、偏差平方和は、1600+400+・・・+1600=40000になります。すなわち偏差平方和は元のA倍になりBには無関係です。分散もA倍になりBには無関係です。
標準偏差
標準偏差は√分散なので、A倍になります。
変動係数
標準偏差がAsになり、平均がA+Bになるのですから、B=0のときの変動係数は元のCVと同じ値になります。

データの個数がM倍になったとき

例えばMが2で、10、20、30、40、50、10、20、30、40、50の10個のデータの場合はどうなるかを考えます。

平均、偏差平方和
平均は変化せず、偏差平方和がM倍になることは明らかです。
分散、標準偏差、変動係数
データの個数はMn個ですから、その自由度はMn-1になります。それで、この分散はMs/(Mn-1)になります。すなわち、M(n-1)/(Mn-1) 倍になります。
ここで、nが十分に大きいと、この式は1に近づきます。すなわち、nが十分に大きいときは、分散は元と変わらないことになります。
標準偏差と変動係数もnが十分に大きいときは、元と同じになります。

L組のデータを加えたとき

例えば、1日目の出荷が5回あり、それぞれ10,20,30,40,50個でした。2日目の出荷も同じでした。そのとき2日間の平均や標準偏差はどうなるかというように、L組の合計を考えます。

平均
各日の平均をとすれば、L日間ではLになります。
偏差平方和
ここで、偏差はすべてのデータLn個の平均からの偏差ではなく、それそれの組のなかでの平均からの偏差です。それで、それで、全体の偏差平方和は各組の偏差平方和の合計となります。すなわち、L倍になります。分散の計算での自由度もn-1です。それで分散もL倍になります。
標準偏差
分散がL倍になるのですから、標準偏差は√倍になります。これは重要な事項です。
変動係数
標準偏差が√倍、平均がL倍になるので、変動係数は1/√倍になります。

以上をまとめると、次表になります

 Ax+Bデータ個数M倍L組の合計
平均Ax+B元と同じL倍
偏差平方和M倍L倍
分散元と同じ(注2)L倍
標準偏差A倍元と同じ(注2)
変動係数元と同じ
(注3)
元と同じ(注2)1/√

注2:nが十分に大きいとき
注3:B=0のとき

 

標本の平均と分散

母集団の平均や分散を知りたいとき、母集団すべてを調べることは不可能なので、いくつかの標本(サンプル)を取り出して、その平均や分散を測定して、それらから母集団の平均や分散を推定することになります。それで、母集団と標本での平均と分散の関係を知ることが必要になります。
 そのような理論を推測統計といいますが、ここでは、その最も基本的な「点推定」について、結果だけを示します。

平均μ、分散σ2の母集団からn個の標本を取り出したとき、標本の平均μ0平均の分散σ20は次の式で与えられます。

    μ0=μ、   σ20=σ2/n