データの特徴を表すには、データの大きさとバラツキの程度を示すのが一般的です。そのための概念を列挙します。
例えば、１０、２０、３０、４０、５０の５個（ｎ＝５）のデータがあるものとします。単位はｍ（メートル）です。
| 記号と計算式 | 計算値と[単位] | 意味 | |
| データ数 | ｎ | ５[個] | |
| 最小値 |  | １０[ｍ] | |
| 最大値 |  | ５０[ｍ] | |
| 合計 |  | １５０[ｍ] | = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 |
| 平均 |  | ３０[ｍ] | データの大きさを示す尺度です。 |
| 中央値 (メディアン) | 昇順にならべた ときの中央の値 | ３０[m] | 偶数個ののときは中央２個の平均 （四分位数：小さい順に４等分したときの値） |
| 最頻値 (モード) | 最もデータ数の多 い値「意味」参照 | ２０[m] | データが次のとき 10,20,20,20,30,30,40,50 |
| 偏差平方和 |  | １０００[ｍ２] | （ｘｉ－ｘ）を偏差といいます。偏差の大きさを示すのに、偏差を単純に合計したのでは０になるし、絶対値での処理は面倒なので、偏差２の合計で示すのです（＊注１） |
| 分散 |  | ２５０[ｍ２] | バラツキの尺度です。データ数が大ならば偏差平方和も大きくなるので、その平均をとることにより、データ数の影響をなくします。ところが、推計統計論では、個数（ｎ）ではなく、自由度（ｎ－１）を用います（その理由はここでの範囲を超えるので省略）。 |
| 標準偏差 |  | √２５０ ＝１５.８[ｍ] |
分散では単位がｍ２になっているので、√分散とすることで、元のデータと同じ単位にします。 |
| 変動係数 |  | ０.５２７[－] | 標準偏差÷平均値とすることにより、データの単位や大きさの影響をなくすことができます。これで、一般的なバラツキの尺度とすることができます。 |
| 平均偏差 |  | ６０／５ ＝１２[m] | 平均との差の絶対値÷個数。 |
（＊１）偏差平方和の計算
ｘ ｘｉ－ｘ (ｘｉ－ｘ)２
１０ －２０ ４００
２０ －１０ １００
３０ ０ ０
４０ １０ １００
５０ ２０ ４００
１０００ ←偏差平方和
なお、Σ(ｘｉ－ｘ)２ は、次のように変形することができます。
Σ(ｘｉ－ｘ)２
（↓ （ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２）
＝Σｘｉ２－２ｘΣｘｉ＋ｘ２Σ１ （↓ Σｘｉ＝ｎｘ）
＝Σｘｉ２－２ｎｘ２＋ｎｘ２
＝Σｘｉ２－ｎｘ２
＝１０２＋２０２＋・・・＋５０２－５×３０２
＝１００＋４００＋・・・＋２５００－４５００＝１０００ （上表と一致）
Excelによる基本統計量の計算
Excelで、［データ］→［データ分析］→［基本統計量］を用います。
ｙ＝Ａｘ＋Ｂとしたとき
元のデータｘをｙ＝２ｘ＋６にしたとき、すなわち、２６、４６、６６、８６、１０６としたとき、上の諸元がどのように変わるかを考えます。
- 平均
- 合計は、２６＋４６＋６６＋８６＋１０６＝２（１０＋２０＋３０＋４０＋５０）＋６×５になります。一般的には、Ａｎｘ＋Ｂｎになります。それで平均はＡｎｘ＋Ｂｎになり、この場合は２×３０＋５＝６５になります。
- 偏差平方和、分散
- 偏差は、２６－６５＝－４０、３６－６５＝－２０、・・・、１０５－６５＝４０のように２倍になり、偏差平方和は、１６００＋４００＋・・・＋１６００＝４００００になります。すなわち偏差平方和は元のＡ２倍になりＢには無関係です。分散もＡ２倍になりＢには無関係です。
- 標準偏差
- 標準偏差は√分散なので、Ａ倍になります。
- 変動係数
- 標準偏差がＡｓになり、平均がＡｘ＋Ｂになるのですから、Ｂ＝０のときの変動係数は元のＣＶと同じ値になります。
データの個数がＭ倍になったとき
例えばＭが２で、１０、２０、３０、４０、５０、１０、２０、３０、４０、５０の１０個のデータの場合はどうなるかを考えます。
- 平均、偏差平方和
- 平均は変化せず、偏差平方和がＭ倍になることは明らかです。
- 分散、標準偏差、変動係数
- データの個数はＭｎ個ですから、その自由度はＭｎ－１になります。それで、この分散はＭｓ２／(Ｍｎ－１）になります。すなわち、Ｍ(ｎ－１)／(Ｍｎ－１) 倍になります。
ここで、ｎが十分に大きいと、この式は１に近づきます。すなわち、ｎが十分に大きいときは、分散は元と変わらないことになります。
標準偏差と変動係数もｎが十分に大きいときは、元と同じになります。
Ｌ組のデータを加えたとき
例えば、１日目の出荷が５回あり、それぞれ１０，２０，３０，４０，５０個でした。２日目の出荷も同じでした。そのとき２日間の平均や標準偏差はどうなるかというように、Ｌ組の合計を考えます。
- 平均
- 各日の平均をｘとすれば、Ｌ日間ではＬｘになります。
- 偏差平方和
- ここで、偏差はすべてのデータＬｎ個の平均からの偏差ではなく、それそれの組のなかでの平均からの偏差です。それで、それで、全体の偏差平方和は各組の偏差平方和の合計となります。すなわち、Ｌ倍になります。分散の計算での自由度もｎ－１です。それで分散もＬ倍になります。
- 標準偏差
- 分散がＬ倍になるのですから、標準偏差は√Ｌ倍になります。これは重要な事項です。
- 変動係数
- 標準偏差が√Ｌ倍、平均がＬ倍になるので、変動係数は１／√Ｌ倍になります。
以上をまとめると、次表になります
| Ａｘ＋Ｂ | データ個数Ｍ倍 | Ｌ組の合計 | |
|---|---|---|---|
| 平均 | Ａｘ＋Ｂ | 元と同じ | Ｌ倍 |
| 偏差平方和 | Ａ２倍 | Ｍ倍 | Ｌ倍 |
| 分散 | Ａ２倍 | 元と同じ（注２） | Ｌ倍 |
| 標準偏差 | Ａ倍 | 元と同じ（注２） | √Ｌ倍 |
| 変動係数 | 元と同じ （注３） | 元と同じ（注２） | １／√Ｌ倍 |
注２：ｎが十分に大きいとき
注３：Ｂ＝０のとき
標本の平均と分散
母集団の平均や分散を知りたいとき、母集団すべてを調べることは不可能なので、いくつかの標本（サンプル）を取り出して、その平均や分散を測定して、それらから母集団の平均や分散を推定することになります。それで、母集団と標本での平均と分散の関係を知ることが必要になります。
そのような理論を推測統計といいますが、ここでは、その最も基本的な「点推定」について、結果だけを示します。
平均μ、分散σ2の母集団からｎ個の標本を取り出したとき、標本の平均μ0と平均の分散σ20は次の式で与えられます。
μ0＝μ、 σ20＝σ2／ｎ
中央値（メディアン）と平均偏差
これらは、平均と標準偏差に対応するものですが、統計学的な意味づけよりも実務の観点を重視したものです。特に極端な異常値が存在する場合、その影響を少なくすることができます。
データが、１０、２０、３０、４０、２００のように極端な値がある場合、平均は６０になりますがこの５つのデータの代表値とするよりも中央の３０を代表値とするほうが適切なことがあります。同様に分散も極端な値があるとそれが２乗されるので、標準偏差も非常に大きくなってしまいます。
むしろ、偏差を用いないで四分位数（昇順にならべたときの小さいほうから。１／４、２／４、３／４の点）を求めるほうが実際の分布をよく示すようなこともあります。