問題の理解
あるパン屋の１日の需要は，これまでの実績により次の統計ができています。
需要 確率 需要 確率 需要 確率 需要 確率
３０個 ２％ ３５ ４ ４０ ６ ４５ ６
３１ ２ ３６ ４ ４１ ８ ４６ ６
３２ ２ ３７ ４ ４２ ８ ４７ ４
３３ ２ ３８ ６ ４３ １０ ４８ ４
３４ ４ ３９ ６ ４４ ８ ４９ ２
５０ ２
このパン屋は，６０円で仕入れて１００円で売っています。売れれば１個あたり４０円の利益がありますが，その日のうちに売れないと廃棄しますので６０円の損失になります。
もし，４０個仕入れたのに，需要が３５個（＜４０）のときは，５個が仕入過剰による売れ残りが発生して廃棄処分することになります。また，需要が４５個（＞４０）のときは，仕入不足による品切れが発生して，販売して得られるはずの利益が得られないことになります。すなわち，売れ残りを心配して少なく仕入れるとお客を逃がすことになるし，それを心配して多く仕入れると，こんどは売れ残りが多くなってしまいます。
では，利益を最大にするには，何個仕入れればよいかというのが問題です。このような問題を，最適仕入問題とか新聞売り子の問題といいます。
期待値による計算
例えば仕入数量を４０個としたときを考えてみましょう。仕入金額は，仕入数量（４０個）×仕入単価（６０円）＝２４００円になります。
もし，需要が３５個であれば販売数量は３５個で，売れ残った５個は捨てることになります。売上金額は，販売数量（３５個）×販売単価（１００円）＝３５００円になります。
もし，需要が４５個であっても，仕入数量が４０個なのですから，５個は品切れのために売れず，販売数量は４０個です。売上金額は４０×１００＝４０００円になります。
このようにして，需要が３０～５０個のときの売上金額が計算できます。
需要が３５個である確率は０.０４，４５個である確率は０.０６のように，各需要が発生する確率が与えられていますので，３０～５０個のときの売上金額にそれぞれの確率を乗じたののの合計が，仕入数量を４０個としたときの売上金額の期待値になります。それを計算すると３８４２円になります。
それで，このときの利益の期待値は，売上金額期待値（３８４２円）－仕入金額（２４００円）＝１４４２円になります。
仕入数量＝４０のとき
需要 確率 販売数量 売上金額
３０ ０.０２ ３０ ６０
３１ ０.０２ ３１ ６２
： ： ： ：
３９ ０.０６ ３９ ２３４
４０ ０.０６ ４０ ２４０
４１ ０.０８ ４０ ３２０
： ： ： ：
４９ ０.０２ ４０ ８０
５０ ０.０２ ４０ ８０
-------
売上金額期待値 ３８４２
仕入金額 40×60 ２４００
利益期待値 １４４２
仕入個数を変化させてこのような計算をすると下表が得られます。これより，最適仕入数量は４０個となります。
仕入数量 仕入金額 売上金額期待値 利益期待値
３５ ２１００ ３４６８ １３６８
３７ ２２２０ ３６３２ １４１２
３９ ２３４０ ３７７８ １４３８
４０ ２４００ ３８４２ １４４２ ←最大
４１ ２４６０ ３９００ １４４０
４３ ２５８０ ３９９２ １４１２
４５ ２７００ ４０４８ １３４８
機会損失による計算
仕入過剰ならば売れ残り損失が発生しますし，仕入不足だと品切れ損失が発生します。このように，うまくすれば得られたはずの利益が得られない損失を機会損失といいますが，ここでは機会損失を最小にするという視点から解いてみます。
需要を知っているときの利益の期待値
ここで「うまくやる」とは，仕入数量が需要と一致するように仕入れたときだといえます。そのときの利益の期待値を求めておきましょう。
仕入単価が６０円で販売単価が１００円ですから，１個売れれば１００－６０＝４０円の利益になります。もし，その日の需要が４０個だとわかっていれば，４０個を仕入れればよいのですから，４０×４０＝１６００円の利益があります。それが起こる確率は０.０６ですので，期待値は１６００×０.０６＝９６円となります。
同様に各需要における期待値を計算すると下表になり，利益の期待値は１６３６.８円になります。
需要個数 確率 利益 利益×確率
３０ ０.０２ １２００ ２４.０
３１ ０.０２ １２４０ ２４.８
： ： ： ：
３９ ０.０６ １５６０ ９３.６
４０ ０.０６ １６００ ９６.０
４１ ０.０８ １６４０ １３１.２
： ： ： ：
４９ ０.０２ １９６０ ３９.２
５０ ０.０２ ２０００ ４０.０
--------------
利益の期待値 １６３６.８
需要を知らないときの利益の期待値
ところが現実には需要を知ることができないので，適当に仕入数量を決定します。たとえば仕入数量を４０個にしたとしましょう。
４０個を仕入れたのに需要が３５個だったときは５個が売れ残ってしまいます。６０円で仕入れたものを廃棄するのですから１個あたり６０円の損失です。それで損失は５×６０＝３００円になります。
また，４５個の需要があったとすれば５個が品切れのために売りそこないます。１個あたり１００－６０＝４０円の損失ですから，その金額は５×４０＝２００円となります。
仕入数量を４０個としたとき，各需要について売れ残り損失と品切れ損失を求めると次のようになります。すなわち，売れ残りによる損失は９４.４円，品切れによる損失は１００円であり，その合計である機会損失計は１９４.４円になります。
需要 確率 売残個数 その損失 期待値 品切個数 その損失 期待値
３０ ０.０２ １０ ６００ １２.０
３１ ０.０２ ９ ５４０ １０.８
： ： ： ： ：
３９ ０.０６ １ ６０ ３.６
４０ ０.０６ ０ ０
４１ ０.０８ １ ４０ ３.２
： ： ： ： ：
４９ ０.０２ ９ ３６０ ７.２
５０ ０.０２ １０ ４００ ８.０
------- --------
売れ残り損失の期待値 ９４.４ 品切れ損失の期待値 １００.０
最適仕入数量
仕入個数をいろいろと変化させたときの機会損失は次のようになり，これからも最適仕入個数が４０個であることがわかります。
仕入数量 売残損失 品切損失 機会損失計
３５ １９.２ ２４９.６ ２６８.８
３７ ４０.８ １８４.０ ２２４.８
３９ ７３.２ １２５.６ １９８.８
４０ ９４.８ １００.０ １９４.８ ←最小
４１ １２０.０ ７６.８ １９６.８
４３ １８４.８ ４０.０ ２２４.８
４５ ２７１.２ １７.６ ２８８.８
ここで，次の２つのことに注目してください。
どの仕入数量の場合でも，「利益期待値＋機会損失計＝１６３６.８」が成立しています。この１６３６.８は，「うまくやったとき」すなわち事前に当日の需要を知っていたときの利益の期待値です。
機会損失が最小になるのは，「売残損失＝品切損失」になるときです。
確率分布による解法
機会損失最小などと持って回った方法を述べたのは，これを理解していれば，上のような面倒な計算をしなくても，確率分布から簡単に最適仕入数量が求められるからなのです。
公式
数学的な証明は省略しますが，「売残損失＝品切損失」の関係から，最適仕入数量を基準にするとハカリのように両者のバランスがとれますので，次の関係が成立します。
＝それより右にある需要確率の面積×１個あたりの品切損失
上の式をＡ×Ｂ＝Ｃ×Ｄと記号をつけます。需要確率の総和は１ですからＣ＝１－Ａの関係がありますので，Ａ＝Ｄ／(Ｄ＋Ｂ）となります。またＡ（それより左にある需要確率の面積）は，需要の０～最適仕入数量の累積確率です。ＢとＤを元の名称に戻すと，次の式になります。
１個あたりの品切損失
需要の累積確率 ＝ --------------------------------------------
１個あたりの品切損失＋１個あたりの売残損失
この式にこれまでの問題の数値を当てはめると，１個あたりの品切損失＝４０円，１個あたりの売残損失＝６０円ですから，需要の累積確率は４０／(４０＋６０）＝０.４となります。累積確率のグラフを参照すれば，累積確率０.４に相当する数量は４０個になります。すなわち４０個が最適仕入数量になります。
累積確率による解法の例題と検証
「累積確率による解法」で正しい結果が得られることを，例題により検証します。
売れ残りの処分
もし売れ残ったら５０円で引き取ってもらえるとしたら，１個あたりの売残損失は１０円になるので，
累積確率＝４０／（４０＋１０）＝０.８
すなわち最適仕入数量は４５個になります。これを「期待値による計算」で検証します。
仕入数量が４５のとき，
需要 確率 販売数量 販売金額 引取数量 引取金額 収入合計 期待値
３０ ０.０２ ３０ ３０００ １５ １５０ ３１５０ ７５
３１ ０.０２ ３１ ３１００ １４ １４０ ３２４０ ７６
： ： ： ： ： ： ： ：
４４ ０.０８ ４４ ４４００ １ １０ ４４１０ ３５６
４５ ０.０６ ４５ ４５００ ０ ０ ４５００ ２７０
４６ ０.０６ ４５ ４５００ ０ ０ ４５００ ２７０
： ： ： ： ： ： ： ：
５０ ０.０２ ４５ ４５００ ０ ０ ４５００ ９０
収入期待値＝４２７４
仕入数量を変化させて同様の計算をすると，
仕入数量 仕入金額 販売金額 引取金額 収入合計 利益金額
４０ ２４００ ３８４２ ７９ ３９２１ １５２１
４４ ２６４０ ４０２４ １８８ ４２１２ １５７２
４５ ２７００ ４０４８ ２２６ ４２７４ １５７４ ←最大
４６ ２７６０ ４０６６ ２６７ ４３３３ １５７３
となり，最適仕入数量は４５個になります。
品切時の緊急仕入
品切になったら緊急に８０円で必要数が仕入れることができるのであれば，１個あたりの品切損失は２０円になるので，
累積確率＝２０／（２０＋６０）＝０.２５
から最適仕入数量は３８個になります。これを「機会損失による計算」で検証します。
仕入数量が３８のとき，
需要 確率 売残個数 その損失 期待値 品切個数 その損失 期待値
３０ ０.０２ ８ ４８０ ９.６
３１ ０.０２ ７ ４２０ ８.４
： ： ： ： ：
３７ ０.０４ １ ６０ ２.４
３８ ０.０６ ０ ０
３９ ０.０６ １ ２０ １.２
： ： ： ： ：
４９ ０.０２ １１ ２２０ ４.４
５０ ０.０２ １２ ２４０ ４.８
------- --------
売れ残り損失の期待値 ５５.２ 品切れ損失の期待値 ７６.８
仕入数量を変化させて同様の計算をすると，
仕入数量 売残損失 品切損失 機会損失計
３５ １９.２ １２４.８ １４４.０
３７ ４０.８ ９２.０ １３２.８
３８ ５５.２ ７６.８ １３２.０ ←最小
３９ ７３.２ ６２.８ １３６.０
４０ ９４.８ ５０.０ １４４.８
となり，最適仕入数量は３８個になります。
実務適用での留意点
この最適仕入問題を実務に適用するには，次の事項に留意する必要があります。
- 品切れの把握
- お客は商品が陳列していなければ，あえて問い合わせもせずに帰るか他の商品を購入します。そのために売れ残りの実績は把握できますが，品切れの把握は一般的に困難です。それを把握するには，厳密な方法ではありませんが，その商品を売り切った時刻を記録して，それから閉店までの時間でに売れるであろう数量を推測する必要があります。
- 品切損失の把握
- 品切損失を単純に「販売単価－仕入単価」とすると，これまでの例からも感じられるように，最適仕入数量ははかなり低くなります。現実にこのようなことをしたら，「あの店はいつも品切れになっている」「商品の品揃えが不十分だ」となって，ますますお客が来なくなるでしょう。品切損失には信用低下の損失などを加味することが必要です。