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最適仕入の問題は新聞売り子の問題ともいわれます。需要が確率で与えられているときに,売れ残りの損失や品切れの損失を最小にするには,どれだけ仕入れればよいかという問題です。それらの損失と需要の累積確率の関係から簡単な公式が得られます。
期待値,売残損失,品切損失,機会損失
あるパン屋の1日の需要は,これまでの実績により次の統計ができています。
需要 確率 需要 確率 需要 確率 需要 確率
30個 2% 35 4 40 6 45 6
31 2 36 4 41 8 46 6
32 2 37 4 42 8 47 4
33 2 38 6 43 10 48 4
34 4 39 6 44 8 49 2
50 2
このパン屋は,60円で仕入れて100円で売っています。売れれば1個あたり40円の利益がありますが,その日のうちに売れないと廃棄しますので60円の損失になります。
もし,40個仕入れたのに,需要が35個(<40)のときは,5個が仕入過剰による売れ残りが発生して廃棄処分することになります。また,需要が45個(>40)のときは,仕入不足による品切れが発生して,販売して得られるはずの利益が得られないことになります。すなわち,売れ残りを心配して少なく仕入れるとお客を逃がすことになるし,それを心配して多く仕入れると,こんどは売れ残りが多くなってしまいます。
では,利益を最大にするには,何個仕入れればよいかというのが問題です。このような問題を,最適仕入問題とか新聞売り子の問題といいます。
例えば仕入数量を40個としたときを考えてみましょう。仕入金額は,仕入数量(40個)×仕入単価(60円)=2400円になります。
もし,需要が35個であれば販売数量は35個で,売れ残った5個は捨てることになります。売上金額は,販売数量(35個)×販売単価(100円)=3500円になります。
もし,需要が45個であっても,仕入数量が40個なのですから,5個は品切れのために売れず,販売数量は40個です。売上金額は40×100=4000円になります。
このようにして,需要が30~50個のときの売上金額が計算できます。
需要が35個である確率は0.04,45個である確率は0.06のように,各需要が発生する確率が与えられていますので,30~50個のときの売上金額にそれぞれの確率を乗じたののの合計が,仕入数量を40個としたときの売上金額の期待値になります。それを計算すると3842円になります。
それで,このときの利益の期待値は,売上金額期待値(3842円)-仕入金額(2400円)=1442円になります。
仕入数量=40のとき
需要 確率 販売数量 売上金額
30 0.02 30 60
31 0.02 31 62
: : : :
39 0.06 39 234
40 0.06 40 240
41 0.08 40 320
: : : :
49 0.02 40 80
50 0.02 40 80
-------
売上金額期待値 3842
仕入金額 40×60 2400
利益期待値 1442
仕入個数を変化させてこのような計算をすると下表が得られます。これより,最適仕入数量は40個となります。
仕入数量 仕入金額 売上金額期待値 利益期待値
35 2100 3468 1368
37 2220 3632 1412
39 2340 3778 1438
40 2400 3842 1442 ←最大
41 2460 3900 1440
43 2580 3992 1412
45 2700 4048 1348
仕入過剰ならば売れ残り損失が発生しますし,仕入不足だと品切れ損失が発生します。このように,うまくすれば得られたはずの利益が得られない損失を機会損失といいますが,ここでは機会損失を最小にするという視点から解いてみます。
ここで「うまくやる」とは,仕入数量が需要と一致するように仕入れたときだといえます。そのときの利益の期待値を求めておきましょう。
仕入単価が60円で販売単価が100円ですから,1個売れれば100-60=40円の利益になります。もし,その日の需要が40個だとわかっていれば,40個を仕入れればよいのですから,40×40=1600円の利益があります。それが起こる確率は0.06ですので,期待値は1600×0.06=96円となります。
同様に各需要における期待値を計算すると下表になり,利益の期待値は1636.8円になります。
需要個数 確率 利益 利益×確率
30 0.02 1200 24.0
31 0.02 1240 24.8
: : : :
39 0.06 1560 93.6
40 0.06 1600 96.0
41 0.08 1640 131.2
: : : :
49 0.02 1960 39.2
50 0.02 2000 40.0
--------------
利益の期待値 1636.8
ところが現実には需要を知ることができないので,適当に仕入数量を決定します。たとえば仕入数量を40個にしたとしましょう。
40個を仕入れたのに需要が35個だったときは5個が売れ残ってしまいます。60円で仕入れたものを廃棄するのですから1個あたり60円の損失です。それで損失は5×60=300円になります。
また,45個の需要があったとすれば5個が品切れのために売りそこないます。1個あたり100-60=40円の損失ですから,その金額は5×40=200円となります。
仕入数量を40個としたとき,各需要について売れ残り損失と品切れ損失を求めると次のようになります。すなわち,売れ残りによる損失は94.4円,品切れによる損失は100円であり,その合計である機会損失計は194.4円になります。
需要 確率 売残個数 その損失 期待値 品切個数 その損失 期待値
30 0.02 10 600 12.0
31 0.02 9 540 10.8
: : : : :
39 0.06 1 60 3.6
40 0.06 0 0
41 0.08 1 40 3.2
: : : : :
49 0.02 9 360 7.2
50 0.02 10 400 8.0
------- --------
売れ残り損失の期待値 94.4 品切れ損失の期待値 100.0
仕入個数をいろいろと変化させたときの機会損失は次のようになり,これからも最適仕入個数が40個であることがわかります。
仕入数量 売残損失 品切損失 機会損失計
35 19.2 249.6 268.8
37 40.8 184.0 224.8
39 73.2 125.6 198.8
40 94.8 100.0 194.8 ←最小
41 120.0 76.8 196.8
43 184.8 40.0 224.8
45 271.2 17.6 288.8
ここで,次の2つのことに注目してください。
どの仕入数量の場合でも,「利益期待値+機会損失計=1636.8」が成立しています。この1636.8は,「うまくやったとき」すなわち事前に当日の需要を知っていたときの利益の期待値です。
機会損失が最小になるのは,「売残損失=品切損失」になるときです。
機会損失最小などと持って回った方法を述べたのは,これを理解していれば,上のような面倒な計算をしなくても,確率分布から簡単に最適仕入数量が求められるからなのです。
数学的な証明は省略しますが,「売残損失=品切損失」の関係から,最適仕入数量を基準にするとハカリのように両者のバランスがとれますので,次の関係が成立します。
それより右にある需要確率の面積×1個あたりの品切損失=
上の式をA×B=C×Dと記号をつけます。需要確率の総和は1ですからC=1-Aの関係がありますので,A=D/(D+B)となります。またA(それより左にある需要確率の面積)は,需要の0~最適仕入数量の累積確率です。BとDを元の名称に戻すと,次の式になります。
1個あたりの品切損失
需要の累積確率 = --------------------------------------------
1個あたりの品切損失+1個あたりの売残損失
この式にこれまでの問題の数値を当てはめると,1個あたりの品切損失=40円,1個あたりの売残損失=60円ですから,需要の累積確率は40/(40+60)=0.4となります。累積確率のグラフを参照すれば,累積確率0.4に相当する数量は40個になります。すなわち40個が最適仕入数量になります。
「累積確率による解法」で正しい結果が得られることを,例題により検証します。
もし売れ残ったら50円で引き取ってもらえるとしたら,1個あたりの売残損失は10円になるので,
累積確率=40/(40+10)=0.8
すなわち最適仕入数量は45個になります。これを「期待値による計算」で検証します。
仕入数量が45のとき,
需要 確率 販売数量 販売金額 引取数量 引取金額 収入合計 期待値
30 0.02 30 3000 15 150 3150 75
31 0.02 31 3100 14 140 3240 76
: : : : : : : :
44 0.08 44 4400 1 10 4410 356
45 0.06 45 4500 0 0 4500 270
46 0.06 45 4500 0 0 4500 270
: : : : : : : :
50 0.02 45 4500 0 0 4500 90
収入期待値=4274
仕入数量を変化させて同様の計算をすると,
仕入数量 仕入金額 販売金額 引取金額 収入合計 利益金額
40 2400 3842 79 3921 1521
44 2640 4024 188 4212 1572
45 2700 4048 226 4274 1574 ←最大
46 2760 4066 267 4333 1573
となり,最適仕入数量は45個になります。
品切になったら緊急に80円で必要数が仕入れることができるのであれば,1個あたりの品切損失は20円になるので,
累積確率=20/(20+60)=0.25
から最適仕入数量は38個になります。これを「機会損失による計算」で検証します。
仕入数量が38のとき,
需要 確率 売残個数 その損失 期待値 品切個数 その損失 期待値
30 0.02 8 480 9.6
31 0.02 7 420 8.4
: : : : :
37 0.04 1 60 2.4
38 0.06 0 0
39 0.06 1 20 1.2
: : : : :
49 0.02 11 220 4.4
50 0.02 12 240 4.8
------- --------
売れ残り損失の期待値 55.2 品切れ損失の期待値 76.8
仕入数量を変化させて同様の計算をすると,
仕入数量 売残損失 品切損失 機会損失計
35 19.2 124.8 144.0
37 40.8 92.0 132.8
38 55.2 76.8 132.0 ←最小
39 73.2 62.8 136.0
40 94.8 50.0 144.8
となり,最適仕入数量は38個になります。
この最適仕入問題を実務に適用するには,次の事項に留意する必要があります。
需要 確率 需要 確率 需要 確率 需要 確率
30個 2% 35 4 40 6 45 6
31 2 36 4 41 8 46 6
32 2 37 4 42 8 47 4
33 2 38 6 43 10 48 4
34 4 39 6 44 8 49 2
仕入単価を70円,販売単価を100円とし、品切時には90円での緊急仕入ができ,売れ残ったものは60円で処分できるとしたとき,最適仕入数量を求めよ。また,そのときの収入・支出と機会損失を求めよ。
☆
1個あたりの品切損失は,緊急仕入単価(90円)-仕入単価(70円)=20円,売残損失は仕入単価(70円)-処分単価(60円)=10円になります。
累積確率=20/(20+10)=0.67ですので,最適仕入数量は43個になります。
通常売上高=3992.0円 通常仕入費用=3010円
処分売上高= 184.8 緊急仕入費用= 90
収入合計 =4176.8 仕入合計 =3100 利益 =1076.8円
売残損失= 30.8円 品切損失 = 20円 機会損失= 50.8円