非線形計画法とは
線形計画法では、目的関数や制約条件が一次不等式でした。非線形計画法は一次式以外の式を取り扱います。
あまりにも対象が広いので、汎用的に適用するには、かなり困難です。山登り法や最大傾斜法など多くの方法が廃初されていますが、いずれも高度な数学的知識を必要とするので、私たちの範囲外です。
小規模な非線形計画法は、Excelのソルバー機能で解くことができます。ここでは理論はブラックボックスのまま、単に解を得る方法を説明します。
例題
２つの非負変数ｘ、ｙ、制約条件 ２ｘ（Ｘ－２）＋ｙ≦０、Ｘ＋２ｙ≦４のもとで、目的関数 ｘ２＋ｙ２ を最大にする問題を扱います。図式解法では下図のようになり、Ｐ点あるいはＱ点が最適解であることがわかります。
Ｑ点の求解
Excelで下左図のように入力すると、下右図の表になります（Excelファイルはreidai.xlsxからダウンロードできます）。
ｘ、ｙの値は任意ですが、複数の解があるとき、初期値に近い最適解が得られるようです。ここでは、Ｑ点を期待しています。
ソルバーを実行すると、「ソルバーのパラメータ」が表示されるので、図のように設定します。
目的セルの設定：目的関数が入っているセル（Ｄ５、赤）
目標値：最大化問題なので「最大値」
変数セルの変更：ｘとyの値があるセル（Ｄ３：Ｄ４、青）
制約条件の対象：緑のセルを設定
制約のない変数を非負数にする：ｘ，ｙは非負なのでチェックを入れる
解決方法の選択：「ＧＲＧ非線形」を選択
「解決」をクリックすると、下左図が表示され、Excelの表が下右図のように変わります。
最適解（青）は、x=1.64, y=1.18 （Ｑ点）で、そのとき目的関数の値（赤）は 4.083 になり、制約条件（緑）は２つともネックになっていることがわかります。
「ソルバーの結果」で「ＯＫ」をクリックすると、この最適解の状態が保持され、「キャンセル」をクリックすると元の状態に戻ります。
Ｐ点の求解
初期値（青）を x=1.5, y=0 として、同様の操作をすると次の表になります。最適解（青）がＰ点になっています。
解の吟味
目的関数の値は、Ｐ点では４、Ｑ点では4.083ですから、Ｐ点は「最適解」ではありません。ソルバーでは、範囲全体を探索して唯一の最大値を求めるのではなく、たまたま限定した範囲で山の頂上があると、それが最大値だと認識して「最適値」としてしまうのです。
そのため、初期値を適切に設定することが必要になります。