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捕食-被食関係モデル（Lotka-Volterra equations）

キーワード

捕食-被食関係モデル、ロトカ・ヴォルテラの方程式（Lotka-Volterra equations）

ロトカ・ヴォルテラの方程式（Lotka-Volterra equations）

被食者と捕食者の個体数の変化に関するモデルです。
　被食者は、捕食者の個体数が増大すると、食べられる機会が増えるので、その個体数は減少します。
　捕食者は、被食者の数が増大すると、食料が豊富になり増大しますが、捕食が多くなると食料不足で減少します。
アルフレッド・ロトカとヴィト・ヴォルテラは、その関係を次の方程式で表現しました。

　　dx/dt =　ax - bxy
　　dy/dt = -cx + dxy

　　　　x：被食者の個体数
　　　　y：捕食者の個体数
　　　　　　xy：被食者と捕食者が遭遇する可能数
　　　　a：捕食者が存在しないときの被食者の増加率
　　　　　　av：捕食者が存在しないときの被食者増加数
　　　　b：捕食者に捕食される確率
　　　　　　bxy：捕食による被食者の減少数
　　　　　a-by：被食者の増加率
　　　　c：被食者が存在しないときの捕食者の減少率
　　　　　　cv：被食者が存在しないときの捕食者の減少数
　　　　d：被食者を捕食する確率
　　　　 　　dxy：捕食による捕食者の増加数
　　　　　-c+dy：捕食者の増加率

注意

被食者・捕食者の時間的推移

　　dx/dt =　ax - bxy,　dy/dt = -cx + dxy
を漸化式に変形すると、
　　x[t+dt] = x[t] + dx,　y[t+dt] = y[t] + dy
で計算できます。
　ここでは４次のルンゲ・クッタ法を用いているので、dx, dy は複雑な式になります。

a, b, c, d の値により、いろいろ変化しますが、x,y は同じ周期で x が先行する曲線になります。

標準ケース
a= b= c= d= 　　x0= y0= 
　　a　　b　　c　　d　　x0　y0
0  0.08 0.02 0.02 0.04  10  15     標準ケース 
1  0.08 0.02 0.02 0.04   5   4     平衡ケース 
2  0.1  0.1  0.1  0.1    2   2    
3  0.20 0.05 0.10 0.05  10   5

平衡点

平衡点とは、時間 t によらず、x, y が変化せず安定している状態です。
　dx/dt = 0 → x*(a - b*y) = 0
　　dy/dt = 0 → y*(-c + d*x) = 0
→ x = 0, y = 0　　　 被食者も捕食者も存在しない
　　x = c/d, y = a/b

この平衡点の上下、左右で dx/dt, dy/dt の正負が分かれます。
　　上側では、 dx/dt ＜ 0 になるので、時間が進むにつれ、x は減少、左側へ移動します。
　　左側にくると dy/dt ＜ 0 になるので、y は減少、下側へ移動します。
このように、時間の経過に伴い、(x, y) は平衡点を中心に反時計回りに移動します。
　　右上領域；　x ＞ c/d, y ＞ a/b →　dx/dt＜0、dy/dt＞０　→ dy/dx＜0
　　　　捕食者が増大すると捕食される機会が多く被食者が減少する　左上がり
　　左上領域：　x ＜ c/d, y ＞ a/b →　dx/dt＜0、dy/dt＜０　→ dy/dx＞0
　　　　被食者が減少すると捕食者は食料が減るので減少する　左下がり
　　左下領域：　x ＜ c/d, y ＜ a/b →　dx/dt＞0、dy/dt＜０　→ dy/dx＜0
　　　　捕食者が減少すると捕食される機会が減るので被食者が増大する　右下がり
　　右下領域：　x ＞ c/d, y ＜ a/b →　dx/dt＞0、dy/dx＞０　→ dy/dx＞0
　　　　被食者が増大すると捕食者は食料が増えるので増大する　右上がり

解曲線

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = x*(a-b*y)/y*(-c+d*x)
を積分すると、
　　F(x,y) = d*x - c*log(x) + b*y - a*log(y) + K 　　（ K は積分定数）
になります。

K の値により、F(x,y) は 平衡点(c/d, a/b) を中心とした等高線になります。
　この等高線が平衡点に近ければ、x,y の変化は小さく安定した状況になります。

a= b= c= d=
Kの値　
色