破産確率とは
Ａの当初の資金をｎ、Ａが勝つ確率（勝率）をｐとします。Ａが勝てばａ円をＢから貰い、負ければｂ円をＢに払うというゲームを行います。このとき、ｋ＝ａ／ｂのことを損益率といいます。
そして、Ａの所持金が
（幸運にも）ｍ円になる・・・このｍを目標金額という
（不幸にも）０円になる・・・破産するという
まで、勝負を続けるとします。
このとき、Ａがｍ円を得る以前に破産する確率を破産確率といい、Ｑ(ｎ) で表します。
この破産確率を求めるのが、ここでの目的です。
ｐ＝０.５、ａ＝ｂ＝１ならば、統計的には損得がないので、当初の資金ｎには無関係のように思われます。
ところが、実際には勝ち続けたり負け続けたりすることが多くあります。右のグラフは、乱数を用いて勝負を判定させ、上のゲームを、１００回行ったときの、Ａの持金の増減を示したものです（このような動きをランダムウォーク（酔歩）といいます）。
Ａが、豊富な資金をもっているならば、何度も行っているうちには、利益を得る機会は必ずあるので破産しないでしょう。ところが、資金が少ないとき（例えば８円しかもっていないときは）、このグラフのように初期に負けが続くと、破産してしまいます。
このように、公平な賭けでも資金が少ないと破産する確率が大きくなるのです。
損益率が同じときの定式化
まず、損益率が同じ場合でａ＝ｂ＝１のときを対象にします。
ある時点で所持金ｎを持ち破産していない確率は、１－Ｑ(n) です。
これは、前回に
勝ったことにより、ｎ＋１円を持ち破産していない確率： ｐ (１－Ｑ(n+1))
負けたことにより、ｎ－１円になったが破産していない確率：(１－ｐ) (１－Ｑ(n-1))
から生じているのですから、
１－Ｑ(n) ＝ ｐ (１－Ｑ(n+1)) ＋ (１－ｐ) (１－Ｑ(n-1))
すなわち、
Ｑ(n) ＝ ｐ Ｑ(n+1) ＋ (１－ｐ)Ｑ(n-1) ・・・★漸化式
の関係があります。
この漸化式の特性方程式は、
ｘ＝ｐｘ2＋(１－ｐ) ・・・★特性方程式
ですから、ｘ＝１、ｘ＝(１－ｐ)／ｐ（これをｒとします）の根を持ちます。
そして、Ａの所持金が０になるか、目的金額であるｍ円になったときに、この賭けを終了するので、
ｎ＝０：Ａは既に破産しているので、Ｑ(０)＝１
ｎ＝ｍ：Ａは既に目標金額を得ているので、Ｑ(ｍ)＝０
になります。
この結果、次の公式が得られます。
Ｑ(ｎ)＝１－ｎ/ｍ （p＝１／２のとき）
・・・★基本公式
ｒｎ－ｒｍ １－ｐ
Ｑ(ｎ)＝──── （ｒ＝───≠１） （p≠１／２のとき）
１－ｒｍ ｐ
派生公式
●Ｂの資金がＡと同じとき
ｍ＝２ｎですから、
ｒ＝１（ｐ＝０.５）のとき
Ｑ(ｎ)＝１－ｎ/２ｎ＝０.５
ｒ≠１（ｐ≠０.５）のとき
ｒｎ－ｒ２ｎ ｒｎ(１－ｒｎ) ｒｎ
Ｑ(ｎ)＝────── ＝ ────────── ＝ ────
１－ｒ２ｎ (１＋ｒｎ)(１－ｒｎ) １＋ｒｎ
●Ｂの資金が非常に大きいとき
ｒ＝１（ｐ＝０.５）のとき
Ｑ(ｎ)＝１－ｎ/ｍ＝１
ｒ＞１（ｐ＜０.５）のとき
ｒｍ→∞ になるので、
ｒｎ－ｒｍ ｒｎ－ｒｍ ｒｎ
Ｑ(ｎ)＝────── ＝ ───── ＝ １－ ── ＝ 1
－ｒｎ－ｍ → １
１－ｒｍ －ｒｍ ｒｍ
ｒ＜１（ｐ＞０.５）のとき
ｒｍ→０ になるので、
ｒｎ－ｒｍ
Ｑ(ｎ)＝───── ＝ ｒｎ－ｒｍ → ｒｎ
１－ｒｍ
数値例と分析（参照：「破産確率のシミュレーション」）
●例１ 対等なとき
ＡもＢも当初の資金は１００円、賭金は１円、Ａの勝率が１／２のとき。すなわち、ＡとＢが同等であり、一方が破産するまで行うものとします。
Ａについていえば、ｎ＝１００、ｍ＝２００、ｐ＝０.５になります。
「Ｂの資金がＡと同じとき」の「ｐ＝０.５」より、
Ｑ(ｎ)＝０.５
となります。これは当然でしょう。
●例２ 資金豊富な相手
他の条件は例１と同じで、Ｂの当初資金が９００円、すなわちｍ＝１,０００としたとき。
Ｑ(ｎ)＝１－ｎ／ｍ＝１－１００／１０００＝０.９
となります。すなわち、同等な賭けをしているのに、９０％の確率で破産してしまうのです。相手が無限の資金を持っていれば、破産確率は１００％になり、必ず破産することになります。
［教訓］資金が豊富な相手と賭けをするときは、同等な条件でも破産する確率が高くなる。
これは、冒頭のランダムウォークの説明からも納得できましょう。
●例３ 勝率がわずか不利のとき
他の条件は例１と同じで、勝率ｐ＝０.４９としたとき。
「Ｂの資金がＡと同じとき」「ｐ≠０.５」ですから、
ｒｎ
Ｑ(ｎ)＝────
１＋ｒｎ
を用います。
この例では、ｐ＝０.４９ですから、ｒ＝０.５１／０.４９、(０.５１／０.４９)１００＝５４.６です。
５４.６
Ｑ(ｎ)＝────── ＝ ０.９８２
１＋５４.６
となります。勝率が５０％から４９％に下がっただけなのに、破産確率は５０％から９８.２％へと急激に増加するのです。
［教訓］勝率がわずかでも不利な賭けを続けると、破産確率は非常に大きくなる。
●例４ 勝率が不利で賭金を２倍にしたとき
例３で、賭金を１円ではなく２円にしたらどうなるでしょうか。
この場合は、ｎ＝５０、ｍ＝１００としたことと同じです。
(０.５１／０.４９)５０＝７.３９ですので、Ｑ(ｎ)＝０．８８１ になります。すなわち、賭金を２倍にしたら、破産確率は小さくなるのです。
極端な例として、賭金が１００円で１回勝負をするならば、Ａの破産確率は５１％です。
［教訓］勝率が不利な場合は、１回勝負に出るのが最も安全である。
逆に、勝率が有利ならば、賭金を小さくせよ。
損益率が異なるとき
損益率ｋ（＝ａ／ｂ）≠１のとき、すなわち、勝ったときの金額ａと負けたときの金額ｂが異なるときの破産確率を考えます。
ここでは、相手Ｂは、カジノの胴元や金融市場のように、非常に大きい資金をもつ相手であるとします。
また、ｐ≦b/(a + b) だと、毎回損をするので、必ず破産してしまいます。それで、ｐ＞b/(a + b)のときだけを扱います。
ｋ＝１（ａ＝ｂ＝１）のときの定義公式を導く漸化式は、
Ｑ(n)＝ｐＱ(n+1)＋(１－ｐ)Ｑ(n-1)
となります。このときの 特性方程式は、
ｘ＝ｐｘ2＋(１－ｐ)
となります。ｘ＝１とr (０＜ｒ＜１）の二つの解がありますが、ｘ＝ｒを採用します。
これにより、定義公式および「Ｂの資金が非常に大きいとき」の「ｒ＜１（ｐ＞０.５）」での派生公式、
Ｑ(ｎ)＝ｒｎ
が得られたのです。さらに例４の説明から、賭金をｂ円とするならば、
Ｑ(ｎ)＝ｒｎ/b
であることを知りました。
ｋ≠１の場合は、上の関係を発展させて、
漸化式： Ｑ(n)＝ｐＱ(n+k)＋(１－ｐ)Ｑ(n-1)
になるので、
特性方程式： ｘ＝ｐｘk+1＋(１－ｐ)
が得られます。
この方程式の０＜ｘ＜１での解をｒとすると、
Ｑ(ｎ)＝ｘｎ/b
となることが類推できます。
数値例と分析（参照：「破産確率のシミュレーション」）
●例５ ｋ＝１での確認
資金ｎ＝１０、勝率ｐ＝０.６、損益率ｋ＝１（ａ＝ｂ＝１）のときの破産確率はどうなるでしょうか。
まず、「損益率が同じ」「Ｂの資金が非常に大きいとき」「ｒ＜１（ｐ＞０.５）」の式、
Ｑ(ｎ)＝ｒｎ
で計算してみます。ｒ＝０.４／０.６＝１.５ですから、
Ｑ(ｎ)＝ｒｎ＝１.５１０＝０.０１７３
すなわち、１７.３％になります。
次に、「損益率が異なるとき」の手順で行ってみましょう。
特性方程式
ｘ＝ｐｘk+1＋(１－ｐ)
は、次の式になります。
ｘ＝０.６ｘ2＋０.４
０＜ｘ＜１での解は、ｘ＝０.６６７になります。
このｘと、ｎ＝１０、ｂ＝１を
Ｑ(ｎ)＝ｘｎ/b
に代入すれば、０.６６７１０＝０.０１７３
となり、両者は一致します。
●例６ ｋ≠１の場合
資金ｎ＝１０、勝率ｐ＝６０％、損益率ｋ＝２（ａ＝１、ｂ＝２）の場合はどうなるでしょうか。
特性方程式、
ｘ＝０.６ｘ３＋０.４
の根は、ｘ＝０.４５７になります。
Ｑ(ｎ)＝ｘｎ/b＝０.４５７５＝０.０１９９
すなわち、約２％（ほとんど破産しない）になります。
（こんなに条件のよい賭けならば当然でしょう）
●例７ 賭金の影響
例６で、損益率ｋ＝２なのですが、ａ＝２、ｂ＝４としたらどうなるでしょうか。
特性方程式は同じですので、ｘ＝０.４５７は変わりませんが、ｎ／ｂ＝１０／４＝２.５になります。
Ｑ(ｎ)＝０.４５７２.５＝０.１５６ → １５.６％
すなわち、かなり条件のよい賭けでも、賭金が大きいと破産確率が大きくなることがわかります。
ここでも、例３の教訓「勝率が有利ならば、賭金を小さくせよ。」が生きています。
破産確率表
ここで紹介した破産確率は、（公営を除き賭博は禁止されていますので）最も活用されているのは、株取引や先物取引などの分野です。金融工学の基本にもなっており、高度な理論や統計学的なデータ活用が行われています。
次の表は、どのような前提でどのように定式化したのか私はしらないのですが、バルサラの破産確率表として、株取引や先物取引などではポピュラーなもの（らしい）です。
私はこの分野には疎いのですが、一般に破産確率が１％以内であることが健全だといわれているそうです。
例えば、１００万円の投資をして、２００万円になる（損益率＝２）ような投資があるとき、それが当たる確率（勝率）が６０％以上ならば、破産確率は０に近いので、安心して投資してもよいが、５０％以下のときは、慎重になるべきだと読むことができます。