問題の理解
問題
１単位生産した販売すると１億円の利益がある製品を生産する工場建設計画があります。対象期間を前半・後半に分けて次の３つの案があります。
① 当初から生産能力３００単位の工場（大規模）を建設する。建設費用１００億円。
② 当初は１００単位の規模（小規模）にして，増強しない。建設費用５０億円。
③ 当初は１００単位の規模（小規模）にして，後半で増強する。追加建設費用８０億円。
前半・後半の需要は次のように確率的に予測されています。
確率 需要予測 前半：好況 ０.４ １３０ 不況 ０.６ ８０ 後半：好況 ０.７ ２００ 不況 ０.３ １００
期待利益を最大にするために，当初に大規模にするか小規模にするかを決定しなさい。
この問題は，「当初投資の決定→前半の景気→後半投資の決定→後半の景気」の順序で発生しており，意思決定と不確実事象が複数回繰り返される特徴があります。このような問題を多段階意思決定の問題といいます。
デシジョンツリーによる解法
多段階意思決定問題の解法の代表的なものにデシジョンツリーがあります。その手順を説明します。
デシジョンツリーの作成
上記の問題を下図のように図示します。横から見ると，最初の決定を根として枝分かれしているように見えますので，これをデシジョンツリー（決定木）といいます。意思決定を□，不確実事象を○で表します。
右から計算
このツリーから計算するには，右から計算することがポイントです。
○不確実事象の扱い
まず，Ｆの付近を取り上げます。Ｆで後半が好況の確率は０.７で，それが実現したときの利益は２００億円ですから，その期待値は０.７×２００＝１４０億円になります。同様に，不況のときの期待値は３０億円になります。それでＦ点直前での期待値は１４０＋３０＝１７０億円になります。
同様にＧの直前での期待値も１７０億円になります。
Ｂの好況のときは，後半に１７０億円の期待利益があり，前半では１３０億円の利益があるのですから，全期を通して１７０＋１３０＝３００億円の利益となります。その確率が０.４ですから，前半が好況のときの全期を通しての期待値は，０.４×３００＝１２０億円になります。同様に不況のときの期待値は，０.６×（１７０＋８０）＝１５０億円となり，Ｂ点直前では１２０＋１５０＝２７０億円になります。
次にＨ点付近を取り上げます。Ｈのときは，小規模投資のままですので，需要が２００単位あっても能力が１００単位ですので利益は１００億円，期待値は０.７×１００＝７０億円になります。不況のときの期待値は０.３×１００＝３０億円ですから，Ｈ点直前での期待値は７０＋３０＝１００億円になります。同様にＩ点直前の期待値は１７０億円となります。
ここでＤで「投資せず」のときは，費用はかからないのですから，Ｈ点直前の期待値１００億円がそのまま「投資せず」の期待値になります。それに対して「投資する」ではＩ点直前の期待値は１７０億円ですが，追加投資費用が８０億円ですから，「投資する」の期待値は１７０－８０＝９０億円になります。
□意思決定の扱い
Ｇ点では，「投資せず」を選択すれば利益の期待値が１００億円で，「投資する」を選択すれば９０億円になります。当然，経営者は「投資せず」を選択します。
このように，意思決定点□では，そこから右に複数の線が出ているとき，期待値が最大であるものを選択し，その最大値が□の直前の期待値にになります。
それでＤ点直前の期待値は最大であった１００億円になります。このとき，こちらを選択したことを記録するために，Ｄ－Ｈを太線にしておきます。
全体の計算
Ｅ点付近の計算は，Ｄ点付近の計算と同様に行うことができます。
- Ｈ直前の１００億円になります。
- Ｉ直前の期待値は１７０億円になりますが投資額が８０億円ですのでＤ直後の期待値は１７０－８０＝９０億円になります。
- それで意思決定点Ｄでは「投資せず」になり，Ｄ点直前の期待値は１００億円になります。
Ｃ点の前後では次のようになります。
- 好況のときは，後半（Ｄ直前）の期待値は１００億円，前半は需要は１３０あるのに工場能力が１００しかないので，前半の利益は１００億円になります。それで全体では１００＋１００＝２００億円になります。
- 好況になる確率は０.４なので，好況になるときの期待値は０.４×２００＝８０億円になります。
- 不況のときは，０.６×（１００＋８０）＝１０８億円の期待値になります。
- それで，Ｃ点直前の期待値は８０＋１０８＝１８８億円になります。
Ａの直後を考えます。
大規模投資の期待値は，Ｂ直前の期待値２７０億円から投資費用の１００億円を引いて１７０億円になります。
当初に小規模投資をするときは，Ｃ点直前の期待値１８８億円から投資費用の５０億円を引いて１５０億円になります。
大規模の期待値１７０億円＞小規模の期待値１５０億円 ですから，Ａ点での意思決定では，大規模投資が有利となります。なお，Ａ点で大規模にするのですから，Ｄ点やＥ点の意思決定は関係ないことになります。
調査費用の問題
同じような問題をもう一つやってみましょう。
生産設備の大規模計画と小規模計画があります。大規模計画では建設費用が１００億円かかりますが，景気が好況ならば２００億円，不況では１００億円の利益が期待できます。小規模計画では，建設費用は５０億円ですが好況でも不況でも１００億円の利益になります。なお，経営者は経験やカンにより，好況になる確率を７０％，不況になる確率を３０％と見込んでいます（下左表）。
そのときの利益の期待値は，
好況のとき 不況のとき 建設費用 期待値
大規模：０.７×２００＋０.３×１００－１００ ＝ ７０ ←最大
小規模：０.７×１００＋０.３×１００－ ５０ ＝ ５０
となるので，このときの期待値は７０億円となります。
景気の動向を調査しようという意見がありました。経営者は調査をしても，好況と予報したときに当たる確率は９０％になりますが，不況と予報したときに当たる確率が６０％であると思っています（下右表）。調査にどれだけの費用をかけることが正当化されるでしょうか。
| 景気と収入 | 好況 | 不況 | 建設費用↓ 主観確率→ | ０.７ | ０.３ |
|---|---|---|---|
| 建設計画 | 大規模：１００ | ２００ | １００ |
| 小規模： ５０ | １００ | １００ | |
| 実際の景気 | 好況 | 不況 | |
|---|---|---|---|
| 景気調査 の結果 |
好況 | ０.９ | ０.１ |
| 不況 | ０.４ | ０.６ | |
デシジョンツリーの作成
デシジョンツリーは下図のようになります。
調査した結果が好況となるか不況となるかは，調査をしなければわかりませんが，経営者は好況になる確率を７０％と思っているのですから，その調査でも好況と報告する確率は７０％であると考えるのが妥当でしょう。また，その調査報告を聞いてから建設規模を決めるのですが，報告が好調となっても，実際に好況である確率は９０％であり，１０％は不況の場合があります。
その結果は上図のようになり，調査をしないときの期待値は７０億円で，調査をしたときの期待値は７８億円になります。それで調査費用は８億円以下であればよいことになります。
簡単に説明をしておきます。
調査をしないとき
- 大規模投資をしたときは，利益の期待値は０.７×２００＋０.３×１００＝１７０億円で，建設費が１００億円ですから，１７０－１００＝７０億円の利益になります。
- 小規模投資のときは，０.７×１００＋０.３×１００－５０＝５０億円になります。
- それで「大規模投資をする」決定を行い，その期待値は７０億円になります。
調査をするとき
Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈの直前
- Ｅ点直後で好況のとき：調査結果が「好況」であるとき，本当に好況である確率は０.９ですから，好況になるときの期待値は０.９×２００＝１８０億円になります。
- 同様にＥ点直後で不況のときの期待値は，０.１×１００＝１０億円になります。
- それで，Ｅ直前の期待値は１８０＋１０＝１９０億円になります。
- 同様にして，Ｆ，Ｇ，Ｈ直前の期待値は上図のようになります。
Ｃ・Ｄ直前
- Ｃで大規模にしたときは，Ｅ直前の利益１９０億円を得るのに建設費用１００億円なので，１９０－１００＝９０億円になります。
- 同様に，小規模にしたときは，１００－５０＝５０億円。
- 従って，Ｃでは「大規模」にするので，Ｃ直前の期待値は９０億円になります。
- 同様にＤでは，「小規模」にするので，Ｄ直前の期待値は５０億円。
Ｂ直前
- 調査結果はやらなければ不明ですが，経営者は０.７の確率で好況になると思っているのですから，調査結果が「好況」となる確率は０.７であると経営者は予想するでしょう。
- それで，「好況」の報告がきたときの期待値は０.７×９０＝６３億円となり，「不況」の報告がきたときの確率は０.３×５０＝１５億円になり，Ｂ直前の期待値は６３＋１５＝７８億円になります。
詳細は省略しますが，このような考え方をベイズの理論といいます。主観確率と客観確率がうまく組み合わされていることが理解できるでしょう。