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顧客が商品を購入するとき，価格，品質，体裁などいくつかの評価項目があります。このとき，価格に７０％，品質に１０％，体裁に２０％というような重みをつけて，商品Ａでは価格が３点，品質が４点，体裁が４点，商品Ｂでは，それぞれ５点，３点，２点というような点数をつけて，次のような表を作り，それらの総合点を計算して，総合点の最大のもの（ここでは商品Ｂ）を選択するという方法がよくとられます。
重み 商品Ａ 商品Ｂ 商品Ｃ 商品Ｄ
価格 ０.７ ４ ５ ３ ２
品質 ０.１ ２ ３ ５ ５
体裁 ０.２ ３ ２ ３ ４
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
合計 ３.６ ４.２ ３.２ ２.７
（商品Ａ：０.７×４＋０.１×２＋０.２×３＝３.６ のように計算）
ここで問題が起こります。この重みや数値をどのように決定するのでしょうか？
それよりも，「価格と品質のうち，どちらが重要か？」とか，「品質の観点では，商品Ａと商品Ｂのどちらが優れているか？」というほうが，答えやすいですね。
一対比較法とは，「価格と品質」「価格と体裁」「品質と体裁」のように，２つずつについて，どちらがどの程度重要かを与えることにより，統計的な方法で重み付けを計算する方法です。
価格，品質，体裁の重み付けについて，一対比較法を適用してみましょう。
「価格と品質」を例にすれば，価格に比べて品質が
品質 価格
同程度である １ １
やや重要である ３ １／３
重要である ５ １／５
かなり重要である ７ １／７
絶対的に重要である ９ １／９
のポイントを与えます。
ここでなぜ，１，３，５・・・とするのか，相手をなぜ逆数にするのかの疑問を持つでしょう。前者に関しては，研究により，いくつかの数列が提唱されており，これもその一つです。相手側を逆数にするのは，それによる行列に逆数対称性を持たせることが，計算も容易になり理論的にも優れていることが知られているからです。これらの理論は私たちの能力を超えていますので，ここでは「そのようなものか」としておきましょう。
例えば，
価格と品質は，品質のほうが，重要である
価格と体裁は，価格のほうが，かなり重要である
品質と体裁は，体裁のほうが，やや重要である
と評価したのであれば，上の基準により，次の表ができます。
価 格 品 質 体 裁
価格 １ ５ ７
品質 １／５ １ １／３
体裁 １／７ ３ １
この計算方法は後で説明しますが，結果として，
価格：０.７３８，品質：０.０９２，体裁：０.１７０
の重み付けが得られます。
次に，商品選択について考えます。評価項目として価格を例にします。
価格について，商品ＡとＢ，ＡとＣ，というように，２つずつどちらがどの程度優れているかの表を作ります。
その結果，次の表が作成できたとします。
商品Ａ 商品Ｂ 商品Ｃ 商品Ｄ
商品Ａ １ ３ １／５ ３
商品Ｂ １／３ １ ３ ５
商品Ｃ １／５ １／３ １ １／５
商品Ｄ １／３ １／５ ５ １
これも，先の評価基準と同様な計算により，
価格：商品Ａ＝０.２５７，商品Ｂ＝０.２９９，商品Ｃ＝０.２３２，商品Ｄ＝０.２１２
となります。他の評価基準についても，同様に
品質：商品Ａ＝０.１６３，商品Ｂ＝０.３６４，商品Ｃ＝０.１８０，商品Ｄ＝０.２９３
体裁：商品Ａ＝０.２７７，商品Ｂ＝０.３２４，商品Ｃ＝０.１４８，商品Ｄ＝０.２５１
と計算できたとします。
これらは，各評価項目に関する各商品の優れた程度だといえますので，先の「得点」だと解釈することができます。それで，次の表ができます。
評価項目 重み 商品Ａ 商品Ｂ 商品Ｃ 商品Ｄ
価格 0.738 0.257 0.299 0.232 0.212
品質 0.092 0.163 0.364 0.180 0.293
体裁 0.170 0.277 0.324 0.148 0.251
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
合計 0.252 0.309 0.213 0.226
上の例で，レベル１として，評価項目間，レベル２として，各項目に関して商品間の比較をしていますが，どちらも同じ論理であることに留意してください。
例えば，品質を「機能」や「大きさ」に細分化することもありますし，商品Ａをデスクトップパソコン，商品Ｂをノートパソコンのような商品グループだとして，商品Ａを銘柄に細分化することもありましょう。それらを一般化すれば，多階層における評価項目の重要度を一対比較法により求める問題になります。
ＡＨＰ（Analytic Hierachy Process：多段階意思決定法）とは，このような問題を解決するための数学的方法の一つです。
上の例でもわかるように，ＡＨＰには次の特徴があります。
ＡＨＰは，心理学や官能検査などの研究から始まったのですが，数値化するのが困難な多段階での評価項目間の重要度を求める問題は多く，現在では広い分野で用いられています。ビジネスでは，上記例のような商品選択以外に，次のような適用があります。
ＡＨＰの基礎となるのは一対比較法です。一対比較法は，一対の比較結果を行列の形式にして，それから重要度ベクトルを算出する手順です。
上記例でいえば，行列
から，重要度ベクトル，
｛０.７３８，０.０９２，０.１７０｝
を算出する手順です。
その解法には，固有値法，幾何平均法，誤差法などいろいろあります。計算手順としては幾何平均法が簡単なのですが，意味の理解や応用性では固有値法が優れていますので，ここでは固有値法を使います。
では，そもそも固有値，固有ベクトルとは何か？ 詳しいことは省略して・・・
Ａｖ＝λｖ （Ａは正方行列，ｖはベクトル，λは定数）
の関係があるとき，λを固有値，ｖを固有ベクトルといいます。
そして，λは行列式
det｜Ａ－λＥ｜＝０ （Ｅは単位行列）の解として求められます。
次元がｎのときは，ｎ個の固有値と固有ベクトルがありますが，絶対値が最大の固有値（上の場合では５）を主固有値，そのときの固有ベクトルを主固有ベクトルといいます。
行列がｎ次元ですと，λを求めるのにｎ次元方程式を解くことになりますので，一般的には式の変形で解くのは困難になります。それで，いろいろな数値解法がありますが，ここでは「べき乗法」を，理論なしで紹介します。これにより，主固有値と主固有ベクトルが得られ，主固有ベクトルの要素合計が１になるよう調整されています。これが上記での「重要度ベクトル」になります。
ここでは一般の行列で説明しましたが，逆数対象行列は，その構造の特徴により計算が簡単で誤差が少なくなるという特徴があります。また，主固有値および主固有ベクトルの全要素が正数になることが数学的に証明されています。これが，重要度の弱いほうを強いほうの逆数にする理由でもあります。
これをどのように解釈するかは，物理的な事項により異なりますが，行列Ａの特徴を示すベクトルであることが理解できるでしょう。そして，主固有値は最大の伸びを示すものですから，その特徴を最も表していることになります。
一対比較でも比較できない場合があります。これはほとんど同等で差別が付けられないというのではなく，例えば，マラソンの選手とフィギュアスケートの選手を比較するように評価基準が異なる場合や，評価者が比較できる情報を持っていない場合です。
このときは（理論は省略しますが），
比較できない要素およびその対象要素を０とする。
その行の対角要素に１を加える。
とすればよいのです。
例えば，価格に関する各商品のうち
商品Ａと商品Ｂの評価ができない（★）
商品Ｃと商品Ａの評価ができない（●）
の場合，すなわち下表のとき，
商品Ａ 商品Ｂ 商品Ｃ 商品Ｄ
商品Ａ １◆ ★ ○ ３
商品Ｂ ☆ １◇ ３ ５
商品Ｃ ● １／３ １▲ １／５
商品Ｄ ３ １／５ ５ １
★について
★要素と☆要素を０にする。
★要素の行の対角要素◆に１を加える（１＋１＝２になる）
☆要素の行の対角要素◇に１を加える（１＋１＝２になる）
●について
●要素と○要素を０にする。
●要素の行の対角要素▲に１を加える（１＋１＝２になる）
○要素の行の対角要素◆に１を加える（２＋１＝３になる）
その結果，次のようになります。
商品Ａ 商品Ｂ 商品Ｃ 商品Ｄ
商品Ａ ３ ３
商品Ｂ ２ ３ ５
商品Ｃ １／３ ２ １／５
商品Ｄ ３ １／５ ５ １
入力を容易にするために，次の工夫をしました。
入力値 本文での値
５ Ｂのほうが「絶対的に重要」 １１
４ Ｂのほうが「極度にに重要」 ９
３ Ｂのほうが「かなり重要」 ７
２ Ｂのほうが「重要」 ５
１ Ｂのほうが「やや重要」 ３
０ ＡとＢが「同等」 １
－１ Ａのほうが「やや重要」 １／３
：
－５ Ｂのほうが「絶対的に重要」 １／１１
空白 「比較できない」
すなわち，タテに大きな正数がある特性が重要度が高いことになります。
本文の例では，「価格」「品質」「体裁」の重みを計算するだけのケースです。
レベル１の部分だけを入力します。
本文の例では，次のように入力します。
特性個数 ３
Ｂ：特性１ Ｂ：特性２ Ｂ：特性３ Ｂ：特性４
Ａ：特性２ ２
Ａ：特性３ ３ －１
その結果は「計算」の次の行に表示されます。
固有値＝３.２３３ ベクトル ０.７３８ ０.０１９ ０.１７０
すなわち，「価格」「品質」「体裁」の重みがそれぞれ，０.７３８，０.０１９，０.１７０とすればよいことがわかります。
本文の例は，次のように入力した結果です。
特性１について
候補１ 候補２ 候補３
候補２ １
候補３ －２ １
候補４ １ ２ －２
特性２について
候補１ 候補２ 候補３
候補２ １
候補３ －３ １
候補４ －２ ３ －３
特性３について
候補１ 候補２ 候補３
候補２ １
候補３ ３ －１
候補４ －２ ４ －１
各特性について「計算」をするたびに，「レベル２の結果」の表が作成されていきます。この表の説明は不要でしょう。
レベル１，２ともに，入力データを変更したときは，直後の「計算」ボタンをクリックしてください。そのたびに「レベル２の結果」の表が更新されます。
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