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集合の用語と記号

キーワード

集合、補集合、和集合、積集合、直積


記号名称・内包的定義・意味例示
a∈A 所属関係
aはSの元である
 
A⊂B 包含関係、真部分集合
Tの全元はSに含まれる
A={2,4}、B={1,2,3,4,5}のとき
A⊂Bが成立する
A=B 恒等関係
AとBは同じ元からなる
A={2,4}、B={2,4}のとき、
A=Bが成立する
補集合 U-A
Aに所属しない元
U={1,2,3,4}、A={2,4}のとき
={1,3}
A∪B 和集合 {x|x∈A ∨ x∈B}
少なくとも一方に所属する元
A={1,2,3}、B={2,3,4}のとき
A∪B={1,2,3,4}
A∩B 積集合  {x|x∈A ∧ x∈B}
AとBの両方に所属する元
A={1,2,3}、B={2,3,4}のとき
A∩B={2,3}
A-B 差集合 {x|x∈A ∧ ¬x∈B}
Aに所属しBに所属しない元
A={1,2,3,4}、B={1,3,5}のとき
A-B={2,4}、B-A={5}
A×B 直積 {(a,b)| a∈A ∧ b∈B}
Aの元とBの元の組み合わせ
A={1,2,3}、B={p,q}のとき
A-B={(1,p),(2,p),(3,p),(1,q),(2,q),(3,q)}

集合での計算

ほとんど論理計算と同じですが、異なる点もあります。

交換則
A∪B⇔B∪A、 A∩B⇔B∩A
結合則
(A∪B)∪C⇔A∪(B∪C)、 (A∩B)∩C⇔A∩(B∩C)
分配則
A∪(B∩C)⇔(A∪B)∩(A∪C)、 A∩(B∪C)⇔(A∩B)∪(A∩C)
吸収則
A∪(A∩B)⇔A、 A∩(A∪B)⇔A
ド・モルガンの法則
(A∪B)⇔A∩B、 (A∩B)⇔A∪B
空集合φを含む公式
A∪φ=A、 A∩φ=φ、 A-φ=A、 A×φ=φ、 A⊃φ
φ-A=φ
普遍集合Uを含む公式
∪と紛らわしいので、「全」と表記します。
A∪全=全、 A∩全=A、 全-A=A、 全⊃A、 A∪A=全
A-全=A