システムの信頼性

機器ＡとＢがあり、それぞれの稼働率（信頼性）をＡ、Ｂとします。図のように機器を接続したとき、全体（システムとか系という）の稼働率を求めます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌───┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌┤　Ａ　├┐
　　　　　┌───┐　┌───┐　　　　　　│└───┘│
　　　　─┤　Ａ　├─┤　Ｂ　├─　　　　─┤　　　　　├─
　　　　　└───┘　└───┘　　　　　　│┌───┐│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└┤　Ｂ　├┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└───┘

　　　　　　　　　直列　　　　　　　　　　　　　　並列

直列 Ａ×Ｂ

ＡとＢの両方が稼働しているとき、システムが稼働していることになります。
システムの稼働率は、Ａ×Ｂになります。
もし、Ｒ＝Ａ＝Ｂ＝０.８ならば、Ｒ^２＝０.６４になります。

並列　１－（１－Ａ）（１－Ｂ）

Ａ・Ｂのうち、少なくとも１方が稼働しているとき、システムが稼働していることになります。
両方が故障している確率は（１－Ａ）×（１－Ｂ）ですので、システムの稼働率は、１－（１－Ａ）（１－Ｂ）になります。
Ｒ＝Ａ＝Ｂ＝０.８ならば、１－（１－Ｒ）^２＝０.９６になります。

これの応用として、ポピュラーなものを掲げます。

直列・並列の組合せ

図のように２つのＣＰＵ（Ａ）と２つのメモリ（Ｂ）を並列においたときの稼働率は、次のようになります。
　｛１－（１－Ａ）^２｝｛１－（１－Ｂ）^２｝
　　　　　┌───┐　　　┌───┐
　　　　┌┤　Ａ　├┐　┌┤　Ｂ　├┐
　　　　│└───┘│　│└───┘│
　　　─┤　　　　　├─┤　　　　　├─
　　　　│┌───┐│　│┌───┐│
　　　　└┤　Ａ　├┘　└┤　Ｂ　├┘
　　　　　└───┘　　　└───┘

２of３

３台の機器を並列に接続し、少なくとも２台が稼働している場合です。
・３台がすべて稼働している確率：Ｒ^３
・２台が稼働し、１台が故障している確率：３Ｒ^２（１－Ｒ）
　　　（故障機器がＡの場合、Ｂの場合、Ｃの場合の３通りがあるので３を乗じる） それで、求める確率は、
　　　Ｒ^３＋３Ｒ^２（１－Ｒ）＝Ｒ^２（３－２Ｒ）
となります。