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被食者と捕食者の個体数の変化に関するモデルにロトカ・ヴォルテラの方程式があります。
被食者は、捕食者の個体数が増大すると、食べられる機会が増えるので、その個体数は減少します。
捕食者は、被食者の数が増大すると、食料が豊富になり増大しますが、捕食が多くなると食料不足で減少します。
dx/dt = ax - bxy
dy/dt = -cx + dxy
x：被食者の個体数
y：捕食者の個体数
xy：被食者と捕食者が遭遇する可能数
a：捕食者が存在しないときの被食者の増加率
av：捕食者が存在しないときの被食者増加数
b：捕食者に捕食される確率
bxy：捕食による被食者の減少数
a-by：被食者の増加率
c：被食者が存在しないときの捕食者の減少率
cv：被食者が存在しないときの捕食者の減少数
d：被食者を捕食する確率
dxy：捕食による捕食者の増加数
-c+dy：捕食者の増加率
上式から、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (ax - bxy)/(-cx + dxy)
積分すると、
F(x,y) = d*x - c*log(x) + b*y - a*log(y) = K （ K は積分定数）
になります。
K の値により、F(x,y) は 平衡点(c/d, a/b) を中心とした等高線になります。
右上領域； x ＞ c/d, y ＞ a/b → dx/dt＜0、dy/dt＞０ → dy/dx＜0
捕食者が増大すると捕食される機会が多く被食者が減少する 左上がり
左上領域： x ＜ c/d, y ＞ a/b → dx/dt＜0、dy/dt＜０ → dy/dx＞0
被食者が減少すると捕食者は食料が減るので減少する 左下がり
左下領域： x ＜ c/d, y ＜ a/b → dx/dt＞0、dy/dt＜０ → dy/dx＜0
捕食者が減少すると捕食される機会が減るので被食者が増大する 右下がり
右下領域： x ＞ c/d, y ＜ a/b → dx/dt＞0、dy/dx＞０ → dy/dx＞0
被食者が増大すると捕食者は食料が増えるので増大する 右上がり