検索対象を特定のＷｅｂサイトに限定した検索窓をＷｅｂページに作成する方法です。
検索窓から検索情報をGoogle検索エンジンのサイトに送り、検索そのものはGoole側で行い、その結果を送り返すしくみです。
これには二つの方法があります。
ＨＴＭＬフォームの利用
Google Custom Search
Googleは、これまでにも検索窓作成のために、多様な手段を公開提供してきましたが、Google Custom Searchに統合し、それへの移行を進めています。「ＨＴＭＬフォームの利用」は手軽で広く利用されているので、存続するらしいです。
大規模ビジネス用のＷｅｂページや有料閲覧のページなど以外のページに検索窓を設置するには、無料ですが、原則として、Googleから「検索エンジンＩＤ」（123456789:abcdefghijのような形式）を取得する必要があります。
検索エンジンＩＤは、Googleのサイト「検索エンジンＩＤ」 https://support.google.com/customsearch/answer/2649143から取得できます。
標準的な検索機能だけでカスタマイズはできません。
Googleの参照サイト「ＨＴＭＬフォームを使用した検索ボックスの作成」
https://support.google.com/customsearch/answer/1351747?hl=jaで公開しているＨＴＭＬのFormコードをＨＴＭＬに組み込むだけで実現できます。
限定Ｗｅｂサイトだけでなく、Ｗｅｂ全体を対象にすることができます。
通常の用途ならば、手軽なこの方法で十分でしょう。
原則的には検索エンジンＩＤが必要ですが、実際には、それがなくても利用できるようです。
これには次の２つがあります。どちらも検索エンジンＩＤが必須です。
Custom Search Elements
Custom Search Element Control
検索エンジンＩＤについて
私は理解が不十分なのですが、検索エンジンＩＤは検索対象Ｗｅｂサイトごとに必要なようです。
検索エンジンＩＤを指定すると、検索対象Ｗｅｂサイトが自動的に決まります。
また、自分のサイトだけでなく、第三者のサイトを対象とすることもできそうです。
実装例について
まだよく勉強をしていません。Googleサイトでの例示を、単純にコピー・ペーストしただけの状態です。
参照：Google「Custom Search Element V2」
http://www.crystal-creation.com/web-appli/technical-information/web-api/google/search/web/custom-search/v2.htm
検索機能は、標準的なスクリプトが指定されるのですが、ＨＴＭＬ側での指定が多様になります。
「ＨＴＭＬフォームの利用」では、ＦＯＲＭ内で検索窓が固定し結果は他ファイルに標準的な表示がされていましたが、Custom Search Elementsでは、検索窓と表示位置（ページ内に表示）を分離したり、表示形式を指定したりできます。
Custom Search Element Control API は、Custom Search Elementsの各種パラメタをJavascriptで指定するためのＡＰＩです。
Custom Search Elementsをベースにして、多様なオプション機能を実現するスクリプトを記述するためのＡＰＩが示されています。