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物理 力学 階段



速度が大きいと、階段を超えて直接に床に落下します。

速度が小さいと、階段の途中で止まってしまい、床に到達しません。

適当な速度だと、階段で1バウンドして床に到達します。

では、階段で2バウンドして床に到達する速度を与えてください。
(速度以外の条件を変更することもできます)
速度[m/s]=
階段の高さ[m](0<h≦1.5)=
階段の長さ[m](0<d≦3)=
反発係数[-](0<q≦1)=

(解説と解答)

変数(与件)  vx [m/s] 水平方向速度
 g = 9.8[m/s2] 重力加速度
 h [m] 階段の高さ
 d [m] 階段の長さ
 q {m] 反発係数

階段のレベルを y = 0 とする。階段の上の球の位置は (0,h) である。
 ここから水平に投げたときのt秒後の位置は、次式で与えられる。
  x = vx*t; y = h - (1/2)*g*t2

階段のレベルに達するまでの時間は、t = √(2h/g)、そのときのxは、x = vx* √(2h/g) であるから、階段を超えて直接に床に落下する条件は、
  d ≦ vx* √(2h/g) 、すなわち、vx ≧ d/√(2h/g) ・・・(式1)
となる。

t秒後の鉛直方向の速度vyは、vy = -gt であり、階段に到達したときの速度は、
  vy* = -g*√(2h/g) = -√(2gh)
である。そして、反発後の鉛直方向の速度は、
vy = -q*vy* = q*√(2gh)
となる。
 水平方向 vx0、鉛直方向 vy0 で投げた球が、投げた高さに着地するときの距離 x は、
  x = vx0*t;  0 = vy0*t - (1/2)g*t2  ∴ x = 2*vx0*vy0/g
であるから、反発後に階段に着地するまでに進んだ距離 dx は、
  dx = 2*vx*q*√(2gh)/g = q*(2*vx*√(2h/g)
となる。

ここで、A = (2*vx)√(2h/g) とすれば、1回目の反発により dx(1) = A*q、2回目、3回目、・・・では、dx(2) =A*q2、dx(3) =A*q2・・・となり、階段でn回まで反発したとすれば、
  d = vx*√(2h/g) + A*q + A*q2 + A*q3 + … + A*qn
となる。
 1回だけ反発する条件は
  vx*√(2h/g) ≦ d ≦ vx*√(2h/g) + q*(2*vx)√(2h/g)
  ∴ d/[(1+2q)√(2h/g)] ≦ vx ≦ d/√(2h/g) ・・・(式2)
である。

そして q < 1 であるから、第2項以降は n→∞ で A*q/(1-q) となる。
 すなわち、球が階段で止まる(床に到達しない)条件は、次式で与えられる。
  d ≧ vx* √(2h/g) + (q/(1-q))*(2*vx)√(2h/g)
  ∴ vx = d/[((1+q)/(1-q))√(2h/g)] ・・・(式3)

ここで、h = 1[m]、d = 2[m]、q = 0.5 とすると次の結果を得る。
   √(2h/g) = 0.452
  式1:vx = 2/0.452 = 4.427[m/s]
  式2:1+2q = 2 だから 2.214 ≦ vx ≦ 4.427[m/s]
  式3:vx = 2/(3*0.452) = 1.476[m/s]
なお、問題の「2回反発」の解答は、 1.78≦v0≦2.2 である。1回反発での最小値2.214が最大値である。最大値は1.78となるが、その計算は各自試みられたい。