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円の中心をO(0,0)とし、半径をrとする。鉛直方向から半時計回りに角度θをとる。
Oからの位置を、X-Y座標形式で(x, y)、極座標形式で[r,θ]と表示すれば、
円壁での中心の真下の点Aは[r,0]=(0,-r)
真横の点Bは [r, π/2]=(r, 0)
真上の点Cは [r, π]=(0,r)
となる。
Bより手前で速度が0になるのだから、公式1において v = 0、h = r である。
v02 ≦ 2gr ∴ v0 ≦ √(2gr)
r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s2] を代入すると、
v0 ≦ √(2*9.8*1) = 4.43 [m/s]
C点まで達し、遠心力により円周についていることが必要である。
A点を基準にするとCの高さは2rである。Cにおける速度は、公式1により、
v2 = v02 - 4gr
また、公式2から、
v2 ≧ gr*sin(π/2) = gr
したがって、A点での初速度 v0 は、
v02 ≧ 4gr + gr ∴ v0 ≧ √(5gr)
r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s2] を代入すると、
v0 ≦ √(5*9.8*1) = 7 [m/s]
離れるときは、公式1と公式2から、
v2 = gr*sin(α) = gr*sin(θ-π/2) = -gr*cos(θ)
v2 = v02 - 2gh
h = r(1 + sin(θ-π/2)) = r(1 - cos(θ)) だから
= v02 - 2gr(1-cos(θ))
∴ v02 = 2gr(1-cos(θ)) - gr*cos(θ) = gr*(2-3*cos(θ))
検算
B点のときは、θ=π/2 → cos(θ) = 0 → v02 = 2gr ・・・phase1と一致
C点のときは、θ=π → cos(θ) = -1 → v02 = 2gr ・・・phase2と一致
[r, θ] すなわち、(r*cos(θ), r*sin(θ)) の点で円周から離れ、そのときの速度は v で、接線方向は(θ+π/2)である。
これ以降は、(r*cos(θ), r*sin(θ)) から水平速度 vx = v*cos(θ+π/2)、鉛直速度 vy = v*cos(θ+π/2) で投げた球の自由落下(放物線)で、床あるいは円壁に達するまでの軌跡を計算すればよい。
自由落下の計算については、「力学 階段」参照。
数式的変形で式を求めるのは面倒なので割愛した。解答=6.45