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物理 力学 半円



速度が小さいと、B点以前で止まり、戻ってしまいます。

速度が大きすぎると、C点まで登り、さらに速度があまるので、左側に飛びます。

中程度の速度だと、B~Cの途中で遠心力が重力に負けて、放物線を描き落下します。

それでは、出発点Oに着地するよう、水平速度を与えてください。
円の半径は1mで、摩擦抵抗などはないものとします。
水平速度初期値[m/s]=

(解説と解答)

基本公式

この系での定義

円の中心をO(0,0)とし、半径をrとする。鉛直方向から半時計回りに角度θをとる。
 Oからの位置を、X-Y座標形式で(x, y)、極座標形式で[r,θ]と表示すれば、
   円壁での中心の真下の点Aは[r,0]=(0,-r)
   真横の点Bは [r, π/2]=(r, 0)
   真上の点Cは [r, π]=(0,r)
となる。

phase1 球が元の円周コースをたどって戻るケース

Bより手前で速度が0になるのだから、公式1において v = 0、h = r である。
   v02 ≦ 2gr ∴ v0 ≦ √(2gr)
 r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s2] を代入すると、
   v0 ≦ √(2*9.8*1) = 4.43 [m/s]

phase2 Cまで達して飛び出すとき

C点まで達し、遠心力により円周についていることが必要である。
 A点を基準にするとCの高さは2rである。Cにおける速度は、公式1により、
   v2 = v02 - 4gr
 また、公式2から、
   v2 ≧ gr*sin(π/2) = gr
 したがって、A点での初速度 v0 は、
   v02 ≧ 4gr + gr   ∴ v0 ≧ √(5gr)
 r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s2] を代入すると、
   v0 ≦ √(5*9.8*1) = 7 [m/s]

phase3 B~Cで円周から離れるとき

離れるときは、公式1と公式2から、
   v2 = gr*sin(α) = gr*sin(θ-π/2) = -gr*cos(θ)
   v2 = v02 - 2gh
         h = r(1 + sin(θ-π/2)) = r(1 - cos(θ)) だから
      = v02 - 2gr(1-cos(θ))
   ∴ v02 = 2gr(1-cos(θ)) - gr*cos(θ) = gr*(2-3*cos(θ))
    検算
     B点のときは、θ=π/2 → cos(θ) = 0 → v02 = 2gr ・・・phase1と一致
     C点のときは、θ=π  → cos(θ) = -1 → v02 = 2gr ・・・phase2と一致
 [r, θ] すなわち、(r*cos(θ), r*sin(θ)) の点で円周から離れ、そのときの速度は v で、接線方向は(θ+π/2)である。
 これ以降は、(r*cos(θ), r*sin(θ)) から水平速度 vx = v*cos(θ+π/2)、鉛直速度 vy = v*cos(θ+π/2) で投げた球の自由落下(放物線)で、床あるいは円壁に達するまでの軌跡を計算すればよい。
 自由落下の計算については、「力学 階段」参照。

出発点に着地する水平速度

数式的変形で式を求めるのは面倒なので割愛した。解答=6.45