物理　力学　半円

基本公式

• エネルギー保存則から、高さ０で水平速度 v0 で発射された質点は、途中の経路に無関係に、高さｈに達したときの速度 v は、次式で与えられる。
  　　　v0² - v² = 2gh　　・・・　公式１
• 半径ｒ、水平軸との角度αにおける質点の接線速度をｖとすると、遠心力は法線方向にｍｖ²／ｒ、それが鉛直方向の重力加速後ｍｇと釣り合うときは、次式で表わせる。
  　　　v²/r = g*sin(α)　　・・・　公式２

この系での定義

円の中心をＯ(0,0)とし、半径をｒとする。鉛直方向から半時計回りに角度θをとる。
　Ｏからの位置を、Ｘ－Ｙ座標形式で(x, y)、極座標形式で[ｒ,θ]と表示すれば、
　　　円壁での中心の真下の点Ａは[r,0]=(0,-r)
　　　真横の点Ｂは [r, π/2]=(r, 0)
　　　真上の点Ｃは [r, π]=(0,r)
となる。

phase1　球が元の円周コースをたどって戻るケース

Ｂより手前で速度が０になるのだから、公式１において v = 0、h = r である。
　　　v0² ≦ 2gr　∴ v0 ≦ √(2gr)
　r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s²] を代入すると、
　　　v0 ≦ √(2*9.8*1) = 4.43 [m/s]

phase2　Ｃまで達して飛び出すとき

Ｃ点まで達し、遠心力により円周についていることが必要である。
　Ａ点を基準にするとＣの高さは２ｒである。Ｃにおける速度は、公式１により、
　　　v² = v0² - 4gr
　また、公式２から、
　　　v² ≧ gr*sin(π/2) = gr
　したがって、Ａ点での初速度 v0 は、
　　　v0² ≧ 4gr + gr　　　∴ v0 ≧ √(5gr)
　r = 1 [m]、g = 9.8 [m/s²] を代入すると、
　　　v0 ≦ √(5*9.8*1) = 7 [m/s]

phase3 Ｂ～Ｃで円周から離れるとき

離れるときは、公式１と公式２から、
　　　v² = gr*sin(α) = gr*sin(θ-π/2) = -gr*cos(θ)
　　　v² = v0² - 2gh
　　　　　　　　　h = r(1 + sin(θ-π/2)) = r(1 - cos(θ)) だから
　　　　　 = v0² - 2gr(1-cos(θ))
　　　∴ v0² = 2gr(1-cos(θ)) - gr*cos(θ) = gr*(2-3*cos(θ))
　　　　検算
　　　　　Ｂ点のときは、θ＝π/2 → cos(θ) = 0 → v0² = 2gr　・・・phase1と一致
　　　　　Ｃ点のときは、θ＝π　 → cos(θ) = -1 → v0² = 2gr　・・・phase2と一致
　[r, θ] すなわち、(r*cos(θ), r*sin(θ)) の点で円周から離れ、そのときの速度は v で、接線方向は（θ+π/2）である。
　これ以降は、(r*cos(θ), r*sin(θ)) から水平速度 vx = v*cos(θ+π/2)、鉛直速度 vy = v*cos(θ+π/2) で投げた球の自由落下（放物線）で、床あるいは円壁に達するまでの軌跡を計算すればよい。
　自由落下の計算については、「力学　階段」参照。

出発点に着地する水平速度

数式的変形で式を求めるのは面倒なので割愛した。解答＝6.45