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物理 力学 人工衛星の軌道


地球(水色円)の地表から高度hの位置(黄色点)から、地球に対して角度αの方向(上方向から右へ赤線の方向)に、速度vで打ち上げた人工衛星の軌道を図示します。

地表からの高度:h[km]=
打上方向:α(水平なら0、真上なら90)=
打上速度:v[km/s]=

第1宇宙速度(地表すれすれの軌道になる速度):v = 7.9, h = 0, α = 0
第2宇宙速度(地球の重力圏から脱出する速度):v = 11.2, h = 0, α = 0

結果=
近日点[km]= 遠日点[km]=

(解説)

k-ichikawaさんのWebページを参考にさせていただきました。
  「人工衛星の軌道に関する運動方程式」
    http://www.enjoy.ne.jp/~k-ichikawa/Satellite2.html
  「人工衛星の軌道に関する運動方程式の数値解法」
    http://www.enjoy.ne.jp/~k-ichikawa/Satellite3.html

定数・変数

物理定数
  G: 万有引力定数 M = 6.67259*10-11[m3/(s2kg)]
  M: 地球の重量 G = 5.9742*1024[kg]
      GM = 3.986339*1014[m3/s2] = 398633.9[km3/s2]
  re: 地球の半径 re = 6378.1[km]
入力変数
  h:  発射位置の地表からの距離 [km]
  α: 発射角度(水平(Y軸)方向なら0、鉛直方向(X軸)ならπ/2
  v0: 発射速度[km/s]
重要変数(初期値には0をつける)
  r:  衛星の地球からの距離 r0 = re + h
  θ: 衛星のX軸との角度(反時計まわり) (x,y): そのXY座標、x0 = r0; y0 = 0;
  vx, vy: 衛星速度、vx0 = v0*Math.sin(alfa); vy0 = v0*Math.cos(alfa);
  ax, ay: 衛星にかかる加速度
  m: 衛星の重量(m/M≒0)
  F: 地球による衛星への万有引力の強さ F = GM*m/r2

運動方程式

X方向への加速度:m*ax = -Fcosθ = (-GMm*r2)*(x/r) = -GMm*x/r3 ∴ ax = -GM*x/r3
Y方向への加速度:m*ay = -Fsinθ = (-GMm*r2)*(y/r) = -GMm*y/r3 ∴ ay = -GM*y/r3
   ここで r2 = x2 + y2

計算方法

t → t+dt により、x0 → x1, y0 → y1 と変化する簡単な計算にはオイラーの方法がある。
  r = √(x2+y2)
  ax = -GM*x/r3
  vx1 = vx0 + ax*dt
  x1 = x0 + vx1*dt
  ay = -GM*y/r3
  vy1 = vy0 + ay*dt
  y1 = y + vy*dt
精度を向上させるため、ルンゲ・クッタ法によるのが通常であるが、本ケースの程度ではオイラーの方法で十分である。