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物理 力学 減衰振動


図のように、質点-ダンパ-バネで構成されるシステムがあります。
質点を少し上にあげて手を離すと、振動しながら一定の点に近づき止まります。
(そのようになるように、ダンパとバネを設定したいのです。)

バネが弱いとダンパだけになりすぐに安定します。
ダンパが弱いとバネだけになり振動が続きます。
適切に選ぶと次第に振幅が小さくなります。

いろいろ変えて実験してください、

cm:ダンパ特性
km:バネ特性
x0:初期位置
x'0:初期速度

理論と解説

x(t) の1階微分を x'(t), 2階微分を x"(t) と表現することにします。
物体の質量m[kg]、ダンパーの減衰係数c[Ns/m], バネ係数k[N/s] とすると、
物体の時刻tにおける位置xは、運動方程式
   m*x"(t) + c*x'(t) + k*x(t) = F (外力、ここでは0とします) で表せます。

いくつかの物理量
w = √(k/m):固有角振動数
γ = c/(2m):
ζ = γ/w:減衰比
wd = √(γ2 - w)(γ>w), √(w2 - γ2)(γ<w)
λ1 = -γ+ wd, λ2 = -γ- wd:   上の運動方程式を λ2 + (c/m)λ + (k/m) = 0 としたときの解

運動方程式の解

2階微分方程式ですから、一般解は未定の2つの定数項 A, B を持ちます。時刻での物体の位置 x(0) と速度 x'(0) が既知だとして、A, B を特定します。

タイプ1 γ = 0 (c=0:ダンパなし) 減衰しない
 一般解:x(t) = A*sin(wt) + B*cos(wt)
 初期条件:x(0)=B, x'(0)=w*A → A = x'(0)/w, B = x(0)

タイプ2 γ > w (λが実根, ζ>1) 過減衰
 一般解:x(t) = A*eλ1t + B*eλ1t
 初期条件:x(0)=A+B, x'(0)=λ1*A +λ2*B→ A = (λ2x(0)-x'(0))/(-2wd), B = (λ1x(0)-x'(0))/(2wd)

タイプ3 γ = w (λが重根, λ12)
 一般解:x(t) = e-γt*(A + B*t)
 初期条件:x(0)=A, x'(0)=-γA +B → A = x(0), B = x(0)+γx'(0)

タイプ4 γ < w (λが複素根,ζ<1) 減衰振動
 一般解:x(t) = e-γt*(A*sin(wdt) + B*cos(wdt)
 初期条件:x(0)=B, x'(0)=B+-γA +B → A = (x(0)-x'(0))/wd, B = x(0)